數(shù)學預備知識

1、1、矢量與標量2、矢量的表示3、矢量的運算(1)(1)矢量的加法 (2) 矢量的減法 (3) 矢量的乘法標積矢積矢量的簡介矢量既有大小又有方向，如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、電場強度等。1、物理量可分為標量和矢量兩種如：質(zhì)量、長度、時間、密度、能量、溫度等。標量只有大小，2、矢量的表示 幾何表示：有方向的線段123 (,)AA A A AA用或表 示 解析表示 書寫：字母上方用箭頭符號標記, , ,F r v a 123AAiA jA k或印刷：用黑體字表示矢量，F(xiàn) F，r r，v v，a a 矢量的大?。壕€段的長度或 的模，A232221|AAAAA 單位矢量：長度為一個單位的矢量A

2、AA 矢量相等： 大小相同，方向相同 平行移動不會改變一個矢量ABCABCAAA或或 對一般矢量，其單位矢量可用字母上方的尖符表示，如如沿x, y, z 軸正方向的單位矢量可表示為：kji,3 3、矢量的運算(1) (1) 矢量的加法 平行四邊形法則三角形法則CABB的尾端接到A的箭頭頂端，兩個矢量的和矢量為A的尾端指向B的頂端的矢量ABCABC222cosCABAB多個矢量的合成：RABCDDCBAR合成矢量的解析表示：jAiAAyxxxxBACyyyBACjBiBByxjCiCCyxMgT1T1力的合成AyABCAxBxByXy(2) (2) 矢量的減法 ()CABAB 矢量A-B等于從B

3、的頂端指向A的頂端-BBACBCA2 22 cosAB CAB 交換律ABBA()()ABCABC 結(jié)合律(3) 矢量的乘法 0 0 CACACACA大大小小平平行行于于方方向向平平行行于于 與標量相乘 與矢量相乘 標積(點積)矢積(叉積)BABA- 結(jié)果為標量- 結(jié)果為矢量 矢量的標積（點積）cos ( )A BABA B 為為 與與 的的夾夾角角AB兩矢量點積得標量 上式含意？ 矢量的標積（點積） cosA BAB ( )AB 為為 與與的的夾夾角角AB)(BcosAB)(AcosBcosABAAcosBBA矢量的點乘表示一個矢量的模乘上另一個矢量在這一矢量上的分量（投影）。這一分量（投影

4、）可正可負。 若0A B 可能00ABAB2A AA 矢量的標積（點積）cos ( )A BABA B 為為 與與 的的夾夾角角ABxxyyzzA BA BA BA B kAjAiAAzyXkBjBiBBzyx交換律：A B B A 標積計算：()AA B CA BC 分配律：若一個物體在力F作用下移動位移rFr則力F所作的功：cosWFr記為標積形式，則為：WF r標積的應(yīng)用: : 矢量的矢積（叉積）是一個矢量大?。浩叫兴倪呅蚊娣e sin(0 )CABABCA BABC方向：右手螺旋法則，要求四指繞過的角度小于 kBABAjBABAiBABABAxyyxzxxzyzzy)()()(*矢積的性

5、質(zhì)： 0 () ()( )( )A BBAA AABCA BA CAB CB A CC A B 特殊情況：* 若 ，則 最大BABA* * 若 ，則BA/0BA 矢積的應(yīng)用：洛侖茲力：sinFqvBFqvB求（1） （2）,32,43kibjia例1 已知baba ;解（1）6300)4()2(3bakji)2()4(0333)2(03)4(kji8912（2）ba作 業(yè)（9月12日） 1 . 矢量a的大小為，方向正東，矢量b的大小為，方向北偏西35度。求 a + b 及 a b 的大小及方向。4444xx3 .cosa b=a b,a=3i+3j+3k b=2i+1j+3kyyzza bab

6、a ba b用標積定義 與 求兩矢量 與的夾角。一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的導數(shù)三、函數(shù)的微分四、積分導數(shù)與微分運算一、函數(shù)的極限 對任意函數(shù)f (x)，當自變量x無限趨于某一數(shù)值x0 0（記作x x0 ）時，函數(shù)值無限趨于某一確定的數(shù)值a，則a稱為x x0時函數(shù)f(x)的極限值，記作：axfxx)(lim02arctanlimxx例：2arctanlimxxlimsin0 xoxlimcos1xox注意即使 (x) 在 x0 0 點沒有定義，或 ，上面關(guān)于極限的陳述仍可以是對的。axf)(011)(2xxxf例：2| 1)(lim11xxxxf二、函數(shù)的導數(shù)1、問題的提出2、導數(shù)的定義3、導數(shù)的

