2018年寒假半角模型

1、半角模型 過等腰ABC（AB=AC）頂角A引兩條射線且它們的夾角為12A，這兩條射線與底角頂點(diǎn)的相關(guān)直線交于M、N兩點(diǎn)，則BM、MN、NC之間必然存在固定的關(guān)系，這種關(guān)系僅與兩條相關(guān)直線及頂角A相關(guān) 解決辦法： 以A為中心，把CAN（順時(shí)針或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)度，至ABN，連接MN 結(jié)論：1、AMNAMN，MN=MN 2、若BM、MN、NB共線，則存在x+y+z型的關(guān)系若不共線，則BMN中，MBN必與A相關(guān)應(yīng)用環(huán)境：1、頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為30°、45°、60°、75°90°，或它們的補(bǔ)角為這些特殊角度的時(shí)候；2、正方形、菱形等也能產(chǎn)生

2、等腰三角形3、過底角頂點(diǎn)的兩條相關(guān)直線：底邊、底角兩條角平分線、腰上的高、底角的鄰補(bǔ)角的兩條角平分線，底角的鄰余角另外兩邊等；正方形或菱形的另外兩邊4、此等腰三角形的相關(guān)弦半角模型條件：思路：（1）、延長其中一個(gè)補(bǔ)角的線段（延長CD到E，使ED=BM ，連AE或延長CB到F，使FB=DN ，連AF ） 結(jié)論：MN=BM+DN AM、AN分別平分BMN和DNM（2） 對稱（翻折） 思路:分別將ABM和ADN以AM和AN 為對稱軸翻折，但一定要證明 M、P、N三點(diǎn)共線.（B+D=且AB=AD）例題應(yīng)用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN=BM +DN，求證：.M

3、AN= . .AM、AN分別平分BMN和DNM. 思路同上略. 例2拓展：在正方形ABCD中，已知MAN=，若M、N分別在邊CB、DC的延長線上移動， .試探究線段MN、BM 、DN之間的數(shù)量關(guān)系. .求證：AB=AH. （提示） 例3.在四邊形ABCD中，B+D=，AB=AD，若E、F分別在邊BC、CD上，且滿足EF=BE +DF.求證： （提示）例4，在ABC中，AB=AC，BAC=2DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE。例五.請閱讀下列材料：已知：如圖1在中，點(diǎn)、分別為線段上兩動點(diǎn)，若探究線段、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系小明的思路是：把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，使問題得

4、到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題：（1）猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明； （2）當(dāng)動點(diǎn)在線段上，動點(diǎn)運(yùn)動在線段延長線上時(shí)，如圖2，其它條件不變，中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明 例6探究：（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EAF45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果： ；（2）如圖2，若把(1)問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，ABAD，BD180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD”，則（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若

5、不成立，請說明理由；（3）在（2）問中，若將AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E、F運(yùn)動到BC、CD延長線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結(jié)論并予以證明.練習(xí)鞏固1：如圖，在四邊形ABCD中，B=D=，AB=AD，若E、F分別在邊BC、CD 上的點(diǎn)，且. 求證：EF=BE +DF. （提示）練習(xí)鞏固2，已知：正方形中，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N （1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，有當(dāng) 繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖2，請問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，

6、線段和之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明練習(xí)鞏固3(1)如圖，在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且求證：;(2) 如圖在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 (3) 如圖，在四邊形中，分別是邊延長線上的點(diǎn)，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（4）如圖，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，連接EP（1）如圖，若M為AD邊的中點(diǎn)，AEM的周長=6cm；求證：EP=AE+DP；（2）隨著落點(diǎn)M在AD邊上

7、取遍所有的位置（點(diǎn)M不與A、D重合），PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由（5）.如圖17，正方形ABCD，E、F分別為BC、CD邊上一點(diǎn)（1）若EAF=45º求證：EF=BE+DF（2）若AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持EAF=45º，問CEF的周長是否隨AEF位置的變化而變化？ 圖17（3）已知正方形ABCD的邊長為1，如果CEF的周長為2求EAF的度數(shù)練習(xí)鞏固4.如圖，五邊形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，求BAE練習(xí)鞏固5.如圖，已知在正方形ABCD中，=45°，連接BD與AM，AN分別交于E、F兩點(diǎn)。求證：（1）MN=MB+DN； （2）點(diǎn)A到MN的距

8、離等于正方形的邊長； （3）的周長等于正方形ABCD邊長的2倍； （4）； （5）若=20°，求； （6）若，求； （7）； （8）與是等腰三角形； （9）。練習(xí)鞏固6.在等邊的兩邊，所在直線上分別有兩點(diǎn)為外一點(diǎn)，且，探究：當(dāng)點(diǎn)分別愛直線上移動時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系及的周長與等邊的周長的關(guān)系（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，且時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)_（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，且時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)分別在邊的延長線上時(shí)，若，則_(用表示)練習(xí)鞏固7.如圖所示，ABC是邊長為1的等邊三角形，BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為

