高中數(shù)學專題技巧論文匯總

1、橢圓的參數(shù)方程及其應用大綱對橢圓的參數(shù)方程的要求是達到理解的程度，如果適當?shù)匾M一點簡單的參數(shù)方程知識，可以起到拓寬視野，簡化平面解析幾何的運算的功效。本文主要介紹橢圓的參數(shù)方程及其應用，希望能夠給讀者一些啟迪。一般都是這樣定義的：橢圓的參數(shù)方程是（是參數(shù)，）。特別地，以點（）為圓心，半徑是r的橢圓的參數(shù)方程是（是參數(shù)，r>0）。一、求橢圓的內接多邊形的周長及面積例1 求橢圓的內接矩形的面積及周長的最大值。解：如圖，設橢圓的內接矩形在第一象限的頂點是A（）（），矩形的面積和周長分別是S、L。，當且僅當時，此時存在。二、求軌跡例2 已知點A在橢圓上運動，點B（0，9）、點M在線段AB上，且

2、，試求動點M的軌跡方程。解：由題意知B（0，9），設A（），并且設M（x，y）。則，動點M的軌跡的參數(shù)方程是（是參數(shù)），消去參數(shù)得。三、求函數(shù)的最值例3 設點P（x，y）在橢圓，試求點P到直線的距離d的最大值和最小值。解：點P（x，y）在橢圓上，設點P（）（是參數(shù)且），則。當時，距離d有最小值0，此時橢圓與直線相切；當時，距離d有最大值2。四、求解有關離心率等入手比較困難的問題例4 橢圓與x軸的正向相交于點A，O為坐標原點，若這個橢圓上存在點P，使得OPAP。求該橢圓的離心率e的取值范圍。解：設橢圓上的點P的坐標是（）（0且），A（a，0）。則。而OPAP，于是，整理得解得（舍去），或。因為，

3、所以?？赊D化為，解得，于是。故離心率e的取值范圍是。截距法解線性規(guī)劃問題由于線性規(guī)劃的目標函數(shù)：可變形為，則為直線的縱截距，那么我們在用線性規(guī)劃求最值時便可以得到如下結論： （1）當時，直線所經(jīng)過可行域上的點使其縱截距最大時，便是z取得最大值的點；反之，使縱截距取得最小值的點，就是z取得最小值的點。 （2）當時，與時情形正好相反，直線所經(jīng)過可行域上的點使其縱截距最大時，是z取得最小值的點；使縱截距取得最小值的點，便是z取得最大值的點。 例1. 設x,y滿足約束條件求的最大值、最小值。 解：如圖1作出可行域，目標函數(shù)表示直線在y軸上的截距，可見當直線過A（1，0）時，截距值最大，當直線過點O（0

4、，0）時，截距值最小。圖1 例2. 設滿足約束條件求的最大值和最小值。 解：如圖2作出可行域，因為由圖2可知過點B時縱截距最大，取得最小值，所以；過點A時縱截距最小，z在A（）處取最大值，。如何避免“分類討論” “分類討論”是一種重要的數(shù)學思想，許多問題都離不開分類討論。但有些問題若能認真審題，深刻反思，克服思維定勢，變換思維角度，往往可以避免分類討論，使問題的解決更為簡捷?，F(xiàn)采擷幾例，供參考。一、運用最值思想，避免分類討論例1：奇函數(shù)是R上的減函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。解：，且是R上的奇函數(shù)，減函數(shù)，得到（1），可得，問題轉化為只要k小于的最小值即可。令，因為在（0

5、，）上是減函數(shù)，故當時，顯然有，即k的取值范圍為（-，2）點評：按照常規(guī)思路，由（1）式轉化為在上恒成立問題，可令，然后根據(jù)二次函數(shù)性質及對稱軸位置的變化，進行分類討論，得到：或或解得或或，從而求得k的取值范圍為（-，2）。這樣解就顯得比較煩瑣，因為有些不等式在區(qū)間上的“恒成立”問題，一般通過分離變量，轉化為函數(shù)的最值問題求解。就可以避免分類討論，使得解題過程簡明快捷，少走彎路。二、妙用換底公式，避免分類討論例2：設，且，比較與的大小。分析：本例通常應分與兩種情況討論，但運用換底公式消去a，就可避免分類討論，從而達到簡化解題過程的目的。解：運用作商比較法，三、變換主元地位，避免分類討論例3：設

