大學數學(高數微積分)第七章線性變換第六節(jié)(課堂講義)

1、編輯ppt編輯ppt 若用集合的記號則編輯ppt 由A + A = A ( + ) ，k A = A (k)可知，A V 是非空的，由 A =0 與 A = 0 可知 A ( + ) =0， A (k) = 0 .A V 對加法與數量乘法是封閉的，同時，因此 A V 是 V 的子空間.編輯ppt這就是說， A -1(0) 對加法與數量乘法是封閉的.又因為 A (0) = 0，所以 0 A -1(0) ，即 A -1(0) 是非空的.所以 A -1(0) 是 V 的子空間.A V 的維數稱為 A 的， A -1(0) 的維數稱為A 的. 在線性空間 Pxn 中，令D ( f (x) ) = f

2、(x) .則 D 的值域為 Pxn-1 ， D 的核為子空間 P .編輯ppt 編輯ppt 設 是 V 的任一向量，可用基表示為 = x11 + x22 + + xnn .于是A = x1 A 1 + x2 A 2 + + xn A n .這個式子說明， A L(A 1 , A 2 , , A n ) ,因此 A V L(A 1 , A 2 , , A n ) .這個式子還表明基像組的線性組合還是一個像，也即L(A 1 , A 2 , , A n ) A V .編輯pptA V = L(A 1 , A 2 , , A n ) .于是就有 根據 ， A 的秩等于基像組的秩.另一方面，矩陣 A 是

3、由基像組的坐標按列排列成的.在前一章第八節(jié)中曾談過，若在 n 維線性空間 V 中取定了一組基之后，把 V 的每一個向量與它的坐標對應起來，就得到了 V 到 P n 的同構對應.同構對應保持向量組的一切線性關系，因此基像組與它們的坐標組(即矩陣 A 的列向量組)有相同的秩.編輯ppt 設 A V 的一組基為 1 , 2 , , r , 它們的原像為 1 , 2 , , r , A i= i ，i = 1 , 2 , , r . 又取 A -1(0) 的一組基為 r+1 , r+2 , , s .現在來編輯ppt證明 1 , 2 , , r , r+1 , r+2 , , s 為 V 的基. 若有

4、l11 + l22 + + lrr + lr+1r+1 + + lss = 0 .用 A 去變它的兩端的向量，得l1 A 1 + l2 A 2 + + lr A r + lr+1 A r+1 + + ls A s= A 0 = 0 .因 r+1 , r+2 , , s 屬于A -1(0) ，故A r+1 = A r+2 = = A s = 0 .又 A i= i ，i = 1 , 2 , , r . 于是上式就變成l11 + l22 + + lrr = 0 .編輯ppt但 1 , 2 , , r 是線性無關的，有l(wèi)1 = l2 = lr = 0 .于是等式l11 + l22 + + lrr +

5、 lr+1r+1 + + lss = 0就變成lr+1r+1 + + lss = 0 .又因為 r+1 , r+2 , , s 是 A -1(0) 的基也線性無關,就有l(wèi)r+1 = = ls = 0 .這就證明了1 , 2 , , r , r+1, , s 是線性無關的.編輯ppt再證 V 的任一向量 是1 , 2 , , r , r+1, , s的線性組合.由 1 = A 1 , , r = A r 是 A V 的基，就有一組數l1 , l2 , , lr使A = l1 A 1 + l2 A 2 + + lr A r = A ( l1 1 + l2 2 + + lr r ) . 于是編輯pp

6、tA ( - l1 1 - l2 2 - - lr r ) = 0，即 - l1 1 - l2 2 - - lr r A -1(0) .又因為 r+1 , r+2 , , s 是 A -1(0) 的基，必有一組數lr+1 , lr+2 , , ls使 - l1 1 - l2 2 - - lr r = lr+1 r+1 + + ls s 于是就有編輯ppt = l1 1 + l2 2 + + lr r + lr+1 r+1 + + ls s 這就說明 是 1 , 2 , , r , r+1, , s 的線性組合.也就證明了 1 , 2 , , r , r+1, , s 是 V 的一組基.由 V

7、的維數為 n ，知 s = n .又 r 是A V 的維數也即 A 的秩， s - r = n - r 是 A -1(0) 的維數，即A 的零度.因而A 的秩 + A 的零度 = n .編輯ppt 顯然，當且僅當 A V = V，即 A 的秩為 n 時， A 是滿射；另外，當且僅當 A -1(0) = 0即 A 的零度為 0 時， A 是單射，于是由上述定理即可得出結論.應該指出，編輯ppt 設線性變換 A 在三維線性空間 V 的一組基 1 , 2 , 3 下的矩陣是.103012121A 求 A 在基 1 , 2 , 3 下的矩陣，其中：.,2,32321332123211編輯ppt 求 A

8、 的值域 A V 和核 A -1(0) ； 把 A V 的基擴充為 V 的基，并求 A 在這組基下的矩陣； 把 A -1(0) 的基擴充為 V 的基，并求 A 在這組基下的矩陣.編輯ppt 設 A 是一個 n n 矩陣，A2 = A . 證明A 相似于一個對角矩陣) 1 (.00111編輯ppt取一 n 維線性空間 V 以及 V 的一組基1 , 2 , , n .定義線性變換 A 如下：A (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) A .下面來證明， A 在一組適當的基下的矩陣是 (1) .這樣，由也就證明了所要的結論.由 A2 = A，可知 A 2 =A .我們取 A V 的一組基為 1 , 2 , , r .由A 1 = 1 ,