9、頂點(diǎn)作一個(gè)60°的MDN，點(diǎn)M，N分別在AB，AC上，求AMN的周長練習(xí)鞏固8.如圖，在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求BAE+DCF為多少度。鞏固練習(xí)9、（三新練習(xí)冊P131）如圖1，RtABCRtEDF，ACB=F=90°，A=E=30°EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)， DE，DF分別交線段AC于點(diǎn)M，K(1)如圖2、圖3，當(dāng)CDF=0° 或60°時(shí)，AM+CK_MK(填“>”，“<”或“=”)如圖4，當(dāng)CDF=30° 時(shí)，AM+CK_MK(只填“>”或“<”)(2)猜想：如圖1，當(dāng)0

10、76;CDF60°時(shí)，AM+CK_MK，證明你所得到的結(jié)論圖1圖2圖3圖4(3)如果，請直接寫出CDF的度數(shù)和的值*必會結(jié)論- 圖形研究正方形半角模型【例】已知：正方形，、分別在邊、上，且，、分別交于、，連.一、全等關(guān)系（1）求證：；平分，平分.二、相似關(guān)系（2）求證：；.（3）求證：；.三、垂直關(guān)系（4）求證：；.（5)、和差關(guān)系求證：；. 中考鏈接-正方形二相關(guān)題型-半角模型1，（2016石景山28）在正方形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，連接BE（1）請你在圖-1畫出BEM，使得BEM與BEC關(guān)于直線BE對稱；（2）若邊AD上存在一點(diǎn)F，使得AF+CE=EF，請你在圖2中探究AB

11、F與CBE的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E為邊CD的三等分點(diǎn)，且CE<DE，請寫出求cosFED的思路（可以不寫出計(jì)算結(jié)果） 圖1 圖2 備用圖答案石景山28（1）補(bǔ)全圖形，如圖1所示1分（2）與的數(shù)量關(guān)系： 2分證明：連接，延長到，使得，連接3分四邊形為正方形， 4分= 5分（3）求解思路如下： a設(shè)正方形的邊長為，為，則，；b在Rt中，由,可得 從而得到與的關(guān)系；c根據(jù)cosFED，可求得結(jié)果7分2，（2016門頭溝28）在正方形ABCD中，連接BD（1）如圖1，AEBD于E直接寫出BAE的度數(shù)（2）如圖1，在（1）的條件下，將AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30

12、°后得到AB'E'，AB'與BD交于M，AE'的延長線與BD交于N 依題意補(bǔ)全圖1； 用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（3）如圖2，E、F是邊BC、CD上的點(diǎn)，CEF周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路（不必寫出完整推理過程）門頭溝28（本小題滿分7分）解：（1）BAE=45°1分（2） 依題意補(bǔ)全圖形（如圖1）；2分 BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM2+ND2=MN23分 證明：如圖1，將AND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得AFBADB=

13、FBA，1=3，DN=BF，AF=AN正方形ABCD，AEBD，ADB=ABD=45°FBM=FBA +ABD=ADB+ABD=90°由勾股定理得FB2+BM2=FM2旋轉(zhuǎn)ABE得到AB'E'，圖1E'AB'=45°，2+3=90°45°=45°，又1=3，2+1=45°即FAM=45°FAM =E'AB'=45°又AM=AM，AF=AN，圖2AFMANMFM=MN又FB2+BM2=FM2，DN2+BM2=MN25分（3）判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系

14、的思路如下：a如圖2，將ADF繞點(diǎn)A瞬時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得ABG，推出DF=GB；b由CEF的周長等于正方形ABCD周長的一半，得EF=DF+BE； c 由DF=GB和EF=DF+BE推出EF=GE，進(jìn)而得AEGAEF；d由AEGAEF推出EAF=EAG=45°；e與同理，可證MN2=BM2+DN27分3（. 2016一模（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，EAF=45°，連接EF，則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+FD連結(jié)BD，交AE、AF于點(diǎn)M、N，且MN、BM、DN滿足，請證明這個(gè)等量關(guān)系；（2）在ABC中， AB=AC

15、，點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn)如圖2，當(dāng)BAC=60°，DAE=30°時(shí)，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_；如圖3，當(dāng)BAC=，(0°<<90°)，DAE=時(shí)，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_【參考：】5（1）如圖1，ABC中，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，連接BD.若AC=2，BC=1，則BCD的周長為；（2）O為正方形ABCD的中心，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，且EDF的周長等于AD的長.在圖2中求作EDF（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；在圖3中補(bǔ)全圖形，求的度數(shù)；若，則的值為.25（本小題10分）已知RtABC中，有一個(gè)圓心角為，半徑的長等于的扇形繞點(diǎn)