小學(xué)奧數(shù)圖形的分割與拼接精選練習(xí)例題含答案解析(附知識(shí)點(diǎn)撥及考點(diǎn))

1、L-2-3 4-2-3. 4-2-3.圖形的分割與拼接 / 目）對(duì)生知識(shí)點(diǎn)撥 本講主要學(xué)習(xí)三大圖形處理方法：1 .理解掌握?qǐng)D形的分割；2 .理解掌握?qǐng)D形的拼合； 3.理解圖形的剪拼.本講中很多類型的題目還要求同學(xué)們?nèi)?dòng)手嘗試.通過本講知識(shí)的學(xué)習(xí)，讓同學(xué)們了解不同圖形的分割、拼 合、剪拼的方法，鍛煉同學(xué)們的平面想象能力以及增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力.把一個(gè)幾何圖形按某種要求分成幾個(gè)圖形，就叫做圖形的分割.反過來，按一定的要求也可以把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)完美的圖形，就叫做圖形的拼合.將一個(gè)或者多個(gè)圖形先分割開，再拼成一種指定的圖形，則叫做圖形的剪拼. 我們?cè)趫D形的分割、拼合和剪拼的過程中，都要結(jié)合所提供的

2、圖形特點(diǎn)來思考.如果把一個(gè)圖形分割成若干個(gè)大小、形狀相等的部分，那么就要想辦法找圖形的對(duì)稱點(diǎn)，把圖形先分少，再 分多.圖形中，如果有數(shù)量方面的要求，可以先從數(shù)量入手，找出平分后每塊上所含數(shù)量的多少，再結(jié)合數(shù)量來分 割圖形.如果是要把幾個(gè)圖形拼合成一個(gè)大圖形，要特別注意每條邊的長(zhǎng)度，把相等的邊長(zhǎng)拼合在一起，先拼少的， 再拼多的.如果是剪拼圖形，要抓住 剪、拼前后圖形的面積相等 ”這個(gè)關(guān)鍵，根據(jù)已知條件和圖形的特點(diǎn)，通過分析推 理和必要的計(jì)算，確定剪拼的方法.giW 例題精講模塊一、圖形的分割【例1】 用一條線段把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分割成兩塊，一共有多少種不同的分割法?AB【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難

3、度】2星【題型】解答【解析】怎樣把一個(gè)圖形按照規(guī)定的要求分割成若干部分呢？這就是圖形的分割問題.按照規(guī)定的要求合理分割圖形，是很講究技巧的，多做這種有趣的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展空間觀念，豐富想象，提高觀察能力.這道題要求把長(zhǎng)方形平均分割成兩塊，過長(zhǎng)方形中心的任意一條直線都可以把長(zhǎng)方形平均分割成兩塊，根據(jù)這點(diǎn)給出如下分法 （如右圖）：做長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線，設(shè)交點(diǎn)為O 過O點(diǎn)任作一條直線 AB,直線AB將長(zhǎng)方形平均分割成兩塊.可見用線段平分長(zhǎng)方形的分法是無窮多的.【答案】做長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線，設(shè)交點(diǎn)為O 過O點(diǎn)任作一條直線 AB,直線AB將長(zhǎng)方形平均分割成兩塊.用線段平分長(zhǎng)方形的分法

4、有無窮多種?！眷柟獭慨嬕粭l直線，將六邊形分成大小相等、形狀相同的兩部分，這樣的直線有 條.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】填空【解析】 無數(shù)條.任何過六邊形中心的直線均符合要求.【答案】無數(shù)條【例2】 用直線把左圖分成面積相等的兩部分，在右圖中畫虛線給出了分法，其中正確的有個(gè)?！究键c(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，復(fù)賽，第14題，4分【解析】2個(gè)，第3個(gè)不是平分（本題有歧義，第一個(gè)圖是三部分）【答案】2個(gè)【例3】在一塊長(zhǎng)方形的地里有一正方形的水池（如下圖）.試畫一條直線把除開水池外的這塊地平分成兩塊.AOA【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星【題

5、型】解答直線正好能把除開水池外的這塊地平分為兩塊（如右上圖）.【解析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成4個(gè)等底等高的小三角形，它們的面積必定相等.而要得到這 4個(gè)等底等高的小三角形，只需把原三角形的某條邊四等分，再將各分點(diǎn)與這邊相對(duì)的頂點(diǎn)連接起來就行了.根據(jù)上面的分析，可得如左下圖所示的三種分法.又因?yàn)?1= 44 2222 ,所以，如果我們把每一個(gè)小三角形的面積看做1,那么1父4就可以視為把三角形的面積直接分成4等份，即分成4個(gè)面積為1的小三角形；而2乂2可以視為先把原三角形分成兩等份,再把每一份分別分成兩等份. 根據(jù)前面的分析，在每次等分時(shí)，都要想辦法找等底等高的三

