曲線與方程Word版

1、1 / 58.108.10曲線與方程曲線與方程一、選擇題一、選擇題1方程方程|x|11(y1)2所表示的曲線是所表示的曲線是()A一個(gè)圓一個(gè)圓B兩個(gè)圓兩個(gè)圓C半個(gè)圓半個(gè)圓D兩個(gè)半圓兩個(gè)半圓解析：解析：|x|11(y1)2|x|101(y1)20(|x|1)21(y1)2|x|10(|x|1)21(y1)2x1 或或 x1(|x|1)2(y1)21x1(x1)2(y1)21或或x1，(x1)2(y1)21.則方程則方程|x|1 1(y1)2所表示的曲線如圖所示所表示的曲線如圖所示答案：答案：D2如圖所示，已知兩點(diǎn)如圖所示，已知兩點(diǎn) A(2，0)、B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 不在不在 x 軸上，

2、且滿足軸上，且滿足APOBPO，其中，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn) P 的軌跡方程是的軌跡方程是()A(x2)2y24(y0)B(x1)2y21(y0)C(x2)2y24(y0)D(x1)2y21(y0)解析：解析：由由APOBPO，設(shè)，設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則則|PA|PB|AO|BO|2，即，即|PA|2|PB|，(x2)2y22(x1)2y2整理得整理得(x2)2y24，且，且 y0.答案：答案：C3與圓與圓 x2y24x0 外切，又與外切，又與 y 軸相切的圓的圓心的軌跡方程是軸相切的圓的圓心的軌跡方程是()Ay28xBy28x(x0)和和 y0Cy28x(

3、x0)Dy28x(x0)和和 y0(x0)解析：解析：如圖，設(shè)與如圖，設(shè)與 y 軸相切且與圓軸相切且與圓 C：x2y24x0 外切的圓心為外切的圓心為 P(x，y)，半徑為，半徑為 r，則則 (x2)2y2|x|2，若，若 x0，則，則 y28x；若；若 x0，則，則 y0.答案：答案：D4如圖，設(shè)圓如圖，設(shè)圓(x1)2y225 的圓心為的圓心為 C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q 為圓周上任一點(diǎn)，線為圓周上任一點(diǎn)，線2 / 5段段 AQ 的垂直平分線與的垂直平分線與 CQ 的連線交于點(diǎn)的連線交于點(diǎn) M，則，則 M 的軌跡方程為的軌跡方程為()A.4x2214y2251B.4x22

4、14y2251C.4x2254y2211D.4x2254y2211解析解析：M 為為 AQ 垂直平分線上一點(diǎn)垂直平分線上一點(diǎn)，則則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5， a52， c1， 則則 b2a2c2214.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4x2254y2211.答案：答案：D二、填空題二、填空題5兩條直線兩條直線 axy10 和和 xay10(a1)的交點(diǎn)的軌跡方程是的交點(diǎn)的軌跡方程是_解析：解析：由由axy10 xay10yx 得得y2yx2x0，即，即(x12)2(y12)212且且 xy0.答案答案：(x12)2(y12)212，且，且 xy06設(shè)設(shè) F1、F2是雙

5、曲線是雙曲線 x2y24 的兩焦點(diǎn)的兩焦點(diǎn)，Q 是雙曲線上任意一點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，從從 F1引引F1QF2平分平分線的垂線，垂足為線的垂線，垂足為 P，則，則 P 點(diǎn)的軌跡方程是點(diǎn)的軌跡方程是_解析解析：如圖如圖，延長(zhǎng)延長(zhǎng) F1P 交交 QF2于于 F1點(diǎn)點(diǎn)，連結(jié)連結(jié) PO.則在則在F1F2F1中，中，|PO|12|F2F1|12(|QF1|QF2|)12(|QF1|QF2|)2，即即|PO|2，P 點(diǎn)的軌跡方程為點(diǎn)的軌跡方程為 x2y24.答案答案：x2y247已知圓已知圓 C：(x3)2y24，過原點(diǎn)的直線與圓過原點(diǎn)的直線與圓 C 相交于相交于 A、B 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，則則 A、B 兩點(diǎn)中兩

6、點(diǎn)中點(diǎn)點(diǎn)M 的軌跡方程是的軌跡方程是_解析解析：如圖如圖，連接連接 CM，則則 CMAB，因此點(diǎn)因此點(diǎn) M 在以在以 OC 為直徑的圓為直徑的圓上，上，此圓的方程為此圓的方程為x322y294，將將x322y294與與(x3)2y24.相減整理得相減整理得 x53，因此因此 M 點(diǎn)的軌跡方程是點(diǎn)的軌跡方程是x322y294，且，且 x53.3 / 5答案答案：x322y294x53三、解答題三、解答題8 已知點(diǎn)已知點(diǎn) F(0， 14)， P 點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線 y4 上方上方， 且且 P 到點(diǎn)到點(diǎn) F 和直線和直線 y4 的距離之和為的距離之和為174.(1)求動(dòng)點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程；的軌跡

