人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3練習(xí)：第二章章末復(fù)習(xí)課Word版含解析

1、章末復(fù)習(xí)課整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建警示易錯(cuò)提醒1. “互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別.“互斥事件”是說(shuō)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，“相互獨(dú)立事件”是說(shuō) 一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.2. 對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要準(zhǔn)確理解.(1) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：第一，每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行； 第二，任何一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相等；第三，每次試驗(yàn)都只 有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式的特點(diǎn)：關(guān)于 P(X = k) = CnPk(I p)nk, 它是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件 A恰好發(fā)生k次的概率.其中n是重 復(fù)試驗(yàn)次數(shù)，P是一次試驗(yàn)中某事件 A發(fā)生的概率，k是在n次獨(dú)立試 驗(yàn)中

2、事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，弄清公式中n, p, k的意義，才能正確 運(yùn)用公式.3. (1)準(zhǔn)確理解事件和隨機(jī)變量取值的意義，對(duì)實(shí)際問(wèn)題中事件之 間的關(guān)系要清楚.(2) 認(rèn)真審題，找準(zhǔn)關(guān)鍵字句，提高解題能力.如“至少有一個(gè)發(fā) 生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”等.(3) 常見(jiàn)事件的表示.已知兩個(gè)事件 A、B,則A, B中至少有一個(gè) 發(fā)生為AU B ;都發(fā)生為 A B;都不發(fā)生為A B ；恰有一個(gè)發(fā)生為(A B) (A B )；至多有一個(gè)發(fā)生為(A B ) (A B) (A B ).4. 對(duì)于條件概率，一定要區(qū)分 P(AB)與P(B|A).5. (1)離散型隨機(jī)變量的期望與方差若存在則必唯一，期望

3、 E(的值可正也可負(fù)，而方差的值則一定是一個(gè)非負(fù)值.它們都由的分布列唯一確定.(2) D( 表示隨機(jī)變量對(duì)E( 的平均偏離程度.D( 越大表明平 均偏離程度越大，說(shuō)明的取值越分散；反之 D( 越小，的取值越 集中.(3) D(a + b) = a2D( ,在記憶和使用此結(jié)論時(shí)，請(qǐng)注意 D(a + b)aD( + b, D(a+ b)aD( .6. 對(duì)于正態(tài)分布，要特別注意 N( 2)由和唯一確定，解決正態(tài)分布問(wèn)題要牢記其概率密度曲線的對(duì)稱(chēng)軸為X = 專(zhuān)題一 條件概率的求法條件概率是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)， 也可能是大題中的一個(gè)部分，難度中等.例1壇子里放著7個(gè)大小、形狀相

4、同的鴨蛋，其中有4個(gè)是綠 皮的，3個(gè)是白皮的.如果不放回地依次拿出 2個(gè)鴨蛋，求：(1)第1次拿出綠皮鴨蛋的概率；第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋的概率；(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率.解:設(shè)“第1次拿出綠皮鴨蛋”為事件A, “第2次拿出綠皮鴨蛋” 為事件B ,則“第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋”為事件AB.(1)從7個(gè)鴨蛋中不放回地依次拿出 2個(gè)的事件數(shù)為n( ) = A2 =根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(A) = A4 × A = 24.于是P(A) =n (A)n ( )24 = 442 = T42,(2)因?yàn)?n(AB) = A4= 12,所以P(AB)

5、=n (AB)n ( )12 242= T法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次P ( AB)拿出綠皮鴨蛋的概率為P(BIA) = P(A、)=P (A)2 41 T- =T T 2.法二 因?yàn)?n(AB) = 12, n(A)= 24,所以P(BIA)=n (AB)n (A)12= 124= 2.歸納升華解決概率問(wèn)題的步驟.第一步，確定事件的性質(zhì)：古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú) 立重復(fù)試驗(yàn)、條件概率，然后把所給問(wèn)題歸結(jié)為某一種.L-第二步，判斷事件的運(yùn)算(和事件、積事件),確定事件至少有一個(gè) 發(fā)生還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件公式.第三步，利用條件概率公式求解