6、角形. 根據(jù)上面的分析，又可以得到如右下圖的另兩種分法.【解析】用連對(duì)角線的辦法找出這塊長(zhǎng)方形地的中心O和正方形水池的中心 A.過O、A畫一條直線，這條O【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答【鞏固】把任意一個(gè)三角形分成面積相等的2個(gè)小三角形，有許多種分法.請(qǐng)你畫出3種不同的分法.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答把任意一個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)小三角形，有許多種分法.請(qǐng)你畫出4種不同的分法.【解析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成2個(gè)等底等高的小三角形，它們的面積必定相等.而要得到這 2個(gè)等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某條邊的中點(diǎn)與這

7、邊相對(duì)的頂點(diǎn)連接起來就行了 .根據(jù)上面的分析，可得如圖所示的三種分法.例5怎樣把一個(gè)等邊三角形分別分成8塊和9塊形狀、大小都一樣的三角形.圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答分成8塊的方法是：先取各邊的中點(diǎn)并把它們連接起來，得到4個(gè)大小、形狀相同的三角形,然后再把每一個(gè)三角形分成兩部分，得到如左上圖所示的圖形.分成9塊的方法是：先把每邊三等分，然后再把分點(diǎn)彼此連接起來，得到加上右上圖所示的符合條件的圖形.例6圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答卜圖是一個(gè)直角梯形，請(qǐng)你畫一條線段，把它分成兩個(gè)形狀相同并且面積相等的四邊形.1和2, AD邊長(zhǎng)直角梯形的上底為1,下底為2,要分成兩個(gè)相同的四

8、邊形，需要一條邊可以分成正好為3,所以AD邊分成兩段，找到 AD的三等分點(diǎn)E,現(xiàn)在，CD=AE, DE=AB, BF = EF ,所以還要找到BC的中點(diǎn)F ,連接EF ,就把梯形ABCD分成完全相同的兩部分.如下圖.【例7】 把下圖四等分，要求剪成的每個(gè)小圖形形狀、大小都一樣.除了剪正方形外,你還有別的方法嗎?【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接20【解析】先把圖形分成20M40相等的兩塊，每一塊中再分成相等的兩份，這樣就不難分成四塊了，如下圖.【例8】 下圖是一個(gè)3父4的方格紙，請(qǐng)用四種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個(gè)小 方格的完整.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【解析】 分成的兩塊每塊有1

9、2+2 =6（個(gè)）小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱，大小和形狀完全一樣，我們從對(duì)稱線入手，介紹一種分割技巧染色法，先選中一個(gè)小格，找它關(guān)于中心點(diǎn)或中心線的對(duì)稱位置，標(biāo)上相應(yīng)的符號(hào).當(dāng)找它關(guān)于中心線的對(duì)稱位置時(shí)是一種情況，關(guān)于中心點(diǎn)的對(duì)稱位置是另一種情況，具體如下圖所示.623451154326623451154325622651154334432651156234562341143265623451154326623451154325622651154334432651156234562341143265右圖是一個(gè)4 M4的方格紙，請(qǐng)用六種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個(gè)小方

10、 格的完整.4M 4 =16（個(gè)）小格，所以分圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答因?yàn)橐指畛赏耆嗤膬蓧K，即大小、形狀完全相同.方格紙一共有成的兩塊每塊有16+2 =8（個(gè)）小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱，大小和形狀完全一樣，應(yīng)用染色法，從中心點(diǎn)的一側(cè)入手染色，逐步推進(jìn).（建議教師同時(shí)呈現(xiàn)六幅空的 4M 4格圖，不同的變化在不同的圖上同時(shí)呈現(xiàn)）如下圖：788761165,2,25433467235814418563275438611 /77,22,68345783462155,1,2,64387812356744,7653218387642155,1,2467837887611652

11、2543346723581441 /8532765438611 /7722683457834621551 /26438781235674476532183876421551246783【例9】下圖是一個(gè)被挖去了為總面積四分之一小正方形的大正方形，請(qǐng)你將它分成大小形狀完全一樣的 四部分.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】要求把陰影部分分成四個(gè)大小、形狀都相同的四個(gè)圖形，先不考慮形狀，大小相同也就是面積相等,也就是把整個(gè)圖形的面積分成四份，分割后的每一部分占一份.考慮先把陰影部分分成 12個(gè)小正方形再分成四份，這樣每份正好有3個(gè)小正方形.再看形狀，三個(gè)小正方形只能排成匚”形或

