第三章：序列算子與灰色序列生成

1、第三章：序列算子與灰色序列生成第三章第三章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成 灰色系統(tǒng)理論是通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的整理來(lái)尋求其變化規(guī)律的灰色系統(tǒng)理論是通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的整理來(lái)尋求其變化規(guī)律的,這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑,稱(chēng)之為灰色序列生稱(chēng)之為灰色序列生成成一切灰色序列都可以通過(guò)某種生成弱化其隨機(jī)性一切灰色序列都可以通過(guò)某種生成弱化其隨機(jī)性,顯現(xiàn)規(guī)律性顯現(xiàn)規(guī)律性.算子算子 是處理數(shù)據(jù)的一種方法。是處理數(shù)據(jù)的一種方法。 圖3 .100.511.522.533.5系列1121.531234圖3.202468系列1系列1134.57.512343.

2、1 序列算子一 沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)預(yù)測(cè)陷阱定義 3.1.1 設(shè) 為系統(tǒng)真實(shí)行為序列,而觀測(cè)到的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為:其中,為沖擊擾動(dòng)項(xiàng),則稱(chēng)X為沖擊擾動(dòng)序列.本節(jié)的討論圍繞一個(gè)總目標(biāo):由 展開(kāi))(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX) 0() 0(2) 0(1) 0()() 2 (,) 1 ()(,),2 (),1 (XnxxxnxxxXn， ),(21nX)0(X二、緩沖算子公理定義3.1.2 設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X（x(1),x(2),x(n),若1、任意k=2,3,n,總有x(k)-x(k-1)0, 則稱(chēng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列；2、1中不等號(hào)反過(guò)來(lái)成立，則稱(chēng)X為單調(diào)衰減序列；3、存在

3、 有則稱(chēng)X為隨機(jī)振蕩序列。設(shè)M=max m=min稱(chēng)M-m為序列X的振幅。nkk,3,2,0) 1()(kxkx0)1()(kxkxnkkx,2, 1)(nkkx,2, 1)(定義3.1.3 （序列算子的定義） 設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)過(guò)算子D的作用后所得序列記為稱(chēng)D為序列算子，稱(chēng)XD為一階算子作用序列。序列算子的作用可以進(jìn)行多次，相應(yīng)的若 皆為序列算子，則稱(chēng) 為二階算子， 為三階算子， 為二階算子作用序列， 為三階算子作用序列。 公理3.1.1 （不動(dòng)點(diǎn)公理） 設(shè)X為系統(tǒng)行為序列，D為序列算子，則D滿(mǎn)足 * 涉及到不動(dòng)點(diǎn)公理 即布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理 )(,)2(,)1(

4、dnxdxdxXD321,DDD21DD321DDD21DXD321DDXD)()(nxdnx公理3.1.2 （信息充分利用公理）系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個(gè)數(shù)據(jù) 都應(yīng)該充分的參與算子作用的全過(guò)程。nkkx,2, 1),(公理3.1.3 （解析化、規(guī)范化公理）任意的 ， 都可以由一個(gè)統(tǒng)一的 的初等解析式表達(dá)。dnx)(nk, 2 , 1 )(,),2(),1 (nxxx上述三個(gè)公理稱(chēng)為緩沖算子三公理，滿(mǎn)足緩沖算子三公理的序列算子稱(chēng)為緩沖算子。設(shè)X為原始數(shù)據(jù)序列，D為緩沖算子，當(dāng)X分別為增長(zhǎng)序列、衰減序列或振蕩序列時(shí)：1、若緩沖序列XD比原始序列X的增長(zhǎng)速度（或衰減速度）減緩或振幅減小，稱(chēng)緩沖算

5、子D為弱化算子。2、若緩沖序列XD比原始序列X的增長(zhǎng)速度（或衰減速度）加快或振幅增大，稱(chēng)緩沖算子D為強(qiáng)化算子。三、緩沖算子的性質(zhì)定理3.1.1 設(shè)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列，XD為其緩沖序列，則有1、D為弱化算子2、D為強(qiáng)化算子 即單調(diào)增長(zhǎng)序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹，在強(qiáng)化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮。定理3.1.2 設(shè)X為單調(diào)衰減序列，XD為其緩沖序列，則有1、D為弱化算子2、D為強(qiáng)化算子 即單調(diào)衰減序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮，在強(qiáng)化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹。;, 2 , 1,)()(nkdkxkx;, 2 , 1,)()(nkdkxkx;, 2 , 1,)()(nkdkxkx;, 2 , 1,)()(nkdkx

6、kx四、實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理3.1.4 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X=令 其中 則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，D皆為弱化算子。（證明從略） )(,),2(),1(nxxx)(,)2(,)1(dnxdxdxXDnknxkxkxkndkx,2, 1;)()1()(11)(四、實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理3.1.4 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X=令 其中 則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，D皆為強(qiáng)化算子。（證明從略） )(,),2(),1(nxxx)(,)2(,)1(dnxdxdxXD1,2, 1;12)()1()2()1 ()(nkkkkxkxxxdkx3.2 均均 值值 生生 成成定義 3.

