《完全平方數(shù)的性質(zhì)與特征》教案doc

1、完全平方數(shù)（一）完全平方數(shù)的性質(zhì)一個(gè)正整數(shù)如果是另一個(gè)整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,通過對(duì)這些完全平方數(shù)的觀察和分析，我們可以獲得一些規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。下面是完全平方數(shù)的一些常 用性質(zhì)：性質(zhì)1 :完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9 o性質(zhì)2:奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。性質(zhì)3:如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6;反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6,則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。性

2、質(zhì)4:凡個(gè)位數(shù)字是5,但末兩位數(shù)字不是 25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個(gè)“0”的自然數(shù)（不包括0本身）不是完全平方數(shù)；個(gè)位數(shù)字為1, 4, 9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。性質(zhì)5:偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是 4的倍數(shù)加1。性質(zhì)6：奇數(shù)的平方是 8n+1型；偶數(shù)的平方為 8k或8k+4型。性質(zhì)7:平方數(shù)的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1 o性質(zhì)8:不能被5整除的數(shù)的平方為 5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為 5k型。性質(zhì)9:平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16k,16k+1, 16k+4,16k+9 。性質(zhì)10:完全平方數(shù)的各位數(shù)字之和只能是0,1,4,7

3、,9 o性質(zhì)11: aA2b為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。性質(zhì)12：如果質(zhì)數(shù)p能整除a,但pA2不能整除a,則a不是完全平方數(shù)。性質(zhì)13：在兩個(gè)相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即若nA2<k<（n+1）A2,則k 一定不是完全平方數(shù)。性質(zhì)14： 一個(gè)正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個(gè)因子（包括1和n本身）性質(zhì)15:完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)。約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。性質(zhì)16：若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)a,則pA21a二)與上述性質(zhì)相對(duì)應(yīng)的幾個(gè)結(jié)論1 .個(gè)位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；2 .個(gè)位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的

4、整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；3 .個(gè)位數(shù)是6,十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；4 .形如3k+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；5 .形如4k+2和4k+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；6 .形如5k ±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；7 .形如8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6,8k+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);8 .數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。(三)范例解析例1: 一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)解：設(shè)此自然數(shù)為x,依題意可得x-45=mA2(1)x+44=nA2(m,n為自然數(shù))(2)-(1)可得門人2劃入2=89, (n+m)

5、(n-m)=89但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89,于是。解之，得n=45o代入(2)得。故所求的自然數(shù)是 1981c例2:求證：四個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積加上1,等于一個(gè)奇數(shù)的平方。分析：設(shè)四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為n,(n+1),(n+2),(n+3),其中n為整數(shù)。欲證n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個(gè)奇數(shù)的平方即可。證明：設(shè)這四個(gè)整數(shù)之積加上1為m,則m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(nA2+3n+1)A2=n(n+1)+(2n+1)F2而n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因?yàn)?2n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這

6、就證明 了 m是一個(gè)奇數(shù)的平方。例3：求證：11,111,1111,1111(n 個(gè)1)這串?dāng)?shù)中沒有完全平方數(shù)。分析：形如1111(n 個(gè)1)的數(shù)若是完全平方數(shù)，必是末位為 1或9的數(shù)的平方，即1111(n 個(gè) 1)=(10a+1)A2 或 1111(n 個(gè) 1)=(10a+9)A2在兩端同時(shí)減去1之后即可推出矛盾。證明：若 1111(n 個(gè) 1)=(10a+1)A2=100aA2+20a+1 ，貝U11110=100aA2+20a, 1111(n-1個(gè) 1)=10aA2+2a因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。若 1111(n 個(gè) 1)=(10a+9)A2 ,同理。綜上所述，不可

7、能是完全平方數(shù)。另證：由為奇數(shù)知，若它為完全平方數(shù)，則只能是奇數(shù)的平方。但已證過，奇數(shù)的平方其十位數(shù)字必是偶數(shù)，而十位上的數(shù)字為1,所以不是完全平方數(shù)。例4:從200到1800的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？分析：有奇數(shù)個(gè)約數(shù)為完全平方數(shù)，即求從 200至1800的自然數(shù)中有多少個(gè)完全平方數(shù)。解：從200到1800的自然數(shù)中，完全平方數(shù)有15A2, 16人2,42A2。共有4215+1=28個(gè)數(shù)滿足題意。例5:用300個(gè)2和若干個(gè)0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)？解：設(shè)由300個(gè)2和若干個(gè)0組成的數(shù)為A,則其數(shù)字和為6003 | 600 .-.3 | A此數(shù)有3的因子，故9 | A。彳1