12、者“匚形.答案如下圖.【鞏固】下圖是一個(gè)被挖去了為總面積四分之一小正方形的大正方形，請(qǐng)你將它分成大小形狀完全一樣的兩 部分.如果分三部分呢？【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星 【題型】解答【解析】 從形狀，面積兩方面綜合考慮，很容易就能得到答案.答案如右下圖.【鞏固】圖中是由三個(gè)正三角形組成的梯形.你能把它分割成4個(gè)形狀相同、面積相等的梯形嗎?【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】這道題的要點(diǎn)在于通過計(jì)算解決問題，要求把原來三個(gè)正三角形分成四個(gè)大小、形狀都相同的四個(gè)梯形，先不考慮形狀，大小相同也就是面積相等，即把整個(gè)梯形的面積分成四份，分割后的每一個(gè)梯形占一份，可以考慮把每

13、一個(gè)三角形的面積分成四份，再把三個(gè)正三角形中的每一個(gè)小三角形合 成要求的梯形，這種類型的題目可以從中點(diǎn)入手，找到每個(gè)正三角形的中點(diǎn)并連接，如下圖.【答案】【題型】解答【解析】如下圖所示.【例10】 將圖中的圖形分割成面積相等的三塊.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【例11】 下圖是由五個(gè)正方形組成的圖形.把它分成形狀、大小都相同的四個(gè)圖形，應(yīng)怎樣分?【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【解析】如果不考慮分成的四個(gè)圖形的形狀，只考慮它們的面積，這就要求把原來五個(gè)正方形分成四個(gè)面積相等的圖形，每個(gè)圖形的面積應(yīng)是1個(gè)多正方形.我們把每個(gè)正方形各分成四個(gè)面積相等的小正方 形，分成的每塊圖形應(yīng)有五個(gè)這樣的小正方

14、形.根據(jù)圖形的對(duì)稱性，我們很快就能得到如右上圖的分法.也可以將中間的正方形分成四個(gè)小正方形，如右上圖.【例12如何把下圖中的三個(gè)圖形分割成兩個(gè)相同的部分（除了沿正方形的邊進(jìn)行分割外，還可沿正方形的【解析】要把圖形分成兩個(gè)相同的部分，首先要保證分得的兩部分面積相同，其次要保證分得的兩部分形狀相同，從面積入手進(jìn)行分割會(huì)使問題更容易解決.第一個(gè)圖形一共有 6個(gè)小正方形，2個(gè)三角形，要分割成兩塊完全相同的部分，每一部分都要有 3個(gè)正方形、1個(gè)三角形，這樣很容易就可以解決這個(gè)問題了；同樣，對(duì)第二個(gè)圖形，一共有 7個(gè)正方形，2個(gè)三角形，因?yàn)檎叫蔚膫€(gè)數(shù)是奇數(shù)，所以，肯定有一個(gè)正方形被分成相同的兩塊，對(duì)于這

15、個(gè)圖形，我們很容易看出有一個(gè)正方形的位置很特殊，在最中間，所以考慮將它分成兩部分，由對(duì)稱的原則，從對(duì)角線分開；第三個(gè)圖形更復(fù)雜一些，一共有6個(gè)正方形，6個(gè)三角形，分成的兩塊每一塊都要有3個(gè)正方形、3個(gè)三角形，因?yàn)樽钌厦娴膬蓚€(gè)三角形組合成了一個(gè)大的三角形，所以右下方的兩個(gè)三角形不能分開，再根據(jù)對(duì)稱的原則，就容易解決這個(gè)問題了，具體分法見下圖.【例13】已知左下圖是由同樣大小的 5個(gè)正方形組成的.試將圖形分割成4塊形狀、大小都一樣的圖形.A【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答一 _ 5、【解析】已知圖形是由同樣大小的 5個(gè)正方形組成的，要分成 4塊同樣大小的圖形，則每塊圖形是一個(gè)正方4