7、2.1 設(shè)序列 與 為X的一對(duì)緊鄰值， 稱(chēng)為前值，稱(chēng)為后值，若 為新信息，則對(duì)任意 為老信息。)(),1(),(,),2(),1 (nxkxkxxxX)(kx) 1( kx)(kx) 1( kx)(nx)(, 1kxnk定義3.2.2 設(shè)序列X在k處有空穴，記為 ，即則稱(chēng) 與 為 的界值為前界， 為后界。當(dāng) 由 和生成時(shí)，稱(chēng)生成值 為 的內(nèi)點(diǎn)。)( k)(),1(),(),1(,),2(),1 (nxkxkkxxxX) 1( kx) 1( kx)( k) 1( kx) 1( kx)( k) 1( kx) 1( kx)(kx)1(),(kxkx定義3.2.3 設(shè) 與 為序列X中的一對(duì)緊鄰值，若有

8、1、 為老信息， 為新信息；2、則稱(chēng) 為由新信息與老信息在生成系數(shù) 下的生成值，當(dāng) 時(shí)，稱(chēng) 的生成是“重新信息、輕老信息”生成；當(dāng)0.5 時(shí)，稱(chēng)的生成是“重老信息、輕新信息”生成；當(dāng) ，稱(chēng) 的生成為非偏生成。定義3.2.4 設(shè)為在 處有空穴 的序列，而 為非緊鄰均值生成數(shù)，用非緊鄰均值生成數(shù)填補(bǔ)空穴所得的序列稱(chēng)為非緊鄰均值生成序列。)(kx) 1( kx) 1( kx)(kx 1 , 0),1()1 ()()(*kxkxkx)(*kx)(*kx)(*kx)(),1(),(),1(,),2(),1 (nxkxkkxxxXk)( k) 1(5 . 0) 1(5 . 0)(*kxkxkx定義 3.2

9、.5 設(shè)序列 若則稱(chēng) 為緊鄰均值生成數(shù)，由緊鄰均值生成數(shù)構(gòu)成的序列稱(chēng)為緊鄰均值生成序列。在GM建模，常用緊鄰信息的均值生成，它是以原始序列為基礎(chǔ)構(gòu)造新序列的方法。注意：設(shè) 為n元序列，Z為X的緊鄰均值生成序列，則Z為 元序列： 無(wú)法由X生成z(1).)(),2(),1 (nxxxX) 1(5 . 0)(5 . 0)(*kxkxkx)(*kx)(),2(),1 (nxxxX)(),3(),2(nzzzZ1n3.4 級(jí)比和光滑比當(dāng)序列的起點(diǎn)x(1)和終點(diǎn)x(n)為空穴，就無(wú)法采用均值生成填補(bǔ)空缺，只有轉(zhuǎn)而采用別的方法，級(jí)比生成和光滑比生成就是常用的填補(bǔ)序列端點(diǎn)空穴的方法。定義3.4.1 設(shè)序列稱(chēng)為

10、序列X的級(jí)比，稱(chēng)為序列X的光滑比。)(),2(),1 (nxxxXnkixkxkki,3 ,2;)()()(11nkkxkxk, 3 , 2;)1()()(定義3.4.2 設(shè)X為端點(diǎn)是空穴的序列：若用 右鄰的級(jí)比（或光滑比）生成 ，用左鄰的級(jí)比（或光滑比）生成 ，則稱(chēng) 與為級(jí)比（或光滑比）生成，按級(jí)比生成（或光滑比生成）填補(bǔ)空穴所得的序列稱(chēng)為級(jí)比生成（或光滑比生成）序列。命題 3.4.1 設(shè)X是端點(diǎn)為空穴的序列，則1、若采用級(jí)比生成，則2、若采用光滑比生成，則)(),1(,),2(),1 (nnxxX) 1 () 1 (x)(n)(nx) 1 (x)(nx)1()1()(),3(/)2()1

11、(nnxnxxx)1(1)(1()(,)2() 3()2() 1 (2nnxnxxxxx命題3.4.2 級(jí)比與光滑比有下述關(guān)系：定義3.4.3 若序列X滿(mǎn)足：1、2、3、則稱(chēng)X為準(zhǔn)光滑序列。定義 3.4.4 設(shè)X為有空穴的序列，若新序列生成滿(mǎn)足準(zhǔn)光滑條件，則稱(chēng)為準(zhǔn)光滑生成。nkkkkk, 3 ,2);(1 ()()1()1(; 1)() 1(kk1,3,2nknkk,4,3;,0)(5.03.5 累加生成算子和累減生成算子定義 3.5.1 設(shè) 為原始序列D為序列算子，其中則稱(chēng)D為 的一次累加生成算子，記為1-AGO（Accumulating Generation Operator),稱(chēng)r階算子

12、 為 的r次累加生成算子，記為r-AGO,習(xí)慣上，我們記)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)0(X)(,) 2(,) 1 ()0()0()0()0(dnxdxdxDXkinkixdkx1)0()0(,2, 1);()()0(XrD)0(X)(,)2(,) 1 ()1()1()1()1()0(dnxdxdxXDX)(,)2(,) 1 ()()()()()0(dnxdxdxXDXrrrrr命題 3.5.1 設(shè) 為非負(fù)序列其中 ，且為 的r次累加生成序列，則當(dāng)r充分大的時(shí)候，對(duì)于 存在N，使得 有下式成立：這就是說(shuō)，對(duì)于有界非負(fù)序列，經(jīng)過(guò)多次累加生成后，所得序列可以充分光滑，且光滑比(0)X(0 )(0 )(0 )(0 )(1),(2),( )Xxxxn(0)( )0 xk(0)( ) , ;1,2, .xka b kn( )( )( )( )(1),(2),( )rrrrXxxxn(0)X0 ,kNkn()1()1()( )rkrixkxi( )0()kk 3.6 累加生成的灰指數(shù)律 一般得非負(fù)準(zhǔn)光滑序列經(jīng)過(guò)累加生成以后，都會(huì)減少隨機(jī)性，呈現(xiàn)出近似得指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律，原始序列越光滑，生成后得指數(shù)規(guī)律越明顯。定義 3.6.1 （見(jiàn)教材P37）定義 3.6.2 定理 3.6.1 設(shè) 為正序列，而 為 的次累加生成，則