不等式選講-高考文科數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專(zhuān)題

1、專(zhuān)題35不等式選講【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用含絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式：|a+b| Q|+|b|; |a b| Q| c|十 |c b|.2 .會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：|ax+ b| 英;|ax+ b| C5； |x a|+ |x b| C(極)3 .會(huì)用絕對(duì)值不等式、基本不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；能夠利用基本不等式求一些特定函數(shù)的最 值.4 . 了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.二.【知識(shí)要點(diǎn)】1 .絕對(duì)值的概念和幾何意義a (a>(),a ( a v 0).|a| =代數(shù)：幾何意義：|a|表示數(shù)軸上坐

2、標(biāo)為 ia的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離.0A2 .絕對(duì)值不等式性質(zhì)|a|-|b| 崎煙 Q|十 |b|.(1)|a+b|倒|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab>0時(shí)取等號(hào)；(2)|ab|倒|十|b|,當(dāng)且僅當(dāng)abwo時(shí)取等號(hào).3 .絕對(duì)值不等式的解法原則是轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式求解.基本型：a> 0, |x|<a? -a<x<a ;|x|> a? x<-a 或 x>a .(1)c> 0, |ax+b| ??？, |ax+b| C?6+3“一£或"+之。.(2)c> 0, |x a|十|xb|C |xa|十|xb| 省.三種解法：圖解法(

3、數(shù)形Z合)、零點(diǎn)分區(qū)法(定義)、絕對(duì)值的幾何意義(數(shù)軸).4 .比較法證明不等式(1)作差比較法:知道a>b? a-b>0, a<b? a-b<0,因此要證明 a>b,只要證明a b > 0即可，這種方法稱(chēng)為作差比較法.(2)作商比較法：aa .由a>b>0?1>1且a>0, b>0,因此當(dāng)a>0, b>0時(shí)要證明a>b,只要證明一>1即可，這種方法稱(chēng)為作 bb商比較法.5 .綜合法證明不等式從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，即由因?qū)Ч钡姆椒?這種證明不

4、等式的方法稱(chēng)為綜合法或順推法.6 .分析法證明不等式證明命題時(shí)，我們還常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理、性質(zhì)、或已證明的定理等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法.7 .反證法證明不等式先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立，我們把它稱(chēng)為反證法.8 .放縮法證明不等式證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大

5、或縮小,簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱(chēng)為放縮法.三.方法總結(jié)1 .含絕對(duì)值不等式的求解策略(1)解含有絕對(duì) 值的不等式的指導(dǎo)思想是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào).常用的方法是：由定義分段討論(簡(jiǎn)稱(chēng)零點(diǎn)分區(qū)間法)；利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì) (題型法)；平方法；數(shù)形結(jié)合法等 .(2)解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時(shí)與參數(shù)的取值范圍有關(guān)，就必須分類(lèi)討論.注意：要考慮參數(shù)的總?cè)≈捣秶?用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分，做到不重不漏(3)含絕對(duì)值不等式的證明，要善于應(yīng)用分析轉(zhuǎn)化法(4)靈活運(yùn)用絕對(duì)值不等式的兩個(gè)重要性質(zhì)定理|a|- |b| < |a ±葉構(gòu)怙特別注意等

6、號(hào)成立的條件 .2 .作差比較法是證明不等式最基本、最重要的方法，其關(guān)鍵是變形，通常通過(guò)因式分解，利用各因式的 符號(hào)進(jìn)行判斷，或進(jìn)行配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷3 .綜合法證明不等式時(shí)，主要利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)，在嚴(yán)密的推理下推導(dǎo) 出結(jié)論，綜合法往往是分析法的逆過(guò)程，所以在實(shí)際證明時(shí)，用分析法分析，用綜合法表述證明推理過(guò)程4 .某些不等式的條件與結(jié)論，或不等式的左右兩邊聯(lián)系不明顯，用作差法又難以對(duì)差進(jìn)行變形，難以運(yùn) 用綜合法直接證明，這時(shí)常用分析法，以便發(fā)現(xiàn)聯(lián)系.分析的過(guò)程中，綜合條件.、定理等因素進(jìn)行探索，把分析與綜合結(jié)合起來(lái)，形成分析綜合法.5 .有些不等式，從正

