數(shù)學(xué)建模作業(yè)實驗2微分方程實驗Word版

1、數(shù)學(xué)建模作業(yè)(實驗2微分方程實驗)基本實驗1微分方程穩(wěn)定性分析繪出下列自治系統(tǒng)相應(yīng)的軌線，并標(biāo)出隨t增加的運動方向，確定平衡點，并按穩(wěn)定的、漸近穩(wěn)定的、或不穩(wěn)定的進(jìn)行分類：解答解：（1）由平衡點的定義可得，f（x）=x=0，f（y）=y=0，因此平衡點為（0,0），微分方程組的系數(shù)矩陣為，顯然其特征值為；由根與系數(shù)的關(guān)系可得：且，由平衡點與穩(wěn)定性的各種情況可知，平衡點（0，0）是不穩(wěn)定的。自治系統(tǒng)相應(yīng)軌線為：1 / 23（2）由平衡點的定義可得，f（x）=-x=0，f（y）=2y=0，因此平衡點為（0,0），微分方程組的系數(shù)矩陣為，顯然其特征值為；由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，平衡點（0，0）是不穩(wěn)

2、定的。自治系統(tǒng)相應(yīng)軌線為：（3）由平衡點的定義可得，f（x）=y=0，f（y）=-2x=0，因此平衡點為（0,0），微分方程組的系數(shù)矩陣為，顯然其特征值為；由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，由平衡點與穩(wěn)定性的各種情況可知，平衡點（0，0）是不穩(wěn)定的。自治系統(tǒng)相應(yīng)軌線為：（4）由平衡點的定義可得，f（x）=-x=0，f（y）=-2y=0，因此平衡點為（0,0），微分方程組的系數(shù)矩陣為，顯然其特征值為；由根與系數(shù)的關(guān)系可得：且，由平衡點與穩(wěn)定性的各種情況可知，平衡點（0，0）是穩(wěn)定的。自治系統(tǒng)相應(yīng)軌線為：2種群增長模型一個片子上的一群病菌趨向于繁殖成一個圓菌落.設(shè)病菌的數(shù)目為N，單位成員的增長率為r1，則由

3、Malthus生長律有，但是，處于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到損傷，它們死亡的數(shù)量與N1/2成比例，其比例系數(shù)為r2，求N滿足的微分方程.不用求解，圖示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否為穩(wěn)定的?解答解：由題意可得N滿足的微分方程為：，令=0，可求得方程的兩個平衡點N1=0,N2=，分析可得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以N1=0是不穩(wěn)定的，N2=為穩(wěn)定的。求二次微分可得：，令 得N=，該點即為曲線的拐點。方程的解族如下圖所示：由圖形也可以看出，對于方程的兩個平衡點，其中N1=0是不穩(wěn)定的；N2=是穩(wěn)定的。3單種群開發(fā)模型考慮單種群開發(fā)方程用數(shù)學(xué)表達(dá)式證明：在穩(wěn)定

4、狀態(tài)下，最優(yōu)捕撈率為E*=解答解：本題不需要解出方程，而只需得到x的動態(tài)變化過程和、漁場穩(wěn)定的魚量和保持穩(wěn)定的條件本質(zhì)上是要討論方程的平衡點并分析其穩(wěn)定性。令解得的兩個平衡點為：，易得由課件定理2.1可得：若，則是穩(wěn)定的；若，則不是穩(wěn)定的。應(yīng)用上述近似判別法，所以有當(dāng)E<r時，是穩(wěn)定平衡點，不是； 當(dāng)E>r時，是不是穩(wěn)定平衡點，是； 所以，當(dāng)捕撈適度(即：E<r)時,可使?jié)O場產(chǎn)量穩(wěn)定在，從而獲得持續(xù)產(chǎn)量，而當(dāng)捕撈過度（即：E>r）時，漁場產(chǎn)量將減至，破壞性捕撈，從而是不可持續(xù)的。令求導(dǎo)可得：所以，最優(yōu)捕撈率為。4Gompertz模型設(shè)漁場魚量自然增長服從Gompertz