6、：(1)條件概率定義：P (AB)P(BIA)= P (A) .(2)針對(duì)古典概型，縮減基本事件總數(shù)P(BIA)= n (AB)n (A).變式訓(xùn)練把一枚骰子連續(xù)擲兩次，已知在第一次拋出的是偶數(shù)點(diǎn)的情況下，第二次拋出的也是偶數(shù)點(diǎn)的概率為是多少？解：“第一次拋出偶數(shù)點(diǎn)”記為事件A,“第二次拋出偶數(shù)點(diǎn)”記3×6 13×3 1為事件 B ,貝S P(A) = , P(AB)=.6×6 26×6 4所以 P(BIA) = PP(AB)1 亠 1 = 1 4÷ 2 = 2.專(zhuān)題二互斥事件、獨(dú)立事件的概率要正確區(qū)分互斥事件與相互獨(dú)立事件，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)公式解

7、題， 互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，相互獨(dú)立事件是指一個(gè)事件的發(fā) 生與否對(duì)另一個(gè)事件沒(méi)有影響.例2如圖所示，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T(mén)i, T2, T3, T4,電流能通過(guò)Ti, T2, T3的概率都是P,電流能通過(guò)T4的 概率是0.9,電流能否通過(guò)各元件相互獨(dú)立.已知 Ti, T2, T3中至少有 一個(gè)能通過(guò)電流的概率為0.999.(1) 求 P；(2) 求電流能在M與N之間通過(guò)的概率.解：記Ai表示事件：電流能通過(guò) Ti, i = 1, 2, 3, 4,A表示事件：Ti, T2, T3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流， B表示事件：電流能在 M與N之間通過(guò). A=, A? '

8、A3 , Ai, A2, A3 相互獨(dú)立，P(A )= p 八八人 = F(入 > P( A?) P( A；.)=(1 _ p)3又 P(A )= i_ P(A)= 1_0.999= 0.001,(1 P J := U UUl * P=1H 9»(2) B-A4-a7 * Al A3÷ A? * A? * A2 - A3 -P< B) = P( A1 + At Al A3 十 AI Al A2 A3)=P(A4)+ PC ATi) + P( Ai Ag Ar) =P(A)÷P() P(AI) P(A3) + P(Ar) P(Ar) P(A2)P(A3)

9、 = 0.9 + 0.1× 0.9× 0.9 + O.1× 0.1× 0.9× 0.9= 0.989 1.歸納升華求解相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率時(shí)，要注意以下幾個(gè)問(wèn)題：(1) 若事件A與B相互獨(dú)立，則事件A與B，A與B，A與B分別相互獨(dú)立，且有 P(A B)= P(A )P(B), P(AB )= P(A)P(B ), P(A B )=P(A )P(B )(2) 若事件 Ai , A2 ,，An相互獨(dú)立，則有 P(A1A2A3An)= P(AI)P(A2)P(An).變式訓(xùn)練一個(gè)電路如圖所示，A, B, C, D, E, F為6個(gè)開(kāi)關(guān)，1其閉合

10、的概率都是刁且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是多少？解：由題意知，四條線路是否閉合相互獨(dú)立，開(kāi)關(guān) A, B與E, FIII閉合的概率相等，都是P(AB)= P(A) P(B)= 2×2 = 4,所以四條線路都1不閉合的概率為Pi= 1 41-2264'所以燈亮的概率為P= 1 59 = 5564= 64.專(zhuān)題三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是高考考查的重點(diǎn)，要準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用其概率公式Pn(k) = Ch pk(1 p)nk, k = 0, 1, 2,，n,高考以解答題為主，有時(shí)也用選擇題、填空題形式考查.例3現(xiàn)有10道題，其中6道甲類(lèi)題，4道乙類(lèi)題，張同學(xué)從中任取3道題解答.