16、形.由此想到，若把每個(gè)正方形都分成4等份，則分割成的每一塊中應(yīng)包含 5份.再稍經(jīng)試驗(yàn)，即得下圖的解（圖內(nèi)部的實(shí)線為分割線）.把右圖剪成形狀、大小相等的8個(gè)小圖形，怎么剪？作出分出的小圖形.圖形的分割與拼接總格數(shù)為12,用總格數(shù)除以數(shù)作圖，如下圖.8,得到每個(gè)小圖形應(yīng)該是一個(gè)半小正方形，根據(jù)平均一個(gè)小圖形的格【例14（第九屆 中環(huán)杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)初賽 ）如圖，它是由15個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形組成的.請(qǐng)?jiān)谠瓐D中沿正方形的邊線， 把它劃分為5個(gè)大小形狀完全相同的圖形， 分割線用筆描粗.分割后每個(gè)小圖形的周長(zhǎng)是 厘米. 分割后5個(gè)小圖形的周長(zhǎng)總和與原來大圖形的周長(zhǎng)相差 厘米.【考點(diǎn)】圖形的

17、分割與拼接【難度】3星【題型】填空【解析】 因?yàn)榭偣灿?5個(gè)小正方形，所以分成5個(gè)大小形狀相同的圖形后每個(gè)圖形應(yīng)該有15+5 = 3（個(gè)）小正方形，如圖. 每個(gè)小圖形的周長(zhǎng)為 8厘米.5個(gè)小圖形的周長(zhǎng)和：8M5=40（厘米），原圖形的周長(zhǎng)：4M4+2=18（厘米），所以相差40 -18 =22（厘米）.口門111 1【答案】I I II 1 I I I1周長(zhǎng)為8厘米.22厘米【解析】 通過計(jì)算，18 £=3,說明基本形狀是由三個(gè)小正方形組成，三個(gè)正方形有兩種形式:通過觀察，上面的圖形具有對(duì)稱性，不可能分成6個(gè)口人 ,再由6結(jié)合染色法，如下圖.【例16如圖，將一個(gè)等邊三角形分割成互相不

18、重疊的23個(gè)較小的等邊三角形小不一定都相同），請(qǐng)?jiān)趫D中畫出分割的結(jié)果.（這些較小的等邊三角形的大22 44 1 23 5 4 611335566【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答 【關(guān)鍵詞】小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)【解析】分割的方法不唯一，如圖所示.【例17如圖，將一個(gè)正方形分割成互相不重疊的21個(gè)小正方形，這些小正方形的大小不一定相同，請(qǐng)畫圖表布.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào) 【解析】 分割的方法不唯一，如右圖所示.【例18】一個(gè)正三角形形狀的土地上有四棵大樹（如下圖所示卜現(xiàn)要把這塊正三角形的土地分成和它形狀相同的四小塊，并且要求每塊地中都要有一棵

19、大樹.應(yīng)怎樣分？【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】由于土地的形狀為正三角形，由題意可知，把大三角形的面積分成四份，每一塊占一份，且形狀與 原三角形相同，于是我們想到取大正三角形的各邊中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)，即可將這塊大正三角 形的土地分成與它相等的四份，如下圖所示.【總結(jié)】本題若死守三角形面積等于底父高的一半，則無以下手，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換一下思考角度，取原三角形各邊中點(diǎn)，將原三角形分成面積相等的四部分，問題即可解決.【例19】 將下圖分割成大小、形狀相同的三塊，使每一小塊中都含有一個(gè)圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答18+3 =6（塊），而且分割【例20】請(qǐng)把下面這個(gè)長(zhǎng)

20、方形沿方格線剪成形狀、大小都相同的 個(gè)字中的一個(gè)，該怎么剪？4塊，使每一塊內(nèi)都含有 奧數(shù)讀本”這四圖形的分割與拼接【難度】4星圖中一共有18個(gè)小方格，要求分割成大小、形狀相同的三塊，每一塊有:成大小、形狀相同的三塊，可以看出圖形的中心點(diǎn)是 O,而且上面的部分是對(duì)稱的，但是只有5塊, 需要對(duì)稱的再加上一塊，再由圖形的特點(diǎn)，可以判斷應(yīng)分為右下圖的三部分.4塊，因?yàn)殚L(zhǎng)方形是 6父4的，所以分圖中 奧數(shù)”與 讀本”中的兩個(gè)字都是挨著的，所以肯定要在它們中間分割，因此，首先在他們中間割后的每一塊都有 6小塊組成,劃出分割線，因?yàn)橐獙⑦@個(gè)長(zhǎng)方形分成大小、形狀完全相同的可以考慮先把長(zhǎng)方形分成相同的兩部分，再