7、方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是的軌跡是 C，曲線，曲線 C 交交 y 軸于點(diǎn)軸于點(diǎn) M，在曲線，在曲線 C 上是否存在兩點(diǎn)上是否存在兩點(diǎn) A、B，使，使AMB2.解答：解答：(1)解法一：如圖，設(shè)解法一：如圖，設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，過，過 P 作作 PQ 垂直于直線垂直于直線 y4，垂足，垂足為為Q；根據(jù)題意得；根據(jù)題意得|PF|PQ|174，即，即x2(y14)2y4174.整理得整理得 x2y(y4)解法二解法二：如圖如圖，由由|PF|PQ|174可觀察出可觀察出|PF|與與 P 點(diǎn)到直線點(diǎn)到直線 y14的距離的距離相等相等，則則 P 點(diǎn)在以點(diǎn)在以 F(0，14)為焦

8、點(diǎn)為焦點(diǎn)，O(0,0)為頂點(diǎn)的拋物線為頂點(diǎn)的拋物線 x22py(p0)上，上，p214，即，即 p12，x2y，又點(diǎn)又點(diǎn) P 在在 y4 上方，則上方，則 y4.即所求點(diǎn)即所求點(diǎn) P 的軌跡方程為的軌跡方程為 x2y(y4)(2)當(dāng)當(dāng) y1 時(shí)，時(shí)，x1，因此存在，因此存在 A(1，1)，B(1，1)，使，使 OAOB0，即，即AMB2.9A、B 分別是直線分別是直線 ybax 和和 ybax 上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，且是坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|OB|a2b2(a，b 為常數(shù)值，為常數(shù)值，b0)求線段求線段 AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn) P 的軌跡方程的軌跡方程解答：解答：設(shè)設(shè) P、A、B 三點(diǎn)的坐

9、標(biāo)分別為三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x，y)、(x1，y1)、(x2，y2)，則，則 xx1x22，yy1y22，y1bax1，y2bax2，又又|OA|OB|1(ba)2|x1|1(ba)2|x2|a2b2a2|x1x2|，且，且|OA|OB|a2b2，|x1x2|a2.將將代入代入得得 yb2a(x1x2)，即，即abyx1x22，22得得 x2a2b2y2x1x2，即，即 x2a2b2y2a2.所求軌跡方程為所求軌跡方程為x2a2y2b21.4 / 510(原創(chuàng)題原創(chuàng)題)如圖如圖，已知定點(diǎn)已知定點(diǎn) F0，p2 ，定直線定直線 l：yp2，過定直線過定直線 l 上任上任意一點(diǎn)意一點(diǎn) M 作作 l 的

10、垂線的垂線 MP，線段，線段 MF 的垂直平分線與直線的垂直平分線與直線 MP 相交于相交于 P點(diǎn)點(diǎn)(1)求求 P 點(diǎn)的軌跡點(diǎn)的軌跡 C 的方程；的方程；(2)證明：證明：PN 與曲線與曲線 C 相切相切解答解答：(1)由已知條件知由已知條件知|PF|PM|，根據(jù)拋物線定義根據(jù)拋物線定義，P 點(diǎn)在以點(diǎn)在以 F0，p2 ，準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為 yp2的拋物線上，因此點(diǎn)的拋物線上，因此點(diǎn) P 的軌跡方程為的軌跡方程為 x22py.(2)證明：設(shè)證明：設(shè) Mx0，p2 ，則，則 k kFMpx0，Nx02，0，k kNPx0p，則直線，則直線 NP 的方程為的方程為 yx0pxx02 ，將上式代入，將上式代

11、入 x22py，整理得：，整理得：x22x0 xx200，則，則(2x0)24x200，因此，直線因此，直線 PN 與曲線與曲線 x22py 相切相切1設(shè)設(shè) A1、A2是橢圓是橢圓x29y241 長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于是垂直于 A1A2的弦的端點(diǎn)的弦的端點(diǎn)，則直則直線線A1P1與與 A2P2交點(diǎn)交點(diǎn) M 的軌跡方程為的軌跡方程為()A.x29y241B.y29x241C.x29y241D.y29x241解析解析：如圖如圖，設(shè)設(shè) M、P1、P2點(diǎn)坐標(biāo)分別為點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x，y)、(x0，y0)、(x0，y0)，則，則x209y2041，即，即y20 x20949.直線直

12、線 A1P1的方程為的方程為 yy0 x03(x3)直線直線 A2P2的方程為的方程為 yy0 x03(x3)得得 y2y20 x209(x29)49(x29)，整理得，整理得x29y241.答案：答案：C2如圖如圖，設(shè)拋物線設(shè)拋物線 C：yx2的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 F，動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) P 在直線在直線 l：xy20 上運(yùn)上運(yùn)動(dòng)，過動(dòng)，過 P 作拋物線作拋物線 C 的兩條切線的兩條切線 PA、PB，且與拋物線，且與拋物線 C 分別相切于分別相切于 A、B 兩點(diǎn)兩點(diǎn)(1)求求APB 的重心的重心 G 的軌跡方程；的軌跡方程；(2)證明證明PFAPFB.解答：解答：設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(x1，x21)，(x2，x22)(1)由由 yx2知焦點(diǎn)為知焦點(diǎn)為 F(0，14)，y2x，則則 PA，PB 的方程分別為的方程分別為 2x1xyx210,2x2xyx220，5 / 5解方程組得解方程組得xx1x22，yx1x2，即即 P(x1x22，x1x2)，x1x22x1x220設(shè)設(shè) G(x，y)，則，