8、 9 | 600,：矛盾。故不可能有完全平方數(shù)。例6:試求一個(gè)四位數(shù)，它是一個(gè)完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同。解：設(shè)此數(shù)為 aabb,則：aabb=a0b*11此數(shù)為完全平方，則必須是 11的倍數(shù)。因此111a + b,而a,b為0,1,2,9,故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8組可能。直接驗(yàn)算，可知此數(shù)為 7744=88。例7:求滿足下列條件的所有自然數(shù)：(1)它是四位數(shù)。(2)被22除余數(shù)為5。(3)它是完全平方數(shù)。解：設(shè)22n+5=NA2 ,其中n,N為自然數(shù)，可知 N為奇數(shù)。NA2-16=11(2n-1), (N+4)(N-4)=11(2

9、n-1)11 I N - 4或 11 | N + 4N=(2k-1)*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1,2,)經(jīng)試數(shù)可知，此自然數(shù)為1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。例8:有兩個(gè)數(shù)，它們各個(gè)數(shù)位的數(shù)字從左到右越來越大，其中一個(gè)六位數(shù)是另一個(gè)數(shù)的平方，求這兩個(gè) 數(shù)。解：由題意可知這個(gè)六位數(shù)的個(gè)位數(shù)字應(yīng)大于或等于6。123456=3 X8A3X 643不是完全平方數(shù)，又因?yàn)橥耆椒綌?shù)個(gè)位只能是 0, 1, 4, 5, 6, 9。：這個(gè)六位數(shù)的個(gè)位只能是9。：另一個(gè)數(shù)的個(gè)位只能是3或7,并且另一個(gè)數(shù)是大于 300的三位數(shù)。二數(shù)字從左到右越

10、來越大，：個(gè)位數(shù)只能是7,：可能有347, 357, 367, 457, 467,經(jīng)檢驗(yàn)，只有 367A2=134689 符合。例9:甲、乙兩人合養(yǎng)了 n頭羊，而每頭羊的賣價(jià)又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應(yīng)該補(bǔ)給乙多少元？解：n頭羊的總價(jià)為 門人2元，由題意知 門人2元中含有奇數(shù)個(gè)10元，即完全平方數(shù) 門人2的十位數(shù)字是奇數(shù)。如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6。所以，nA2的末位數(shù)字為6,即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應(yīng)補(bǔ)給乙 2元。例10:矩形四邊的長(zhǎng)度都是小于1

11、0的整數(shù)(單位：公分)，這四個(gè)長(zhǎng)度數(shù)可構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字相同，并且這四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，求這個(gè)矩形的面積。解：設(shè)矩形的邊長(zhǎng)為 x,y,則四位數(shù)N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y),二N是完全平方數(shù)，11為質(zhì)數(shù) ：x+y能被11整除。又由分析可得x+y=11。.N=11A2*(9x+1) ：9x+1是一個(gè)完全平方數(shù)，驗(yàn)算知 x=7滿足條件。又由 x+y=11 得 y=4o S=xy=28cmA2.例11:少年宮游樂廳內(nèi)懸掛著 200個(gè)彩色燈泡，這些燈泡或明或暗，十分有趣。這200個(gè)燈泡按1200編號(hào)

12、，它們的亮暗規(guī)則是：第一秒，全部燈泡變亮；第二秒，凡編號(hào)為2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第三秒，凡編號(hào)為3的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉淼牧涟禒顟B(tài)，即亮的變暗，暗的變亮；一般地，第n秒凡編號(hào)為n的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉淼牧涟禒顟B(tài)。這樣繼續(xù)下去，每4分鐘一個(gè)周期。問：第 200秒時(shí)，明亮的燈泡有多少個(gè)？分析：燈泡最終是明或暗與開關(guān)被拉的次數(shù)的奇偶性有關(guān)。最后明亮的燈泡開關(guān)應(yīng)被拉過奇數(shù)次。而開關(guān)被拉動(dòng)的次數(shù)等于該燈泡編號(hào)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，因此約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的編號(hào)，燈泡亮著，即編號(hào)為完全 平方數(shù)的燈泡符合題意。解：某個(gè)燈泡，如果它的亮暗變化的次數(shù)是奇數(shù)，那么它是明亮的。根據(jù)題意可知，號(hào)碼為K的燈泡，亮暗變化的次數(shù)等于