21、把每一部分分成相同的兩部分，如下圖所示.答案不唯一. 答案不唯一【例21】（2008年第八屆 春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽）請(qǐng)把下面的圖形分成形狀、大小都相同的4塊，使每一塊里面都有 春蕾杯賽”4個(gè)字.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【解析】如下圖所示:答案不唯一.【例22】學(xué)習(xí)與思考對(duì)小學(xué)生的發(fā)展是很重要的，學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來，請(qǐng)你將下圖分成形狀和大小都相同的四個(gè)圖形，并且使其中每個(gè)圖形都含有學(xué)習(xí)思考”這四個(gè)字.應(yīng)怎樣分?思學(xué)思考考學(xué)習(xí)習(xí)習(xí)思考思習(xí)學(xué)考學(xué)【難度】4星【題型】解答【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接4個(gè)小正方形組【解析】看到這道題目，我們想到俄羅斯方塊，由題意可知，所分出的每一塊

22、圖形，必須由成，它的形狀不外乎如右上圖所示的五種俄羅斯方塊，這就控制了搜索的范圍.根據(jù)原題中各個(gè)字的具體位置，上圖中有些圖形是必須排除的，例如，如果把圖與原題右下角2M2的正方形重疊, 其中 考”字出現(xiàn)了兩次，不符合題意，因此，圖 可以先排除掉. 現(xiàn)在，再固定某一角上的一個(gè)小正方形，按其中的字來考慮.如固定右上角寫有考”的小正方形來分析，只有下列4種可能出現(xiàn)的 情況:思學(xué)思考考學(xué)習(xí)習(xí)習(xí)思考思習(xí)學(xué)考學(xué)【例23如下圖所示，請(qǐng)將這個(gè)正方形分切成兩塊，使得兩塊的形狀、大小都相同，并且每一塊都含有學(xué) 而思奧數(shù)五個(gè)字.數(shù)而而奧奧數(shù)思學(xué)學(xué)思【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】5星 【題型】解答【解析】圖中有相同

23、漢字挨在一起的情況，肯定要從它們之間切開（圖1）,因此，首先要在它們之間劃出切分線.因?yàn)橐獙⑦@個(gè)正方形切開成兩塊形狀和大小都一樣的圖形，所以其中一塊繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180口必定與另一塊重合.要是把切分線也繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180就可得到一些新的切分線（圖2）.這就為我們解 決問題提供了線索，本題的兩種解法如上圖所示.數(shù)而而奧奧數(shù)O-思學(xué)學(xué)思數(shù)而而奧奧數(shù)O-思學(xué)學(xué)思數(shù)而而奧奧數(shù)O思學(xué)學(xué)思圖1圖2【答案】數(shù)而而奧奧數(shù)O思學(xué)學(xué)思【例24如下圖所示的正方形是由 36個(gè)小正方格組成的.如圖那樣放著4顆黑子，4顆白子，現(xiàn)在要把它切割成形狀、大小都相同的四塊，并使每一塊中都有一顆黑子和一顆白子.試問如何切割？【考點(diǎn)

24、】圖形的分割與拼接【解析】【難度】5星【題型】解答首先在相同顏色的棋子之間劃出切分線，以中心旋轉(zhuǎn)90、180：'、270：'之后，得到一些新的切分線,同時(shí)考慮到每塊包含有一顆黑子和一顆白子的要求，以及每一塊面積應(yīng)該是36 + 4 = 9,即含有9個(gè)小正方格，先找到符合要求的一塊后，讓它繞中心旋轉(zhuǎn)90、180：'、270*便得到其他三塊，如下圖.【例25如圖，要求把正方形分成四塊，兩個(gè)正方形共分為八塊，使每塊的大小和形狀都相同，而且都帶 一個(gè)Q【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】5星【題型】解答【解析】一個(gè)正方形分成大小和形狀都相同的四塊，一定是從中心點(diǎn)分開的，只要能找出其中

25、符合題目要求的一塊，然后再將這塊繞著正方形的中心點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)90"、180、270：就可以得到另外三塊.又因?yàn)檫@個(gè)正方形面積為 36平方單位，所以分成的每一塊的面積都是9平方單位.即每一塊都由9個(gè) 小正方格組成.另外，由于兩個(gè)正方形要切分成一樣大小的四塊，因此可將兩個(gè)正方形重疊在一起 考慮.將兩個(gè)正方形重疊在一起，如下圖所示，為便于區(qū)別，將其中一組的改寫成“X”要求將這重疊的正方形切分成大小、形狀都相同的四塊，并且每塊都有一個(gè)和“X”圖中有相同符號(hào)的“C挨在一起的從中間把它們切開，在它們中間劃上截線.并將這些截線繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90“、180：、270：'得到另外三段截線.如下圖.