11、(1) 求張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類(lèi)題的概率；(2) 已知所取的3道題中有2道甲類(lèi)題，1道乙類(lèi)題.設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類(lèi)題的概率都是3,答對(duì)每道乙類(lèi)題的概率都是 4且各題答55對(duì)與否相互獨(dú)立.用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求 X為1和3的概率.解：(1)設(shè)事件A = “張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類(lèi)題”，則有A = “張同學(xué)所取的3道題都是甲類(lèi)題”.因?yàn)?P(A ) = Cl =所以 P(A)= 1 P(A)= 6-P(X= 1)= 2 5+ C0 322 2 4 = 28.55= 125；P(X = 3)= C22 0 4_ _3655= 125.歸納升華解決二項(xiàng)分布問(wèn)題必須注意：(1)

12、 對(duì)于公式 Pn(k) = Cn pk(1 p)n_k, k=0, 1, 2,，n 必須在 滿(mǎn)足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)才能運(yùn)用，否則不能應(yīng)用該公式.(2) 判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對(duì)立 性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試 驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了 n次.變式訓(xùn)練一位病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9,服用這種新藥的有甲、乙、丙 3位病人，且各人之間互不影響，有下列結(jié) 論： 3位病人都被治愈的概率為0.93; 3人中的甲被治愈的概率為0.9; 3人中恰好有2人被治愈的概率是2× 0.92× 0.1; 3人中恰好有2人未被治愈的概率

13、是3× 0.9× 0.12.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上).解析：中事件為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有3次發(fā)生的概率，其概 率為0.93,故正確；由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生的概率相同， 知正確；中恰有2人被治愈的概率為 P(X= 2)= C2p2(1 P)= 3× 0.92× 0.1 ,從而錯(cuò)誤；中恰好有2人未被治愈相當(dāng)于恰好1人被 治愈，故概率為C1× 0.9× 0.12= 3× 0.9× 0.12,從而正確.答案：專(zhuān)題四 離散型隨機(jī)變量的期望與方差離散型隨機(jī)變量的均值和方差在實(shí)際問(wèn)題中具有重要意義，

14、也是 高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.例4 一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品 中任取4件做檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n = 3,再 從這批產(chǎn)品中任取4件檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)； 如果n = 4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件做檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn) 品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn).假設(shè)這批產(chǎn)品1的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為 2,且各件 產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.(1) 求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；(2) 已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元),求X的分布

15、列及數(shù)學(xué)期望.解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1 ,第 一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件 A2,第二次取出的4件產(chǎn)品都 是優(yōu)質(zhì)品為事件B1 ,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件 B2,這批 產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件 A,依題意有A = (A1B1) (A2B2),且A1B1與A2B2 互斥，所以 P(A)= P(A1B1)+ P(A2B2)= P(AI)P(B1A1)+ P(A2)P(B2A2)= 4 × 丄 + =× 1 = 31616+ 16 2 = 64.41(2)X 可能的取值為 400, 500, 800,并且 P(X= 400)= 1-代16

16、 =1116,1 1P(X = 500) = 16, P(X = 800)= 4.所以X的分布列為：X400500800P11丄11616411 1 1E(X) = 400 × 16 + 500× 16 + 800× 4 = 506.25.歸納升華(1) 求離散型隨機(jī)變量的分布列有以下三個(gè)步驟：明確隨機(jī)變量X取哪些值；計(jì)算隨機(jī)變量X取每一個(gè)值時(shí)的概率；將結(jié)果用表 格形式列出.計(jì)算概率時(shí)要注意結(jié)合排列組合知識(shí).(2) 均值和方差的求解方法是：在分布列的基礎(chǔ)上利用E(X) = X1P1 + X2P2 + XiPi + XnPn 求出均值，然后利用 D(X)n=Xi -