13、K的約數(shù)的個(gè)數(shù)，若 K的約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則 K 一定是平方數(shù)。所以 200秒時(shí)，那 些編號(hào)是平方數(shù)的燈泡是明亮的。因?yàn)?200以內(nèi)有14個(gè)平方數(shù)，所以200秒時(shí)明亮的燈泡有14個(gè)。例12: “1993與一個(gè)三位數(shù)的和”是一個(gè)完全平方數(shù)，這樣的三位數(shù)有多少個(gè)？解：設(shè)滿足題目需求的平方數(shù)為x ,則由45A2<1993+100<46人2 ,54A2<1993+999<55人2 ,可知45A2<1993+100< x < 1993+999<55A2其中共有46A2, 47A2,54A2這9個(gè)完全平方數(shù)。:共有9個(gè)三位數(shù)符合要求。（四）練習(xí)題1 .把1

14、50這50個(gè)數(shù)的平方數(shù)從小到大排成一個(gè)多位數(shù)149162536，請(qǐng)問這個(gè)多位數(shù)共有（）位數(shù)字。2 . 46305乘以一個(gè)自然數(shù) a,積是一個(gè)完全平方數(shù)，則最小的a。3 .祖孫三人，孫子和爺爺?shù)哪挲g之積是1512,而爺爺，父親，孫子三人的年齡之積是完全平方數(shù)，父親的年齡是一一。4 .把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，它與原來的數(shù)字加起來恰好是某個(gè)自然數(shù)的平方，這個(gè)和數(shù)是一一。5 .已知n/2是完全平方數(shù)，n/3是立方數(shù)，則n的最小值為一一。6 .已知一個(gè)自然數(shù)的平方的十位數(shù)是8,這個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是一一。7 .如n減58是完全平方數(shù)，n加31也是完全平方數(shù)，則 n是一一。8

15、.從1986, 1989, 1992, 1995, 1998這五個(gè)數(shù)中挑出不能寫成兩個(gè)自然數(shù)的平方差的數(shù)是一一。9 .用240個(gè)5和若干個(gè)0組成的數(shù)，是否為完全平方數(shù)？10 .是否存在自然數(shù) a,b使得2ab11*7是完全平方數(shù)？11 . 一所小學(xué)開運(yùn)動(dòng)會(huì)，全體學(xué)生在操場(chǎng)上排隊(duì)，如果每行 24人，26行排不完，27行又有余；如果每行 23人，27行排不完，28行又有余。后來體育老師調(diào)整了隊(duì)形，正好排成每行人數(shù)和行數(shù)相等的隊(duì)形，問 這所小學(xué)共有學(xué)生多少人？12 .小東和小明一起到果園去栽樹，準(zhǔn)備好的樹苗正好可以把這些果樹栽成每行每列相同棵數(shù)的方陣，每 人栽好8棵就休息一次，當(dāng)他們把 300多棵樹

16、苗都栽好時(shí)，每人休息的次數(shù)相同，但最后一次小明栽的樹 不到8棵。問他們共栽了多少樹？13 .小亮邀請(qǐng)小強(qiáng)一起玩彈子游戲，小亮拿出一盒彈子，彈子的數(shù)量是一個(gè)完全平方數(shù)。他們每人10個(gè)、10個(gè)的輪流取出，但到最后一輪，小強(qiáng)只拿到6個(gè)。為了平均分配，小亮給了小強(qiáng)2個(gè)，這樣兩人拿到的彈子就一樣多了。問這盒彈子共有多少個(gè)?14 .兩個(gè)正整數(shù)的和比積小1997,并且其中一個(gè)是完全平方數(shù)，求較大數(shù)與較小數(shù)的差。15 .設(shè)p,m,n為一組勾股數(shù)，其中 p為奇質(zhì)數(shù)，且n>p, n>m。求證：2n-1必為完全平方數(shù)。16 .設(shè)平方數(shù)丫人2是11個(gè)相繼整數(shù)的平方和，求 y的最小值。17 .求自然數(shù) n,

17、使Sn=9+17+25+ （8n+1） =4nA2+5n為完全平方數(shù)。18 .是否存在一個(gè)2000位的整數(shù)，它是某整數(shù)的平方，且在十進(jìn)制中至少有1999個(gè)數(shù)字是5?19 .是否存在兩個(gè)正整數(shù) a,b,使得（aA2+2b）與（bA2+2a）同為完全平方數(shù)？20 .若a,b為整數(shù)，求證：aA4+bA4+（a+b）A4/2是完全平方數(shù)。21 .求k的最大值，使得3A7可以表示為k個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和。22 .若a,b為整數(shù)，且24aA2+1加人2。求證：a,b中有且僅有一個(gè)是 5的倍數(shù)。23 .求證：若a是完全平方數(shù)，則 a的正約數(shù)的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)；反之，若自然數(shù)a的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則a是完全平方數(shù)

