《用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程》同步練習(xí)2

1、用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程同步練習(xí)基礎(chǔ)探究1.已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題: (1) a=_,c=_. (2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是_,頂點(diǎn)坐標(biāo)P_. (3)該函數(shù)有最_值,當(dāng)x=_時(shí),y最值=_. (4)當(dāng)x_時(shí),y隨x的增大而減小. 當(dāng)x_時(shí),y隨x的增大而增大.(5)拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)A_,B_;與y軸交點(diǎn)C 的坐標(biāo)為_(kāi);=_,=_. (6)當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍是_;當(dāng)y<0時(shí),x的取值范圍是_. (7)方程ax2-5x+c=0中的符號(hào)為_(kāi).方程ax2-5x+c=0的兩根分別為_(kāi),_. (8)當(dāng)x=6時(shí),y_0;當(dāng)x=-2時(shí),y_0.

2、2.已知下表:x012ax21ax2+bx+c33 (1)求a、b、c的值，并在表內(nèi)空格處填入正確的數(shù)； (2)請(qǐng)你根據(jù)上面的結(jié)果判斷: 是否存在實(shí)數(shù)x,使二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的值為0?若存在,求出這個(gè)實(shí)數(shù)值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.畫出函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象示意圖,由圖象確定,當(dāng)x取什么實(shí)數(shù)時(shí),ax2+ bx+c>0?3.請(qǐng)畫出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖象,求方程x2=x+3的解.4.若二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-5,0),B(-1,0). (1)求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式; (2)如果要通過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭?使得這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),那么應(yīng)該怎樣平移?向右還是

3、向左?或者是向上還是向下?應(yīng)該平移向個(gè)單位?5.已知某型汽車在干燥的路面上, 汽車停止行駛所需的剎車距離與剎車時(shí)的車速之間有下表所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系.速度V(km/h)48648096112剎車距離s(m)22.53652.57294.5 (1)請(qǐng)你以汽車剎車時(shí)的車速V為自變量,剎車距離s為函數(shù), 在圖所示的坐標(biāo)系中描點(diǎn)連線,畫出函數(shù)的圖象;(2)觀察所畫的函數(shù)的圖象,你發(fā)現(xiàn)了什么?(3)若把這個(gè)函數(shù)的圖象看成是一條拋物線,請(qǐng)根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù),選擇三對(duì),求出它的函數(shù)關(guān)系式;(4)用你留下的兩對(duì)數(shù)據(jù),驗(yàn)證一個(gè)你所得到的結(jié)論是否正確.能力提升6.如圖所示,矩形ABCD的邊AB=3,AD=2,將此矩形置

4、入直角坐標(biāo)系中,使AB在x 軸上,點(diǎn)C 在直線y=x-2上. (1)求矩形各頂點(diǎn)坐標(biāo); (2)若直線y=x-2與y軸交于點(diǎn)E,拋物線過(guò)E、A、B三點(diǎn),求拋物線的關(guān)系式; (3)判斷上述拋物線的頂點(diǎn)是否落在矩形ABCD內(nèi)部,并說(shuō)明理由.7.已知一條拋物線經(jīng)過(guò)A(0,3),B(4,6)兩點(diǎn),對(duì)稱軸是x=. (1)求這條拋物線的關(guān)系式. (2)證明:這條拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中,必存在點(diǎn)C,使得對(duì)x軸上任意點(diǎn)D都有AC+BCAD+BD.8.如圖所示,一位籃球運(yùn)動(dòng)員在離籃圈水平距離為4m處跳起投籃,球沿一條拋物線運(yùn)行,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5m時(shí),達(dá)到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi).已知籃圈中

5、心離地面距離為3.05m. (1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式; (2)若該運(yùn)動(dòng)員身高1.8m,這次跳投時(shí),球在他頭頂上方0.25m處出手.問(wèn):球出手時(shí),他跳離地面多高?9.某工廠生產(chǎn)A產(chǎn)品x噸所需費(fèi)用為P元,而賣出x噸這種產(chǎn)品的售價(jià)為每噸Q元, 已知P=x2+5x+1000,Q=-+45. (1)該廠生產(chǎn)并售出x噸,寫出這種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)W(元)關(guān)于x(噸)的函數(shù)關(guān)系式; (2)當(dāng)生產(chǎn)多少噸這種產(chǎn)品,并全部售出時(shí),獲利最多?這時(shí)獲利多少元? 這時(shí)每噸的價(jià)格又是多少元?10.已知拋物線y=2x2-kx-1與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一個(gè)大于2,另一個(gè)小于2,試求k的取值范圍.1