5、模型：其中r為固有增長率，N為最大種群數(shù)量。若單位時間捕撈量為討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強度和漁場魚量水平。解答解：令由，解得該方程的平衡點為，可得平衡點是穩(wěn)定的，而平衡點不穩(wěn)定.最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為：由前面的結(jié)果可得，令可得最大產(chǎn)量的捕撈強度，從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量，此時，漁場魚量水平。5有限資源競爭模型微分方程是兩個物種為了共同的有限資源而競爭的模型，假設(shè)c1>a1，c2>a2。試用微分方程穩(wěn)定性理論分析：（1）如果，則（2）如果則（3）用圖形分析方法來說明上述兩種情況。解答解：（1）令得方程的平衡點為P0（0,0），P1（,0），P2

6、（0, ）.對平衡點P0（0,0），系數(shù)矩陣又c1>a1，c2>a2則p=-(c1-a1)+(c2-a2) <0，所以該平衡點不穩(wěn)定。對平衡點P1（,0），系數(shù)矩陣則p=，q=，若，且c1>a1，c2>a2，則q<0不穩(wěn)定。而對于P2（0,），有p>0，且q>0穩(wěn)定，此時說明物種1最終要滅亡。(2)如果的情況下，方程在P1（,0）穩(wěn)定，其他點不穩(wěn)定，此時說明物種2最終會滅亡。(3)對于線性方程組，其中，直線將第一象限分成三個區(qū)域。 當(dāng)時，P2點穩(wěn)定，通過分析的單調(diào)性可得下圖： 此時說明物種1最終要滅亡。 當(dāng)時，P1點穩(wěn)定，通過分析的單調(diào)性可得下圖

7、：此時說明物種2最終要滅亡。6蝴蝶效應(yīng)與混沌解考慮Lorenz模型其中，且初值為,，為一個小常數(shù)，假設(shè)，且。（1）用函數(shù)ode45求解，并畫出x2x1,x2x3,x3x1的平面圖；（2）適當(dāng)?shù)卣{(diào)整參數(shù)，值，和初始值x1（0），x2（0）=0，x3（0），重復(fù)一的工作，看有什么現(xiàn)象發(fā)生。解答解： （1）分別創(chuàng)建lorenzeq.m和huatu26.m兩個文件，在lorenzeq.m文件中編寫下面的語句：f=(t,x)-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3);在huatu26.m文件中，編寫下面的語句：t_final=

8、100;x0=0;0;1e-10;t,x=ode45(f,0,t_final,x0);subplot(2,2,1),plot(x(:,2),x(:,1)xlabel('x_2');ylabel('x_1');subplot(2,2,2),plot(x(:,2),x(:,3)xlabel('x_2');ylabel('x_3');subplot(2,2,3),plot(x(:,3),x(:,1)xlabel('x_3');ylabel('x_1');運行程序，可得下面的圖形：（2）修改此題的參數(shù)，令，

9、且初值為，其中保持不變，運行上面的程序，可得下面的圖形：可以發(fā)現(xiàn)，修改參數(shù)和初始值，圖形會發(fā)生很大變化。7血液中的藥物濃度測定考慮口服某種藥物后，該藥物在血液中的濃度，以便更好地確定治療方案。假定給測試者口服某種藥物，并每隔一段時間，測試該藥物在血液中的濃度，用這種方法得到藥物在血液中濃度的變化曲線。所述的生物系統(tǒng)可看成兩個房室腸道和血液，其模型可以描述如下設(shè)和分別是t時刻藥物在腸道和血液中的濃度，是藥物從腸道轉(zhuǎn)移到血液的速率，是藥物從血液向外界轉(zhuǎn)移的速率。并且在初始時刻（t=0），腸道中的藥物濃度為，血液中的藥物濃度為0。（1）試建立相應(yīng)的微分方程模型。（2）假定測得某測試者血液中的藥物濃度

10、如下：測試時刻t123468101216血液中藥物濃度0.71.21.41.41.10.80.60.50.3試確定參數(shù)的估計值。提示：可先求出微分方程的表達(dá)式，再選擇優(yōu)化參數(shù)，求參數(shù)的最小二乘解。解答解： （1）由題意可得微分方程為：（2）首先求解微分方程的解在d27的.m文件中編寫下面的語句：x,y=dsolve('Dx=-a*x','Dy=a*x-b*y','x(0)=c','y(0)=0')可以得到下面的結(jié)果：>> d27 x = c*exp(-a*t) y = exp(-a*t)*exp(-b*t)*(a*c*