6、不等式對于滿足的一切m的值都成立，求m的取值范圍。分析：本例為含參數(shù)的不等式，關鍵是對參數(shù)的處理，從表面上看，是一個關于x的一元二次不等式，實質上是一個關于m的一元一次不等式，并且已知它的解集為-2，2，求參數(shù)的范圍。因此通過參數(shù)m與未知數(shù)x的地位的變化，借助于一次函數(shù)圖象，避免了繁雜的對參數(shù)的討論。解：設，它是以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象為直線，由題意知，這條直線當時，線段在y軸的下方，滿足它的為即四、借助函數(shù)性質，避免分類討論例4：設定義在-2，2上的偶函數(shù)在區(qū)間0，2上單調遞減，若，求實數(shù)m的取值范圍。分析：由函數(shù)的定義域知，但是與m到底是在-2，0、0，2的哪個區(qū)域內，不十分清楚，若

7、就此討論，將十分復雜，如果注意到性質“如果是偶函數(shù)，那么”，問題解答就簡捷多了。解：是偶函數(shù)，又當時，單調遞減，解得點評：本題應用了偶函數(shù)的一個簡單性質，從而避免了一場“大規(guī)?！钡挠懻?，將“曲徑”變“通途”。值得深思。活躍在空間圖形中的軌跡問題 在知識網(wǎng)絡交匯點處設計試題是這幾年高考命題改革的一大趨勢。而以空間圖形為素材的軌跡問題，由于具有其獨特的新穎性、綜合性與交匯性，所以倍受命題者的親睞，但由于這類題目涵蓋的知識點多，創(chuàng)新能力與數(shù)學思想方法要求高，而且這些題目遠看象“立幾”近看象“解幾”，所以學生在解題中，往往是望題興嘆，百思而不得其解。本文試從幾個例題來剖析這些問題的基本解法。 1判斷軌

8、跡的類型問題 這類問題常常要借助于圓錐曲線的定義來判斷，常見的軌跡類型有：線段、圓、圓錐曲線、球面等。在考查學生的空間想象能力的同時，又融合了曲線的軌跡問題。 例1在正方體ABCD-A1B1C1D1的側面AB1內有一點P到直線AB與到直線B1C1的距離相等，則動點P所在曲線的形狀為（D）。 A. 線段 B. 一段橢圓弧 C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分 簡析本題主要考查點到直線距離的概念，線面垂直及拋物線的定義。因為B1C1面AB1，所以PB1就是P到直線B1C1的距離，故由拋物線的定義知：動點的軌跡為拋物線的一段，從而選D。 引申1在正方體ABCD-A1B1C1D1的側面AB1內有

9、一點P到直線AB的距離與到直線B1C1的距離之比為2：1，則動點P所在曲線的形狀為（B）。 A. 線段 B. 一段橢圓弧 C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分 引申2在正方體ABCD-A1B1C1D1的側面AB1內有一點P到直線AB的距離與到直線B1C1的距離之比為1：2，則動點P所在曲線的形狀為（C）。 A. 線段 B. 一段橢圓弧 C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分 例2 （2006屆天津市十二區(qū)縣市重點中學第一次高考模擬聯(lián)合測試）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1的中點，點P在其對角面BB1D1D內運動，若EP總與直線AC成等角，則點P的軌跡有可能是（A）。

10、A. 圓或圓的一部分 B. 拋物線或其一部分 C. 雙曲線或其一部分 D. 橢圓或其一部分 簡析由條件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP與直線AC成等角，得到EP與平面BB1D1D所成的角都相等，故點P的軌跡有可能是圓或圓的一部分。 例3（2005年浙江省模擬）已知正方體的棱長為a，定點M在棱AB上（但不在端點A，B上），點P是平面ABCD內的動點，且點P到直線的距離與點P到點M的距離的平方差為a2，則點P的軌跡所在曲線為（A）。 A. 拋物線B. 雙曲線 C. 直線D. 圓 簡析在正方體中，過P作PFAD，過F作FEA1D1，垂足分別為F、E，連結PE。則PE2=a2+PF2，又