7、面證如果不易說(shuō)清楚，可以考慮反證法，凡是含有至少“唯一 ”或者含有其他否定詞的命題，適宜用反證法 .6 .放縮法是一種常用的證題技巧，放縮必須有目標(biāo)，而目標(biāo)可以從求證的結(jié)論中和中間結(jié)果中尋找.常用的放縮技巧有添舍放縮，拆項(xiàng)對(duì)比放縮，利用函數(shù)的單調(diào)性和重要不等式放縮等 四.典例分析(一)解絕對(duì)值不等式3/(x) = x-2a + 2x + - (w < 0)(1)若虱。)二f,解不等式9> 5 ；(2)求證：之2道. 口 | 口 生.或 一 1，口 0;(2)詳見(jiàn)解析.【答案】(1)12一 , ffW = /(0) = I - 2a| + |?| =- 2a - 3 > 5【解

8、析】(1)因?yàn)榭?< 口，所以同 段ua <- 1 < o < 0故不等式虱G26的解集為2(2)由已知得:所以fS)在上遞減，在練習(xí)1已知函數(shù)"幻=1工+網(wǎng)+ |2,卅，mmE(O. + s).(I)若F > 工恒成立，求加+ E的最小值;(n)若帆=2,桂=3,求不等式汽切>5的解集(1) 2 -8,0)U(2. + s)【解析】|x+ m| + |2x - n| = |x + m| -J- m- (1)二 m + > lZm + n > 22, 2冰+內(nèi)的最小值為2X<_4當(dāng)y時(shí)，7-2-21+ 3>5,得一 3,當(dāng)2

9、時(shí)，工+2-陵子3>5,得工<0, *"2cx<03,A -當(dāng)2 時(shí)，工+ 2 + 2x-3>5,得乂 A2,；.丈 >2綜上，不等式解集為 練習(xí)2.已知函數(shù)(I)當(dāng)口 = 1時(shí)，求不等式(©>510的解集;小斗(II )求證：/")+魁工24【答案】(I)一巴-5) U (5,+ 8)；(II )詳見(jiàn)解析.【解析】< I > 當(dāng)皿=1時(shí)，f(x) = ln(h -l| + |x + 11"由卜-1|+ h + 1|> 10,.曰：V < _1 1 X < 1彳T > 11(1 -

10、X)- (.v - 1) > 10 用匕一小0 + 1)二 10 費(fèi) G 1) + a - 1) > 10解得- 55» fW > InlO的解集為一55) uG+哂(II ) r " + 卓" G，= |工一1 |一卜. + - g| + -二 + 二 > 2 心 + =2(+不之4,當(dāng)且僅當(dāng)口 = ±1時(shí)等號(hào)成立.練習(xí)3.已知月外=1工-3 + 3工，其中口 J。(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式“尺之3工+僮子1|的解集；(2)若不等式人乃W0的解集為 x | xw 1,求討的值?！敬鸢?1)比假式0；(2)* = 2或口=_4【解

11、析】。)當(dāng)口.=1時(shí)，(方=k1| +明由 *幻 >|x + l| + 3x|x-l| 之僮 + 1|=>(x- if 3 (jc + I產(chǎn)m £ 0所以不等式的解集為(?|x-a| + 3x 生 0= <，由-4當(dāng)口:> °時(shí)，不等式的解集為(x<ax<或Ix x <- 0 =- l=*ci = 22 ,由2當(dāng)口 =0時(shí)，解集為(2。1,不符合題意當(dāng)時(shí)，不等式的解集為+-5)綜上所述,"2或"一4(二)不等式恒成立求范圍 例2.已知函數(shù)"刈=2次+ 1|-卜-溫口£*(1)當(dāng)口 = 1時(shí)，求

12、不等式八到 >。的解集；(2)若關(guān)于尤的不等式 汽幻之工在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù) 仃的取值范圍.(-9. -3)U( -+ s)【答案】(1) 3/; (2) -2<a<0解析(1)當(dāng) *=1 時(shí)，由人X)>0,得 2|x+1|>卜-1|,二43+1尸 >(工_1),.1X A- 產(chǎn)(- 8. k 3) U 1 - 1 + 8,3+1)(，+刃>0,解得工<-3或 3,所以/ >。的解集為 3(2) /(工)=2|H+ 1|_國(guó)&|2大對(duì),三/?恒成立，即歸。£2卜+1|4,即-2|l+ 1|斗"工-口£2|