11、exp(a*t)/(a - b) - (a*c*exp(b*t)/(a - b)最后采用最小二乘曲線擬合的方法求解參數(shù)：在d272的.m文件中編寫下面的語句：t=1 2 3 4 6 8 10 12 16;y=0.7 1.2 1.4 1.4 1.1 0.8 0.6 0.5 0.3;f=(a,t)exp(-a(1)*t).*exp(-a(2)*t).*(a(1)*a(3).*exp(a(1)*t)/(a(1)-a(2) - (a(1)*a(3).*exp(a(2)*t)/(a(1)-a(2);a=1;2;3;a,b,c=lsqcurvefit(f,a,t,y)可以得到下面的結(jié)果：>>

12、d272Local minimum possible.lsqcurvefit stopped because the final change in the sum of squares relative to its initial value is less than the default value of the function tolerance.<stopping criteria details>a = 0.1830 0.4347 5.9981b = 0.0356c =0.1080 -0.0039 -0.0652 -0.0691 0.0333 0.0741 0.04

13、32 -0.0384 -0.0707所以：參數(shù)的估計值為：2.3加分實驗（餐廳廢物的堆肥優(yōu)化問題）一家環(huán)保餐廳用微生物將剩余的食物變成肥料。餐廳每天將剩余的食物制成槳狀物并與蔬菜下腳及少量紙片混合成原料，加入真菌菌種后放入容器內(nèi)。真菌消化這此混合原料，變成肥料，由于原料充足，肥料需求旺盛，餐廳希望增加肥料產(chǎn)量。由于無力購置新設(shè)備，餐廳希望用增加真菌活力的辦法來加速肥料生產(chǎn).試通過分析以前肥料生產(chǎn)的記錄(如表2.1所示)，建立反映肥料生成機理的數(shù)學(xué)模型，提出改善肥料生產(chǎn)的建議。解答解： 1.問題假設(shè)1) 每次堆肥的質(zhì)量不同2) 所給的幾次堆肥混合物的比例僅由當(dāng)天的實際情況決定3) 所有分離堆肥倉

14、工作條件相同4）每磅蔬菜所提供的氧氣量相同5）細(xì)菌消耗的溶解氧完全由蔬菜葉提供6）每天提供的廢料混合物中的化學(xué)成分大致相同7）廢料混合物在喂給細(xì)菌前混合均勻并保持良好的通氣環(huán)境。2.問題分析堆肥是利用微生物的分解作用將有機廢物轉(zhuǎn)化成無害穩(wěn)定形式的生物化學(xué)過程，要提高堆肥常量方法之一是通過強細(xì)菌的生長繁殖能力提高分解率 細(xì)菌群體的增長一般要經(jīng)歷延滯期，加速生長期，對數(shù)生長期，減速生長期，穩(wěn)定期，加速死亡期和對數(shù)死亡期，其它典型生長曲線如圖1所示：細(xì)菌數(shù)目的對數(shù) 倍增速率579+0-時間abcdefg圖1其中對數(shù)生長期培養(yǎng)基中所有養(yǎng)分都過剩，細(xì)菌可以充分繁殖，其倍增速率恒定，取決于底物濃度，溫度，

15、水活度，供養(yǎng)量。對于當(dāng)前該餐廳來說底物濃度由每天的剩余食物，蔬菜葉和碎紙屑決定。碎紙屑是吸收水分的調(diào)理劑，微菌呼吸所需要的溶解氧由蔬菜葉提供，水活度可以通過測定相對濕度來決定，其關(guān)系式是相對濕度B=P/P0 ×100%水活度aw =p/po其中P為該溶液蒸氣壓；Po為純水蒸氣壓在這個堆肥系統(tǒng)中，可供微菌消耗營養(yǎng)底物和溶解氧都是有限的，它們的消耗會對微菌生長率產(chǎn)生重要影響。一種微菌消耗營養(yǎng)底物的速率和底物濃度之間的關(guān)系曲線如圖2所示：比生長速率底物濃度底物濃度和微菌濃度的關(guān)系為ds/dt=(-kmsx)/(ks+s)式中ds/dt表示為底物的有效消耗率：x表示為微菌濃度；km表示最大有