11、PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，從而PMPF，故點P到直線AD與到點M的距離相等，故點P的軌跡是以M為焦點，AD為準線的拋物線。 點評正方體是空間圖形中既簡單、熟悉、又重要的幾何體，具有豐富的內涵，在正方體中設計的軌跡問題，更是別具一格。 例4在正方體中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，總有APBD1，則動點P的軌跡為_。 簡析在解題中，我們要找到運動變化中的不變因素，通常將動點聚焦到某一個平面。易證BD1面ACB1，所以滿足BD1AP的所有點P都在一個平面ACB1上。而已知條件中的點P是在側面BCC1B1及其邊界上運動，因此，符合條件的點P在平面ACB1與平面BCC1B1交線

12、上，故所求的軌跡為線段B1C。本題的解題基本思路是：利用升維，化“動”為“靜”，即先找出所有點的軌跡，然后縮小到符合條件的點的軌跡。 引申在正四棱錐S-ABCD中，E是BC的中點，點P在側面SCD內及其邊界上運動，總有PEAC，則動點P的軌跡為_。 答案線段MN（M、N分別為SC、CD的中點） 練習（2004年天津高考題）若A、B為平面的兩個定點，點P在外，PB，動點C（不同于A、B）在內，且PCAC，則動點C在平面內的軌跡是_。（除去兩點的圓） 例5（2004年重慶市高考題）若三棱錐ABCD的側面ABC內一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與ABC組成的圖形可能是：

13、（D） 簡析動點P在側面ABC內，若點P到AB的距離等于到棱BC的距離，則點P在的內角平分線上?，F(xiàn)在P到平面BCD的距離等于到棱AB的距離，而P到棱BC的距離大于P到底面BCD的距離，于是，P到棱AB的距離小于P到棱BC的距離，故動點P只能在的內角平分線與AB之間的區(qū)域內。只能選D。 引申（2005年溫州一模）已知P是正四面體S-ABC的面SBC上一點，P到面ABC的距離與到點S的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（B）。 A. 圓B. 橢圓 C. 雙曲線D. 拋物線 解題的要領就是化空間問題為平面問題，把一些重要元素集中在某一個平面內，利用相關的知識去解答，象平面幾何知識、解析幾何知識等。

14、 2求軌跡中的長度、面積與體積問題 例6已知正方體的棱長為1，在正方體的側面上到點A距離為的點的軌跡形成一條曲線，那么這條曲線的形狀是_，它的長度為_。（2004年北京西城區(qū)模擬試題） 簡析以B為圓心，半徑為且圓心角為的圓弧，長度為。 例7已知長方體中，在線段BD、上各有一點P、Q，PQ上有一點M，且，則M點軌跡圖形的面積是 8 。 提示軌跡的圖形是一個平行四邊形。 例8已知棱長為3的正方體中，長為2的線段MN的一個端點在上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，求MN中點P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積。 簡析由于M、N都是運動的，所以求的軌跡必須化“動”為“靜”，結合動點P的幾何性

15、質，連結DP，因為MN=2，所以PD=1，因此點P的軌跡是一個以D為球心，1為半徑的球面在正方體內的部分，所以點P的軌跡與正方體的表面所圍成的幾何體的體積為球的體積的，即。 以空間圖形為依托的軌跡問題，要善于利用空間圖形的位置關系來轉化，把空間問題轉化為平面問題，再利用平幾或解幾知識實現(xiàn)問題的突破，從而使問題迎刃而解。一個不等式鏈的應用 人教版高中數(shù)學第二冊（上）習題6.2第3題： 已知a，b為正數(shù)，求證：，當且僅當ab時等號成立。 此不等式鏈含有6個不等式： 這些不等式就是同學們熟悉的均值不等式及其變化，但在解題中常常被忽視，若能靈活運用，則會給解題帶來很多方便，現(xiàn)舉例說明。 例1. 某商品

16、計劃提價兩次，有甲、乙、丙三種方案：甲方案第一次提價p%，第二次提價q%；乙方案第一次提價q%，第二次提價p%；丙方案第一次提價，第二次再提價，其中。則經(jīng)過兩次提價后，哪種方案的提價幅度最大？為什么？ 解：設該商品原價為a，兩次提價后的價格按甲、乙、丙三種方案的次序依次為，則： ，由不等式得： 故丙方案提價的幅度最大。 例2. 已知a，b，c均為正數(shù)，求證： 。 證明：由不等式，得： ， 。 上述不等式相加得， 。 例3. 甲、乙兩同學同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半時間步行，一半時間跑步。如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（ ） A. 甲先到教室B. 乙先到教室 C.