18、。24 .求出滿足下列條件的所有三位數(shù)：這個(gè)三位數(shù)的平方的末三位數(shù)就是原來的三位數(shù)。25 .若d為自然數(shù)，求證：2d-1,5d-1,13d-1不可能都是完全平方數(shù)。26 .加上400后就可以成為完全平方數(shù)的四位數(shù)有幾個(gè)？27 .四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)和為19/20則著四個(gè)整數(shù)的平方和是一一。28 .求證：對(duì)任意正整數(shù) k, 2k-1和2k+1兩數(shù)中至少有一個(gè)不能等于兩整數(shù)的平方和。29 .若a,b是相鄰兩個(gè)自然數(shù)，c=a*b,求證：aA2+bA2+cA2是某個(gè)奇數(shù)的平方。30 .使得mA2+m+7是完全平方數(shù)的所有整數(shù) m的積是多少？31 .設(shè)正整數(shù) a,b,c,d滿足2人2+6人24人2, 人

19、2+10人2人2 ,求cA2+dA2-aA2-bA2的值。32 .使2A8+2人11+2八門 為完全平方數(shù)的 n的值。33 .若A1,A2,A3,Ak是n的全部正約數(shù)，求證 nAk是完全平方數(shù)。34 .設(shè)正整數(shù)d不等于2,5,13,求證在集合2,5,13,d中可以找到兩個(gè)不同的元素 a , b,使得ab -1不是完 全平方數(shù)。35 .求一個(gè)三位數(shù)，使它等于一個(gè)自然數(shù)n的平方，且各位數(shù)字之積等于n-1o36 .接連寫出偶數(shù)個(gè)1形成的數(shù)A,再寫出一半那么多個(gè)的 4形成的數(shù)B,試征：A+B+1是完全平方數(shù)。37 .若某整數(shù)為完全平方數(shù)，且末四位數(shù)字相同，求這種整數(shù)。38 .求使得2Am+3An為完全

20、平方數(shù)的所有正整數(shù) m和n。39 .求一個(gè)最大的完全平方數(shù)，在劃掉它的最后兩位數(shù)后，仍得到一個(gè)完全平方數(shù)（假定劃掉的兩個(gè)數(shù)字 中有一個(gè)非零）。40 .設(shè)有四個(gè)整數(shù) 2, 5, 13及d,其中d不等于2, 5, 13。證明：在四個(gè)數(shù)中存在兩個(gè)數(shù)a,b使得a*b-1不是完全平方數(shù)。41 .若x,y為正整數(shù)，使得xA2+yA2-x能被2xy整除。求證：x為完全平方數(shù)。42 .證明：71111288889是一個(gè)完全平方數(shù)（1和8均為n-1個(gè)）。43 .已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為p,m,斜邊長(zhǎng)為n,且p,m,n均為正整數(shù)，l為質(zhì)數(shù)。求證：2 （p+m+1）是完全平方數(shù)。44。有這樣一個(gè)數(shù)組，由 K

21、個(gè)互不相同的自然數(shù)（不含 0）組成，其中任一兩個(gè)數(shù)之和都是完全平方數(shù)，稱之為平方數(shù)組。當(dāng) K=3時(shí)，求使這三個(gè)數(shù)之和為最小的一個(gè)平方數(shù)組。當(dāng) K=4,5時(shí)又如何？45 .自然數(shù)N是完全平方數(shù)。N不是10的倍數(shù)，但把N最后兩位數(shù)字擦去，剩下的剛巧還是完全平方數(shù)（例 如N可以是121,把21擦去，剩下的1還是完全平方數(shù)）。問N最大是多少？46 .設(shè)1/a+1/b=1/c ,其中a、b、c是正整數(shù)，且三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1,求證：a+b是一個(gè)完全平方數(shù)（五）拓展與完全平方數(shù)的末幾位數(shù)有關(guān)的數(shù)字問題：1、完全平方數(shù)的末兩位數(shù)字只能是00; 01, 21, 41, 61, 81; 04, 24, 44, 64, 84;25; 16, 36, 56, 76, 96; 09, 29, 49, 69, 89 共 22 種可能2、如果把某個(gè)自然數(shù)任意計(jì)算它的N次方后，得到的各種結(jié)果的末A位數(shù)與原自然數(shù)的末 A位數(shù)相同，我們就稱這個(gè)自然數(shù)為“永恒數(shù)”，例如：一位自然數(shù)的永恒數(shù)有1, 5, 6三個(gè)；兩位的永恒數(shù)一個(gè)是 25,另一個(gè)是101 25=76;三位的永恒數(shù)是 25的平方625,還有一