7、意義4、導數(shù)的求解5、導數(shù)的運算規(guī)則加減積商復合函數(shù)求導矢量求導運動時間 ,tt自由落體運動的瞬時速度問題t 1、問題的提出2)(lim)() (lim)(ttgtttststvtttt瞬時速度如何由s s( (t t),),求v( (t t)?)?)(2)() (ttgtttststsv平均速度取極限當 時tt t 取一鄰近t t 的時刻t t, ,如圖，gt221)(gttstsvtvtt00limlim)(ttsttst)()(lim0 當以上極限存在時，則此極限稱為函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)。(顯然，這是一個特殊的極限)( )yf x函數(shù)導數(shù)又可記為：2、導數(shù)的定義ttsttstvt

8、)()(lim)(0自由落體問題中: :dtdsxxx00)()(00 xxfxfxy0limxdxdyxxfxxfx)()(lim000yyxf, ),( 一、 矢量 回顧123AAiA jA kA = AA或 （1 1）點積： xxyyzzA BA BA BA B cosABBA （2 2）叉積： ABC(0 ) sinABCAB 二、導數(shù)的定義( )yf xxy0limxdxdyxxfxxfx)()(lim000yyxf)( 導數(shù)是一個特殊的極限！關(guān)于導數(shù)的說明：dxdy （導數(shù)）則是當區(qū)間間隔 x 0 時的f(x)在x0處的變化率。 是 在以某 和 為端點的區(qū)間上的平均變化率。xy0

9、xxx0y 在許多物理問題中，需要研究變量的瞬時變化率，如物體的運動速度、加速度、電流強度等。在數(shù)學上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導數(shù)。xy y x0 f( x)x0y0y1x13、導數(shù)的意義 函數(shù)在某一點的導數(shù)值，表示函數(shù)曲線上該點的切線斜率。幾何意義：割線斜率xy切線t1t3t2x1x3x2 t越小，平均速率越接近瞬時速度。dtdxttxttxtxtvtt)()(limlim)(00121221)()()(tttxtxttvtxv平均速度：瞬時速度X對t的導數(shù)。導數(shù)物理意義： 非均勻變化量在某點的變化率。步驟: :()( )(2);yf xxf xxx求求比比值值0(3)lim.xyyx

10、求求極極限限4、導數(shù)的求解： 由定義求導數(shù)（三步法） );()(xfxxfy(1)(1)求函數(shù)增量例1( )()f xC C求求函函數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù) 的的導導數(shù)數(shù)解0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxCCx 00( )C 即即例2220()limxxxxyx202limxxxxx0lim (2)2xxxx22()xx即即的導數(shù)求2xy 解例3( )sin ,(sin ) .f xxx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)求求解0sin()sin( )limxxxxfxx 02sincos()22limxxxxx 0lim cos()cos2xxxx (sin )cosxx即即勻加速直線運動202

11、1)(attvtx20202021 21)(21)(tatattvattvttattvxtxtvt0lim)()21(lim00taatvtatv 0解：求瞬時速度例4常見函數(shù)的求導公式：0C(1)(2)1)(nnnxx(4)cos)(sin(5)sin)(cos(3)xxee )(6)x1)lnx(導數(shù)的運算法則：12( ),( )yf xyg x()fgfg()fgf gfg2()ff gfggg加減積商5、導數(shù)的常用公式及運算規(guī)則( sin )yxx例5：求 y = x sinx 的導數(shù)。解：sincosxxx( )sin(sin )xxxx例6： ， 求 導數(shù)。解：4132112223

12、()()xxx 23123yxxx23123() () () ( )yxxx4132123xxx復合函數(shù)求導：二階導數(shù)：22( )()( )( )df xdd f xdxfxydxdx N 階導數(shù)：( ), ( )yf uux設(shè)設(shè) dxdududydxdyd f ( )nxndxy f (x)nn例72sin, .設(shè)設(shè)求求yxy解：2sin ,yu ux令令dydy duydxdu dx2cos()ux2cos2xx22 cosxx(sin )du dududx 矢量的導數(shù)：xyzAA iA jA kyxzdAdAdAdAijkdtdtdtdt幾點推論：dtBddtAddtBAd)(dtAdC