26、利用它們?cè)O(shè)想出劃分線.設(shè)想分塊從中心位置開始，逐步向外擴(kuò)散，在里層方格中，先指定某一方格已分入到某小塊中,并作上記號(hào)（斜線陰影），然后將它繞中心旋轉(zhuǎn)180：'后得到另一方格分入到另一小塊中，也作上記號(hào)（橫線陰影），如圖.對(duì)于中間一層方格和最外一層方格,設(shè)想分塊時(shí)一定要緊扣條件:每一塊中都要有一個(gè)“O一個(gè)飛”.每一塊都有9個(gè)方格組成，不能斷開.下圖是分解了的分塊過程示意圖.注意到斜線陰影部分已經(jīng)有了一個(gè)“。粕一個(gè)殳那么左下角包含 “C的方格就不能再分到斜線陰影部分去了，而只能將右下角的方格分到斜線陰影部分.于是左上角的方格就應(yīng)該分給橫線陰影部分.空白部分是另外兩塊.卜就是最后分得的結(jié)果.

27、-» as【例26三部分，使每個(gè)部分中含有一個(gè)（2004年第2屆走美杯4年級(jí)決賽第8題，10分）將下頁圖所示圖形拆成形狀相同、面積相等的,請(qǐng)將第一部分的六邊形都標(biāo)上“1；第二部分的六邊形都標(biāo)上“2'：【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【解析】【難度】4星【題型】解答2模塊二、圖形的拼接【例27】用兩塊大小一樣的等腰直角三角形能拼成幾種常見的圖形？【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星 【題型】解答【解析】建議用等腰直角三角板，把不同的邊進(jìn)行重合，不要漏掉旋轉(zhuǎn)重合，或者準(zhǔn)備一些等腰直角三角形的紙片，由學(xué)生拼接后貼到黑板上，見下圖:【鞏固】用3個(gè)等腰直角三角形拼圖，要求邊與邊完全重合，能拼出

28、幾種圖形?【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答【解析】 這種類型的題需要學(xué)生親自操作，建議教師準(zhǔn)備材料與學(xué)生互動(dòng).一共可以拼成如下圖的幾種形狀:【鞏固】用同樣大小的四塊等腰直角三角板，能否拼出一個(gè)三角形、一個(gè)正方形、一個(gè)長(zhǎng)方形、一個(gè)梯形、 一個(gè)平行四邊形五種圖形？若能，畫出示意圖.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答【解析】能用四塊同樣大小的等腰直角三角板拼出一個(gè)三角形、一個(gè)正方形、一個(gè)長(zhǎng)方形、一個(gè)梯形、一個(gè)平行四邊形五種圖形.建議用等腰直角三角板，把不同的邊進(jìn)行重合，不要漏掉旋轉(zhuǎn)重合，或者準(zhǔn) 備一些等腰直角三角形的紙片，由學(xué)生拼接后貼到黑板上，具體拼法如圖所示.【答案

29、】（國（7）【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】用4塊圖（4）和圖（5）那樣的圖形顯然能夠拼成一個(gè)大正方形.其實(shí)用圖（1）、圖（2）、圖（3）也能拼成一個(gè)大正方形，拼法見下圖.【答案】圖形（1）(2)、(3) ( 4)、 ( 5)可以【例29】用下面的3個(gè)圖形，拼成右邊的大正方形.【解析】 首先數(shù)一數(shù)所有的空格數(shù)，一共只有16個(gè)，只能組成4父4的正方形,使用目標(biāo)倒推法，在右邊的大正方形中拼圖，仍然使用染色法，相當(dāng)于把已知圖形往右邊的大正方形中放，這樣就很容易拼合了, 如下圖:【答案】【鞏固】用 四連塊”拼成一個(gè)正方形，按編號(hào)畫入右邊圖中.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星

30、【題型】解答【解析】首先數(shù)一數(shù)所有的空格數(shù),一共只有16個(gè)，只能組成4 M4的正方形，目標(biāo)倒推，在右邊的大正方形中拼圖，仍然使用染色法，相當(dāng)于把已知圖形往右邊的大正方形中放，這樣就很容易拼成了，注意標(biāo)號(hào)的位置，具體如下圖所示:【例30】有6個(gè)完全相同的Eb，你能將它們拼成下面的形狀嗎?【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】利用染色法以及圖形的對(duì)稱性，對(duì)稱軸兩側(cè)都有三個(gè)小圖形，按照下面的順序標(biāo)號(hào)即可完成.333323113222111,1,22【例31】 三種塑料板的型號(hào)如圖:(C)5m5正方形10個(gè)，B型板每塊價(jià)格5元,(A)( B)已有A型板30塊，要購買B、C兩種型號(hào)板若