16、效系數(shù)，在高濃度營養(yǎng)底物中最大的物料消耗率（物質(zhì)質(zhì)量/微菌天的質(zhì)量）；ks表示半速系數(shù)（質(zhì)量/體積）；S 表示為有限底物的濃度（質(zhì)量/體積）微菌生長過程是一個生物化學(xué)反應(yīng)過程。其生長率和溫度之間滿足公式：K=Ae-Ea/RT式中K表示為反應(yīng)速度常數(shù)；T 表示反應(yīng)的絕對溫度；R 表示氣體常數(shù)；Ea 表示反應(yīng)活化能；A 表示頻率因子。對于大多數(shù)微菌來說，如果以比生長速度常數(shù)（dx/Xdt）的對數(shù)對1/T作圖，可得下面的曲線圖（圖3）403020102460.00320.00330.00340.00350.00360.0037線形低溫高溫11/T（K）因此各種微菌都有一格最適圣戰(zhàn)個we濃度。如溫度控

17、制在最適值時微菌生長速率最高微菌生長對水濕度也有一定的要求，與微菌最高生長速率相對的有一最適水活度。 優(yōu)化堆肥意味著盡可能短的時間內(nèi)生常出高質(zhì)量的肥料，參數(shù)的優(yōu)化依賴于所應(yīng)用的系統(tǒng)。3.模型的建立模型1假設(shè)每天投入的肥料比是隨意的，僅僅取決于當(dāng)天的情況，首先從已知數(shù)據(jù)中得到經(jīng)驗最佳比例，由于假設(shè)各次堆肥后肥料質(zhì)量相同，因此堆肥時間較短就對應(yīng)了較好的肥料配比，裝12組數(shù)據(jù)按其堆肥日期及完全堆肥時間分成三組，每組中較優(yōu)比例如表2表2分組每組中的最短天數(shù)比例14N0.4:26203:82:058N0.5:3379:28:0912N0.9:4982:44:9上述經(jīng)驗?zāi)腼@然過于粗糙模型2營養(yǎng)底物和氧氣

18、是細(xì)菌生長的兩種底物，物耗公式為：dSi /dt=-kmixsi/(Ksi+Si) (1)i=1時代表營養(yǎng)底物中可降解的有機物。i=2時代表氧氣1）在高濃度底物中，物料的轉(zhuǎn)化過程很迅速，僅一步增加第五濃度就不再營區(qū)底物轉(zhuǎn)化率的提高，可假設(shè)S1>>Ks1,S2>>Ks2則（1）式簡化為：X-1=-Kmi (2)這是關(guān)于底物濃度的零級反應(yīng)，消去X得到dS1= dS2 (3)積分后得：S1(t)= S2(t)+( S1(0)- S2(0) (4)2）在低濃度底物中，可假設(shè)S1<<Ks1,S2<<Ks2則（1）式簡化為：X-1=-Si (5)消去X 得X

19、-1= (6)3)當(dāng)Si =Ksi , i=1,2 時有：dS1= dS2同1 4.結(jié)果分析由上節(jié)知，當(dāng)S>>Ks 時，簡化方程為（4） 且Km1 =其中R=8.31J/(mol.K)Ea=51.3KJ/molT=25攝氏度=298K 時，Km1=12克底物/（克微菌.天）可確定當(dāng)T=322K時，可得=55.7不同微生物的耗氧速度不同，此處可取86，經(jīng)過單位換算，可估算出=20.548從而=2.711下面從已知數(shù)據(jù)中選取幾組典型的數(shù)來定性說明（4）式在不同情況下的物理意義。設(shè)廢食漿中含有40%的有機揮發(fā)性物質(zhì)，有幾物的降解為66%，并設(shè)波蔬菜葉中含有25%的氧氣。a)對于第二組數(shù)據(jù)：=11240%60%=22.704=7925%=19.75=2.711-23.974當(dāng)=0時，有=8.84,這表明在此情況下廢食漿中所含有的可降解的有機物可以全部被降解，氧氣的量是充足的。b)對于第五組數(shù)據(jù)：=20.856m=7=2.711+1.879在時間足夠長的情況下，=0，=1.879這表明氧氣的量是不充足的，廢食漿中所含有可降解有機物只能有（）/=91%被降解。由此我們可以確定出廢食漿和蔬菜葉的最優(yōu)比例關(guān)系，最優(yōu)