17、 兩人同時到教室D. 不確定 解：設從寢室到教室的路程是s，甲（乙）跑步和步行的速度分別為a，b， 甲、乙兩人所用時間分別為，則： ， 由不等式，得（ab），所以，故選B。 例4. （人教版高中數(shù)學第二冊（上）習題6.2第7題1）求證：在直徑為d的圓內接矩形中，面積最大的是正方形，這個正方形的面積等于。 證明：設矩形的長為x，寬為y，面積為S，則 由不等式，得。 當且僅當時等號成立，故。練一練 設，求證：。 證明過程提示：因為，且， 所以 同理 三式相加，得： 例說處理和（差）角范圍問題的幾點做法在三角解題中經(jīng)常遇到確定和（差）角范圍的問題，學生常因確定和（差）角范圍的偏差導致解題失誤。本文舉

18、例說明這類問題的處理方法。一. 合理選用公式來確定例1 已知，均為銳角， sin=，求+的值。解析：由已知條件有cos=，且0+。又cos(+)=coscos-sinsin評注：若本題選擇正弦的和角公式，會因為一、二象限角的正弦值均為正，而得出兩個結果，導致解題失誤，這就需要注意公式的合理選用，若將本例改為：設是銳角，且，求+的值，則選用正弦和角公式合理。另外，四個象限角的正切值正負相間，故本例亦可選用正切和角公式。二. 借用其他三角函數(shù)來確定合理選用公式，僅對兩角和（差）的范圍在相鄰兩個象限時起作用，而對于其它情形，可通過兩角和（差）的兩個三角公式，來確定兩角和（差）的范圍。例2 已知，且，

19、都是第二象限角，試確定2+，2-所在象限。解析：由條件，都是第二象限角，則有因為2+，2都可能落在三個象限，單獨使用正（余）弦和差角公式，從值的符號都不能決定2+，2的象限，但同時使用正弦、余弦的和差角公式，即可解決。由cos(2+)=cos2cossin2sin知2+在一、四象限。又sin(2+)=sin2cos+cos2sin知2+在一、二象限。綜上知2+在第一象限。同理可確定2-在第三象限。三. 挖掘隱含條件來確定例3 已知cos()= 都是銳角，求cos(+)的值。解析：由已知條件有因為0sin2=，所以02，所以0。又因為0，所以-0。由、得-。又因為cos（-）=，所以。 =。從而

20、cos(+)=cos2-(-)=cos2cos(-)+sin2sin(-)評析：本例通過0sin2= ，發(fā)現(xiàn)了隱含條件：0，將-的范圍縮小為，進而由cos(-)= ,將-的范圍確定為，從而避免了增解。例4 已知，且tan,tna是一元二次方程的兩個根，求+的值。解析：由已知條件得tan+tan= ，tantan=40，所以tna0，tan0。又因為，所以所以-+0。又因為tan(+)= =所以+= 。評析：本例根據(jù)韋達定理tan+tan= ，tantan=4，挖掘出了隱含條件tan0,tan0，知，得出了+的確切范圍，從而順利求解?？傊?，在處理兩角和（差）范圍問題時，要注意對題目條件加以研究，

21、特別對隱含條件的挖掘，合理選用公式靈活處理。另外涉及多角和（差）的問題，亦可依照上面做法處理。解題中的“設而不求”綜述 設而不求是數(shù)學解題中的一種很有用的手段，采用設而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的無益的循環(huán)運算，從而達到準確、快速、簡捷的解題效果。本文將對設而不求的常見類型加以歸納，以供借鑒與參考。一、整體代入，設而不求 在解決某些涉及若干個量的求值問題時，要有目標意識，通過虛設的策略，整體轉化的思想，繞開復雜的運算過程，可使問題迅速得到解決。 例1. 已知等比數(shù)列中，求。解：設公比為q，由于，故于是<2>÷<1>得，則所以 二、轉化圖形，設而不求有