13、dtACd)(dtBdABdtAddtBAd)(dAdAd AAAdtdtdtAAA 注意：對矢量的求導有兩項：一是大小的變化產(chǎn)生的，二是方向的變化產(chǎn)生的。dtBdABdtAddtBAd)(三、函數(shù)的微分在實際應(yīng)用中，還會遇到與導數(shù)密切相關(guān)的另一類問題，這就是當自變量有一個微小的增量時，要求計算函數(shù)的相應(yīng)的增量。這一函數(shù)的增量稱為微分。實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量. .00,xxx設(shè)設(shè)邊邊長長由由 變變到到0 x0 xx x 20,Ax正正方方形形面面積積20 xA 2200()Axxx202()xxx(1)xx 0 xx 0:)1(,;xA的的線線性性函函數(shù)數(shù) 且且為為的的主主

14、要要部部分分)2(2()x 問題的提出:)2(的二階項，可以忽略。x( 相對 x0 很小)。x既簡化了計算又有很好的近似值xxA02若函數(shù) f (x) 在 x 處有導數(shù) f (x), 則 微分的定義：dy 稱為函數(shù)f (x) 在點 x 處的微分。dxxfdy)( dx 稱為自變量的微分。( )dyfxdx dxxfdy)( 即導數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分之商所以導數(shù)又稱微商計算函數(shù)的導數(shù), , 乘以自變量的微分. . 微分的求法：基本初等函數(shù)的微分公式1( )0()d Cd xxdx 1()(ln )xxd ee dxdxdxx (sin )cos(cos )sindxxdxdxxdx 函

15、數(shù)的微分法則（與導數(shù)的相同）()()d u vdu dvd CuCdu 2()( )uvduudvd uvvduudvdvv 例22ln(),.xyxedy設(shè)設(shè)求求解dydy dudxdu dx2212xxxedydxxe2,lnxuxeyu令令2211 2()xxxexe21()xxeu例121sin(),.yxdy設(shè)設(shè)求求解21sin ,yu ux令令cosdyudu cos(21) (21)xdx cos(21) 2xdx 221cos()xdx 函數(shù)的變化率問題導數(shù)函數(shù)的增量問題微分 求導數(shù)與微分的方法, ,叫做微分法。 微分在近似計算中的應(yīng)用dxxfdy)( xxfy)( 這里 不是

16、嚴格意義的無窮小，但仍然較小。x)()(0 xfxfy)( )()(000 xxxfxfxf)( 00 xxxf這個式子可方便地計算一個函數(shù)在某點x0 附近的近似值。很小時0 xx 例3：為使擺長為20cm的單擺振動周期增大，則擺長應(yīng)增加多少？（g=981cm/s2）glT2解;224gTl dTgTdl22dTgl)(23. 2cm即，擺長應(yīng)調(diào)整為22.23 cm 例4 一個半徑為1厘米的球，為了提高表面的光潔度，需要鍍上一層銅，銅層厚度為厘米，估計每只球需要用銅多少克（銅的密度為3）解：33)(34rrrVrrrV 243)(13. 0cm每只球需用銅約)(16. 19 . 813. 0g

17、 以下是常用的近似公式（| |x|很小時) ) : :xx )sin(NxxN1)1 (xx2111xx )1ln(xex1xx )tan(.(x為弧度)(x為弧度)四、積分 問題的提出 定積分、不定積分的定義 定積分的幾何意義 定積分的計算 不定積分的計算如何求圖形中的面積？數(shù)方格。x0yxy=f(x)面積？如何求x0,x區(qū)間內(nèi)曲線下的面積？ 問題的提出用矩形面積近似取代曲邊梯形面積。 求曲邊梯形的面積abxyo（四個小矩形）axyo)(xfy ? Ababxyo（九個小矩形）顯然, 小矩形越多, 小矩形上邊界帶來的近似越小，得到的總面積越接近曲邊梯形的精確面積.曲邊梯形總面積的近似值為：上