17、 E(X)2Pi 求出方差.i = 1變式訓(xùn)練甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的 隨機(jī)變量 已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10, 9, 8, 7環(huán)的概率分別為0.5, 3a, a, 0.1,乙射中 10, 9, 8環(huán)的概率分別為0.3, 0.3, 0.2.(1)求 的分布列；求 的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).解：(1)由題意得：0.5 + 3a+a+ 0.1= 1,解得 a= 0.1.因?yàn)橐疑渲?0, 9, 8環(huán)的概率分別為0.3, 0.3, 0.2,所以乙射中7 環(huán)的概率為 1-(0.3 + 0.3 + 0.2)= 0.2.所以 的分布

18、列分別為：10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E( = 10× 0.5 + 9× 0.3 + 8× 0.1 + 7× 0.1 = 9.2;E() = 10× 0.3 + 9× 0.3 + 8× 0.2 + 7× 0.2= 8.7;D( = (10 9.2)2 × 0.5 + (9- 9.2)2 × 0.3 + (8 9.2)2× 0.1 + (7 - 9.2)2 × 0.1 = 0.96;D() = (10 8.7)2 &

19、#215; 0.3 + (9 8.7)2 × 0.3 + (8 8.7)2× 0.2 + (7 8.7)2 × 0.2= 1.21.由于E( >E(n, D( V D( n,說(shuō)明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高， 且成績(jī)比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好專(zhuān)題五正態(tài)分布及簡(jiǎn)單應(yīng)用高考主要以選擇題、填空題形式考查正態(tài)曲線的形狀特征與性質(zhì)， 抓住其對(duì)稱(chēng)軸是關(guān)鍵.例5為了解一種植物的生長(zhǎng)情況，抽取一批該植物樣本測(cè)量高 度(單位：Cm),其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求該植物樣本高度的平均數(shù)X和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用 該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)假設(shè)該植物的高度Z

20、服從正態(tài)分布N( ),其中近似為樣 本平均數(shù)X, 近似為樣本方差S ,利用該正態(tài)分布求P(64.5v Z V 96).(附：110= 10.5若 ZN( (?),貝y P( (V ZV 葉 = 0.682 6, P( 2 (TV Z V + 2 ? = 0.954 4)解：(1)x= 55× 0.1 + 65× 0.2 + 75× 0.35 + 85× 0.3 + 95× 0.05= 75,S = (55 75)2 × 0.1 + (65 75)2 × 0.2 + (75 75)2 × 0.35+ (85 75)2

21、 × 0.3 + (95 75)2× 0.05= 110.(2)由(1)知，ZN(75, 110),1 1從而 P(64.5VZV75)= 2× P(75 10.5v ZV 75+ 10.5)= 2× 0.682 6 =0.341 3,1 1P(75vZV 96) = 2× P(75 2× 10.5v ZV75 + 2× 10.5) = 2× 0.954 4 =0.477 2,所以 P(64.5V ZV 96)= P(64.5v ZV 75)+ P(75V ZV 96) = 0.341 3+ 0.477 2= 0.

22、818 5.歸納升華求解正態(tài)分布的問(wèn)題，要根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性，還要結(jié)合3?原 則以及正態(tài)曲線與X軸之間的面積為1.變式訓(xùn)練某鎮(zhèn)農(nóng)民年收入服從 = 5 000元，？ = 200元的正態(tài) 分布.則該鎮(zhèn)農(nóng)民平均收入在5 0005 200元的人數(shù)的百分比是解析：設(shè)X表示此鎮(zhèn)農(nóng)民的平均收入，則 XN(5 000 , 2002).由 P(5 000 200V X 5 000+ 200)= 0.682 6.0.682 6得 P(5 000V X 5 200)= 0.341 3.故此鎮(zhèn)農(nóng)民平均收入在5 0005 200元的人數(shù)的百分比為34.13%.答案：34.13%專(zhuān)題六方程思想方程思想是解決概率問(wèn)題中的重要思想，在求離散型隨機(jī)變量的 分布列，求兩個(gè)或三個(gè)事件的概率時(shí)常會(huì)用到方程思想.即根據(jù)題設(shè) 條件列出相關(guān)未知數(shù)的方程(或方程組)求得結(jié)果.例6甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲1 機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為-,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為1 212，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零