31、干，拼成C型板每塊價(jià)格為 4元.請(qǐng)你考慮要各買多少塊，使所花的總錢數(shù)盡可能少，那么購買B、C兩種板要花多少元？【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答 【關(guān)鍵詞】保良局亞洲區(qū)城市，小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽【解析】要使花的錢盡可能的少，已有30個(gè)A型板最好能用上，而價(jià)格較貴的B型板盡可能少用，因?yàn)锳型與B型的面積都為3,所以在拼成的5M5的正方形中，除了 C型外，余下的面積應(yīng)能被 3整除.有 25-4父4=9或25-4父1=21能被3整除知，只能用4塊C型板或1塊C型板，考慮盡可能多地使用A型板，有如下圖1、圖2的拼法：圖1的拼法要花4乂4+5父2 =26(元)，圖2的拼法要花4+5 =9(元)，

32、因?yàn)橹挥?0塊A型板，所以在10快5父5的正方形中，圖2的拼法只能有4塊，乘I下6塊用圖1拼法，共需：9父4 + 26父6 = 192(元)【答案】192元【例32】 試用圖a中的8個(gè)相等的直角三角形，拼成圖 b中的空心正八邊形和圖 c中的空心正八角星.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】5星【題型】解答【解析】把一個(gè)直角三角形的斜邊與另一個(gè)直角三角形的一條直角邊重合，同時(shí)，斜邊上的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與直角頂點(diǎn)重合，像這樣依次擺放下去，便可得空心正八邊形.若把一個(gè)直角三角形的斜邊與另一個(gè)直角三角形的直角邊的一部分重合，但頂點(diǎn)均不重合，依次擺放下去，便可由這八個(gè)相等的直角三角形組成空心正八角星.模塊三、圖

33、形的剪拼【例33】 試將一個(gè)正方形分成相同的四塊，然后用這四塊分別拼成三角形、平行四邊形和梯形.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】要用分成的四塊組成三角形，那么剪成得圖形一定是三角形，這樣平均分成四等分，當(dāng)然這種分法有好幾種.組成圖形的時(shí)候我們可以換位思考，看如何將三角形、平行四邊形、梯形分成大小相等的三角形.如圖所示:【例34】把兩個(gè)小正方形剪開以后拼成一個(gè)大正方形.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e等于兩個(gè)小正方形的面積和，所以大正方形的邊長(zhǎng)不能等于兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)和，而是等于小正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)，所以要沿著兩個(gè)小正方形的對(duì)角

34、線剪開再進(jìn)行拼接，如右圖.【答案】【解析】總共有36塊小正方形，所以最后拼成的大正方形邊長(zhǎng)有【例36】 將下圖分成兩塊，然后拼成一個(gè)正方形.1,那么拼成的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是4.因【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答 【解析】圖形的面積等于16個(gè)小方格，如果以每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為為圖形是缺角長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為6,寬為3,應(yīng)將寬加1,長(zhǎng)減去2便可得一個(gè)正方形，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應(yīng)向上平移1（原來寬為3,向上平移使寬為 4）,向左平移2（原來長(zhǎng)為6,向左平移使長(zhǎng)為4）.如右下圖所示.【答案】拼接分割【例37】 將圖1分成4個(gè)形狀、大小都相同的圖形，然后拼成一個(gè)正方形.圖1圖形的分割與拼

35、接圖2【難度】4星【題型】解答經(jīng)過計(jì)數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，圖形是由16個(gè)完全一樣的正方形組成，所以拼成的正方形每排都有 4個(gè)這樣的小正方形，共有 4排把大圖形分成完全一樣的 4個(gè)圖形，每個(gè)圖形的面積都是小正方形的4倍.現(xiàn)2,再想辦法把已經(jīng)分成的兩個(gè)圖形各分在來考慮形狀.由于這個(gè)圖形具有對(duì)稱的特點(diǎn)，很容易想到先將它分成兩個(gè)完全一樣的圖形，只要 沿大圖形中間的那條豎線剪開即可，其中上面的一個(gè)是圖 成兩個(gè)形狀、大小都相同的圖形即可.下面以上面的圖為例，繼續(xù)探討分割的辦法.如果把上圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)看作 1個(gè)單位，那么這個(gè)圖形中的最長(zhǎng)邊有4個(gè)單位，其次為3;顯然，要把它分成完全一樣的兩個(gè)圖形，每個(gè)圖形的最長(zhǎng)