18、面方法的一般化：將區(qū)間a,b分 n 等份，每一個小區(qū)間寬度為xxxfAii)(區(qū)間 xi , xi+1 對應(yīng)的小矩形高取為)(ixf012()( )()()nxxxxAfxfxfxfx 1xix 1ixabxyo)(ixf，其面積為：niiniixxfA11)(所得到的矩形求和面積即為曲邊梯形的精確面積： 當分割無限加細，即小區(qū)間的寬度 時，0 x)(nniininxinxxxfAA1100)(limlimabxyo 1xix 1ix（1）分割 變速直線運動中由速度求路程tvt00ti上述思路完全適用變速直線運動中由速度求路程問題 （2）求和niiniittvss11)(路程的精確值（3）取極

19、限0t)(nniintniintttvss1010)(limlim問題：共性：它們求的都是在某個區(qū)間上的總量（總面積或總路程）。解決方法：通過無限分割的方法，把總量歸結(jié)為求一種特定和式的極限。以上兩個例子，一個是幾何問題，求的是曲邊梯形的面積；一個是物理問題，求的是變速直線運動的物體在一定時間內(nèi)所走過的路程。00lim( )( )xniinixf xxf x dx被積函數(shù)被積表達式積分變量 積分下限 積分的定義這種給出積分上、下限的積分稱為定積分；不給出積分上、下限的積分稱為不定積分。積分上線f(x)對x的積分( )0,f x ( )baf x dxA 曲邊梯形的面積( )0,f x ( )b

20、af x dxA 曲邊梯形的面積的負值1234( )baf x dxAAAA 1A2A3A4A 定積分的幾何意義 定積分的計算如果函數(shù) f(x) 在 a, b區(qū)間是連續(xù)的，且如果在 a, b區(qū)間內(nèi) ，則 稱為 的原函數(shù)。)()( xfx )(x)(xf 即，求一個函數(shù)的定積分關(guān)鍵是要找出其原函數(shù)，原函數(shù)在積分區(qū)間的增量即為其定積分值。牛頓-萊布尼茲公式 )()()(abdxfbax有如：)(tvS SSSdtvabbat)()()(所以，積分是微分的無限求和，它是微分的逆運算。)()()(abxdbabababadxdxxddxxdxxf)()( )(2、積分的性質(zhì)( )( )( )( )bb

21、bxxxxaaafgdxfdxgdx( )( )( )bcbxxxaacfdxfdxfdxdxfdxfabxbax)()(20(2cossin1)xxdx 解原函數(shù)式 202sincosxxx 32 例1 求 解 面積0sinAxdx 202cos x 2 xyo 例2 計算曲線 在 上與x軸所圍成的平面圖形的面積。 sinyx 0, 0 xA Bdx例3 棒AB長6厘米，與棒A端相距x處的分布密度為2( )236,xxxg cm求棒總質(zhì)量。解：dxdM620(236)MdMxxdx234 ( )g例4 彈簧從原有長度被拉長a，求拉力做功。解：aakxdxdxFW002022121kaxkaX

22、F0 ax第二次作業(yè)（9月14日）4xy0limxdxdy 回顧一、導數(shù)常用公式 解析：當區(qū)間間隔 x 0 時的f(x)在x0處的變化率。 物理:非均勻變化量在某點的變化率。 幾何:函數(shù)在某一點的導數(shù)值，表示函數(shù)曲線上該點的切線斜率。運算法則復合函數(shù)求導 N 階導數(shù) 矢量的導數(shù)：微分公式1( )0()d Cd xxdx 1()(ln )xxd ee dxdxdxx (sin )cos(cos )sindxxdxdxxdx 微分法則()()d u vdu dvd CuCdu 2()( )uvduudvd uvvduudvdvv dxxfdy)( 二、微分：xxfy)( 解決函數(shù)的增量問題 微分在近似計算中的應(yīng)用 微分公式及微分法則與求導相似例22ln(),.xyxedy設(shè)設(shè)求求解dydy dudxdu dx2212xxxedydxxe2,lnxuxeyu令令2211 2()xxxexe21()xxeu例121sin(),.yxdy設(shè)設(shè)求求解21sin ,yu ux令令cosdyudu cos(21) (21)xdx cos(21) 2xdx 221cos()xdx三、積分 通過無限分割的方法，把總量歸結(jié)為求一種 特定和式的極限 幾何意義：