6、1.如圖,在RtABC中,ACB=90°,BC>AC,以斜邊AB 所在直線為x軸,以斜邊AB上的高所在直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,若OA2+OB2= 17, 且線段OA、OB的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的兩個(gè)根. (1)求C點(diǎn)的坐標(biāo); (2)以斜邊AB為直徑作圓與y軸交于另一點(diǎn)E,求過(guò)A、B、E 三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式,并畫出此拋物線的草圖. (3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使ABP與ABC全等?若存在,求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.綜合探究12.已知拋物線L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是,與y軸

7、的交點(diǎn)是M(0,c)我們稱以M為頂點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸且過(guò)點(diǎn)P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線,直線PM為L(zhǎng)的伴隨直線. (1)請(qǐng)直接寫出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式: 伴隨拋物線的關(guān)系式_ 伴隨直線的關(guān)系式_ (2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x2-3和y=-x-3, 則這條拋物線的關(guān)系是_: (3)求拋物線L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式; (4)若拋物線L與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn)x2>x1>0,它的伴隨拋物線與x 軸交于C,D兩點(diǎn),且AB=CD,請(qǐng)求出a、b、c應(yīng)滿

8、足的條件.13已知拋物線y=mx2-(m+5)x+5. (1)求證:它的圖象與x軸必有交點(diǎn),且過(guò)x軸上一定點(diǎn); (2)這條拋物線與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,過(guò)(1) 中定點(diǎn)的直線L;y=x+k交y軸于點(diǎn)D,且AB=4,圓心在直線L上的M為A、B兩點(diǎn),求拋物線和直線的關(guān)系式,弦AB與弧圍成的弓形面積.參考答案1.(1)a=1;c=4 (2)直線x=, (3)小; ; (4) (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; ; (6)x<1或x>4;1<x<4 (7)正號(hào);x1=1;x2=4 (8)>>2.(1)

9、由表知,當(dāng)x=0時(shí),ax2+bx+c=3;當(dāng)x=1時(shí),ax2=1;當(dāng)x=2時(shí),ax2+bx+c=3., a=1,b=-2,c=3,空格內(nèi)分別應(yīng)填入0,4,2. (2)在x2-2x+3=0中,=(-2)2-4×1×3=-8<0, 不存在實(shí)數(shù)x能使ax2+bx+c=0.函數(shù)y=x2-2x+3的圖象示意圖如答圖所示,觀察圖象得出,無(wú)論x取什么實(shí)數(shù)總有ax2+bx+c>0.3.:在同一坐標(biāo)系中如答圖所示,畫出函數(shù)y=x2的圖象,畫出函數(shù)y=x+3 的圖象,這兩個(gè)圖象的交點(diǎn)為A,B,交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)和2就是方程x2=x+3的解.4.:(1)y=x2+bx+c,把A(-5

10、,0),B(-1,0)代入上式,得, y=. (2)y= 頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,2),欲使函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),應(yīng)向下平移2個(gè)單位.5.:(1)函數(shù)的圖象如答圖所示. (2)圖象可看成是一條拋物線這個(gè)函數(shù)可看作二次函數(shù). (3)設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為:s=av2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分別代入s=av2+bv+c,得, 解得.(4)當(dāng)v=80時(shí), s=52.5, 當(dāng)v=112時(shí), s=94.5, 經(jīng)檢驗(yàn),所得結(jié)論是正確的.6.:(1)如答圖所示. y=x-2,AD=BC=2,設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2),把C(m,2)代入y=x-2,2=m-2.m

11、=4.C(4,2),OB=4,AB=3.OA=4-3=1,A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2). (2)y=x-2,令x=0,得y=-2,E(0,-2).設(shè)經(jīng)過(guò)E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為y=ax2+bx+c, 解得 y=.(3)拋物線頂點(diǎn)在矩形ABCD內(nèi)部.y=, 頂點(diǎn)為. , 頂點(diǎn) 在矩形ABCD內(nèi)部.7.(1)解:設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=ax2+bx+c, A(0,3),B(4,6),對(duì)稱軸是直線x=. , 解得 y=. (2)證明:令y=0,得=0, A(0,3),取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E,E (0,-3).設(shè)直線BE的關(guān)系式為y

12、=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,k=,y=x-3 .由 x-3=0,得x= . 故C為,C點(diǎn)與拋物線在x軸上的一個(gè)交點(diǎn)重合,在x軸上任取一點(diǎn)D,在BED中,BE< BD+DE.又BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,AC+BC<AD+BD.若D與C重合,則AC+BC=AD+BD. AC+BCAD+BD.8:(1)圖中各點(diǎn)字母表示如答圖所示.OA=2.5,AB=4,OB=4-2.5=1.5.點(diǎn)D坐標(biāo)為(1.5,3.05). 拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,3.5),設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=ax2+3.5,把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.