13、，+1|7,.，2-平+ 1""引，+ 1|對(duì)川/?恒成立令訊勸= 2x-2|K+4,則,*"一，-2 < a < 0rx + 2,1山(劃而皿=-2-2.，成為在(-8,-1單調(diào)遞增【點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式的常見(jiàn)解法：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；利用 零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想 .練習(xí) 1,已知函數(shù) =+ pjf- 1| meB（1）當(dāng)也=1時(shí)，解不等式，（約2；（2）若不等式 六#） 對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)由的取值范圍

14、.fW,f（璜2即求不同區(qū)間對(duì)應(yīng)解【解析】（1）當(dāng)血"1時(shí)，/'（x） = |x-l| + |2jf-l|所以集，所以人均2的解集為41 x 0 < x < -3.（2）由題意，汽*）3-x對(duì)任意的恒成立，即1|對(duì)任意的xeS1恒成立，令所以函數(shù)y = I，-相的圖象應(yīng)該恒在 儀幻的下方，數(shù)形結(jié)合可得0cm 2【點(diǎn)睛】本題主 要考查了絕對(duì)值不等式問(wèn)題，對(duì)于含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn) 分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類(lèi)討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將 絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)

15、合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈 活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向.法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用 零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.練習(xí)2.已知a,b,c均為正實(shí)數(shù).（I）求證:>2b+c ac a+b 2 ；（II）求證:【答案】（I）見(jiàn)解析；（II）見(jiàn)解析.a b a1 +b2 +ac+bc 2ab + ac+bc a(i + c)+6(a + c)+ =2=【解析】(I) b + c(Hc)S + C 。+ 明。一。)(b+c)(a-c)a 方、。 b+3+b+c 4 + c a+c b

16、+c .+ - 2+同理 a+c a+b a+b a+cc a a c131a+b b+c a+b b+c ac b + c 。+方 不21- 3由+得:當(dāng)且僅當(dāng)a = b =c時(shí)各個(gè)等號(hào)同時(shí)成立.>：1 b + ci+c+2+T a+c . a+b fl+c+白+b +77當(dāng)且僅當(dāng)a = b =c時(shí)各個(gè)等號(hào)同時(shí)成立.abc .尸+-尸 + *戶 > 1 b+u + q5亡 a + c-hy/ac a + b + fab(A)不等式的應(yīng)用例8.設(shè)/(工)二WT，若f (x戶2的解集為-1,3】.a + c b + c a+b(1)求實(shí)數(shù)a的值;1 x+y若工+”但2信一孫，求仁不V

17、 Z 的最小值.1 (2) 3【解析】(1)當(dāng)a >0時(shí),dr-l|<2=>-2<dr-l<2<S>-l<dr<3=113 aa 3 .=3 atc 1二3“當(dāng)a <0時(shí)，a,此時(shí)無(wú)解，當(dāng)a =0時(shí)，也無(wú)解.由""2=0+尸1-小(01 X+1T11-Z11.+/ 11、*21-2* r1- = += +-1= 11 -z) + z +- -1 = + 1 >3則工+ F 工1-2工1-Z工 LU-Z 打 1-2工練習(xí)1.已知函數(shù)/W = |-l| + |-2|(1)求不等式f")之3的解集；“外

18、1 + 2血日0)(2)若n 對(duì)任意xe丑恒成立，求,m十的最小值.e【答案】(1)國(guó)"。或±2)|3(3x + 3 (x < -:.【解析】小)=卜+ ®/工5'L :言m或m 或"解得"三0I 3x - 3(x > 2)一一或工之2/23的解集為國(guó)第三0或仁2).(2)由額0/W而口 =三二：+亍M'三V 工 口 LX bX3 金， J卜 一即m + jy Imn <3干尸，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)等胃成立，'-' m, R > 0,解得流+ ?!>!,當(dāng)且僅當(dāng)正=郵寸等號(hào)成立 *故m +制的最小值為*練習(xí)2.如圖，某生態(tài)園將一塊三角形地 ABC的一角APQ開(kāi)辟為水果園，已知角 A為120° ,AB, AC的長(zhǎng)度均大