22、些代數(shù)問題，通過挖掘題目中隱含的幾何背景，設而不求，可轉化成幾何問題求解。例2. 設a、b均為正數(shù)，且，求證。證明：設，則u、v同時滿足其中表示直線，m為此直線在v軸上的截距是以原點為圓心，2為半徑的圓在第一象限內的一部分圓弧（如圖1），顯然直線與圓弧相切時，所對應的截距m的值最大。圖1由圖易得即三、適當引參，設而不求恰當合理地引入?yún)?shù)，可使解題目標更加明確，已知和欲求之間的聯(lián)系得以明朗化，使問題能夠得到解決。例3. 已知對任何滿足的實數(shù)x、y，如果恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。解：設（），則 令，得四、巧設坐標，設而不求在解析幾何問題中，對于有關點的坐標采用設而不求的策略，能促使問題定向，簡便

23、化歸，起到以簡馭繁的解題效果。例4. 設拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC/x軸，求證：直線AC經(jīng)過原點O。證明：設點A（，）、B（，），則點C（，）因為AB過焦點F所以得又直線OC的斜率直線OA的斜率，則故A、O、C三點共線，即直線AC經(jīng)過原點O。圖2五、活用性質，設而不求解題過程中，不斷變換觀察角度，類比方法、聯(lián)想內容，明確最終目標，經(jīng)過巧妙構造，活用性質，可直達目標。例5. 求證證明:設則由可知：數(shù)列為單調遞增數(shù)列。又則即六、中介過渡，設而不求根據(jù)解題需要，可引入一個中間量作為中介，起到過渡作用，使問題得以解決。例6. 如圖3，OA是圓錐底

24、面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐體積分成相等的兩部分，求圓錐母線與軸的夾角。圖3解：過點A作SO的垂線，垂足為M，可知MAOAOBOSB設MAx，OBr，SOh則有化簡可得又因為即所以于是，從而七、恒等變形，設而不求某些看似十分復雜的運算，經(jīng)過巧妙轉換，恒等變形，使運算對象發(fā)生轉移，起到意想不到的效果。例7. 求的值。解：設則 而，故函數(shù)圖象創(chuàng)新題例析 “函數(shù)”是貫穿于高中數(shù)學的一條主線，函數(shù)圖象又是表述函數(shù)問題的重要工具，因此函數(shù)圖象問題與其它知識的聯(lián)系非常緊密。尤其是導數(shù)和向量的引入，拓寬了函數(shù)圖象問題的命題空間，出現(xiàn)了不少的創(chuàng)新題，下面介紹幾例。 例1. 已知函數(shù)，其

25、中，當時的大致圖象是（ ）圖1 解析： 由于的圖象問題已超出了高中大綱的范圍，因此想通過畫出圖象來確定答案，將是十分困難的。作反面思考，從選擇支出發(fā)：選擇支（A）、（D）的圖象均關于坐標原點對稱，選擇支（B）的圖象關于y軸對稱，而函數(shù)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)，因此排除（A）、（B）、（D）。答案（C）正確。 點評：本題以平面向量為載體，考查非常規(guī)型函數(shù)的圖象，靈活運用函數(shù)的相關性質排除錯誤是解題的關鍵。 例2. 設函數(shù)在定義域內可導，的圖象如圖2所示，則導函數(shù)的圖象可能為（ ）圖2圖3 解析：觀察圖2，發(fā)現(xiàn)時，單調遞增，因此時，立即排除（B）、（C）。再從圖2中發(fā)現(xiàn)，且x靠近0時，單調遞增，此時，

26、立即排除（A）。答案（D）正確。 點評：本題是函數(shù)圖象與其導函數(shù)圖象的交匯，主要考查兩者圖象之間的關系。利用函數(shù)的單調性確定導函數(shù)的符號是解題的關鍵。 例3. 如圖4所示，函數(shù)的圖象上有一列點P1，P2，P3，Pn，已知時，。設線段的長分別為，且，則（ ）圖4 A. B. C. D. 解析：由 得 所以 即 所以 將這個等式相乘，得 答案（B）正確。 點評：本題在函數(shù)的圖象上構建向量，融函數(shù)圖象、平面向量、數(shù)列等知識于一體，利用向量的和差運算尋求遞推關系是解題的關鍵。 例4. 定義在（0，3）上的函數(shù)的圖象如圖5所示，那么不等式的解集是_。圖5 解析： 因此的解集是 點評：本題以平面向量為載體，考查抽象函數(shù)與三角函數(shù)的復合型不等式的解