13、52+3.5,a=-0. 2,y=-0.2x2+3.5 (2)OA=2.5,設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,m),把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25. 該運(yùn)動(dòng)員跳離地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).9:(1)P=x2+5x+1000,Q=-+45. W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)= . (2)W=-(x-150)2+2000. -<0,W有最大值. 當(dāng)x=150噸時(shí),利潤(rùn)最多,最大利潤(rùn)2000元. 當(dāng)x=150噸,Q=-+45=40(元).10:y=2x2-k

14、x-1,=(-k)2-4×2×(-1)=k2+8>0,無(wú)論k為何實(shí)數(shù), 拋物線y=2x2-kx-1與x軸恒有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)y=2x2-kx-1與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且規(guī)定x1<2,x2> 2, x1-2<0,x2-2>0. (x1-2)(x2-2)<0,x1x2-2(x1+x2)+4<0.x1,x2亦是方程2x2-kx-1=0的兩個(gè)根,x1+x2=,x1·x2=-, ,k>. k的取值范圍為k>. 法二:拋物線y=2x2-kx-1與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)一個(gè)大于2,另一個(gè)小于2,此函數(shù)的圖象大致位置如答

15、圖所示.由圖象知:當(dāng)x=2時(shí),y<0. 即y=2×22-2k-1<0,k>.k的取值范圍為k>.11:(1)線段OA,OB的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的兩個(gè)根, 又OA2+OB2=17,(OA+OB)2-2·OA·OB=17. 把,代入,得m2-4(m-3) =17,m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.又知OA+OB=m>0,m=-1應(yīng)舍去. 當(dāng)m=5時(shí),得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4. BC>AC,OB>OA,OA=1,OB=4,在RtABC中,ACB=90&#

16、176;,COAB,OC2=OA·OB=1×4=4.OC=2,C(0,2) (2)OA=1,OB=4,C,E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱, A(-1,0),B(4,0),E(0,-2). 設(shè)經(jīng)過(guò)A,B,E三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式為 y=ax2+bx+c,則 ,解之,得 所求拋物線關(guān)系式為y=. (3)存在.點(diǎn)E是拋物線與圓的交點(diǎn). RtACBRtAEB,E(0,-2)符合條件. 圓心的坐標(biāo)(,0 )在拋物線的對(duì)稱軸上. 這個(gè)圓和這條拋物線均關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱. 點(diǎn)E關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E也符合題意. 可求得E(3,-2). 拋物線上存在點(diǎn)P符合題意,它們的坐標(biāo)是(0,-2)和(3,

17、-2)12.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1. (2)y=x2-2x-3 (3)伴隨拋物線的頂點(diǎn)是(0,c), 設(shè)它的解析式為y=m(x-0)2+c(m0). 設(shè)拋物線過(guò)P, 解得m=-a,伴隨拋物線關(guān)系式為y=-ax2+c. 設(shè)伴隨直線關(guān)系式為y=kx+c(k0). P在此直線上, k=. 伴隨直線關(guān)系式為y=x+c (4)拋物線L與x軸有兩交點(diǎn),1=b2-4ac>0,b2<4ac.x2>x1>0,x1+ x2= ->0,x1x2=>0,ab<0,ac>0.對(duì)于伴隨拋物線y=-ax2+c,有2=02-(-4ac)=4ac>0.由-a

18、x2+c=0,得x=.,CD=2. 又AB=x2-x1=. 由AB=CD,得 =2, 整理得b2=8ac,綜合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c滿足的條件為b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).13.(1)證明:y=mx2-(m+5)x+5,=-(m+5)2-4m×5=m2+10m+25-20m=(m- 5)2.不論m取任何實(shí)數(shù),(m-5)20,即0,故拋物線與x軸必有交點(diǎn). 又x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為零,令y=0,代入y=mx2-(m+5)x+5,得mx2-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,x=或x=1.故拋物線必過(guò)x軸上定點(diǎn)(1,0). (2)解:如答圖所示,L:y=x+k,把(1,0)代入上式,得0=1+k,k=-1,y=x-1. 又拋物線與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,