36、邊只能為3,具體分法見圖3,用同樣的方法，可以將與上面的圖形完全一樣的下面的一個(gè)圖形分成兩個(gè)形狀、大小都相同的圖形，如下圖.【例38】小龍的媽媽在街上賣邊角布料的地?cái)偵?，買回了一塊形狀是等腰直角三角形的綢布，想用它來做 長(zhǎng)方形的窗簾，為了不把布剪的太碎，裁剪的塊數(shù)就要盡可能的少，請(qǐng)問小龍的媽媽應(yīng)該怎樣剪 拼呢？【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】要使裁剪的塊數(shù)少，就要充分利用等腰直角三角形的特點(diǎn)，還要盡可能多的讓長(zhǎng)方形的邊與三角形的邊重合，假設(shè)拼好的長(zhǎng)方形以 BC為長(zhǎng)，現(xiàn)在要把4ADE補(bǔ)到4CGE的位置上，這就要求這兩個(gè) 三角形完全一樣，顯然，只要取 D、E分別為AB、AC

37、的中點(diǎn)即可.所以首先連接 AB的中點(diǎn)D和 AC的中點(diǎn)E ,將 ADE沿DE剪開，再按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180 °即可.如下圖所示.【例39】試將任意一個(gè)三角形分成三塊，然后拼成一個(gè)長(zhǎng)方形.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：三角形與長(zhǎng)方形的不同在于：角、邊的個(gè)數(shù)不同，把三角形變?yōu)樗倪呅?，需要加一個(gè)角，加一條邊，而且長(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角，自然能想到在三角形中做兩條垂線，并且過三角 形兩條邊的中點(diǎn)，這樣才能拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，如左下圖.方法二：因?yàn)橛善叫兴倪呅无D(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形很簡(jiǎn)單，所以只需要把三角形先分割、拼湊成平行四邊形, 作三角形的中位線，旋轉(zhuǎn) 180即可轉(zhuǎn)化為平行

38、四邊形，然后拼成長(zhǎng)方形，如右下圖.方法方法180即可，如右上圖所示.【鞏固】試將任意一個(gè)矩形分成兩塊，然后拼成一個(gè)三角形.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：考慮到矩形沿對(duì)角線可以分成兩個(gè)相同的三角形，兩個(gè)完全相同的三角形即可拼成一個(gè)大的三角形，如左上圖所示.方法二：連接矩形一個(gè)角與一邊中點(diǎn)的連線，將分割出的三角形沿中點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)【鞏固】試將任意一個(gè)矩形分成三塊，然后拼成一個(gè)三角形.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】 將例題逆推即可.【例40把一個(gè)正方形分成 8塊，再把它們拼成一個(gè)正方形和一個(gè)長(zhǎng)方形，使這個(gè)正方形和長(zhǎng)方形的面積 相等.【考點(diǎn)】圖形的

39、分割與拼接【難度】4星【題型】解答【解析】連接正方形的對(duì)角線，把正方形分成了4個(gè)相等的等腰直角三角形，再連接各腰中點(diǎn)，又把它們分成4個(gè)小等腰直角三角形和 4個(gè)等腰梯形.（如圖所示），出于分成正方形、 長(zhǎng)方形面積相等的要求考慮：分別取出兩個(gè)小等腰直角三角形和兩個(gè)梯形，就能一一拼出所要求的正方形和長(zhǎng)方形了（如圖、所示）.【例41】試將一個(gè)4M9的長(zhǎng)方形分割成兩個(gè)大小相等、形狀相同的圖形，然后拼成一個(gè)正方形.圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】已知長(zhǎng)方形格數(shù)9M4 =36 （個(gè)），所以正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為 6個(gè)格，因此可以把長(zhǎng)方形上半部分成3個(gè)格、6個(gè)格，下半部分成6個(gè)格、3個(gè)格，分成相等的

40、兩塊，合起來正好拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為6個(gè)格的正 方形，如右下圖.【例42】 有一塊長(zhǎng)8米、寬3米的長(zhǎng)方形地毯， 現(xiàn)在要把它移到長(zhǎng) 6米、寬4米的新房間里.請(qǐng)找出一種剪 裁方法，使剪后的各塊拼合后正好能鋪滿房間的地面，為了使剪后的地毯盡量完整，就要使剪裁 的塊數(shù)盡可能地少，應(yīng)怎樣剪拼？【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答【解析】相等.通過對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)：地毯的長(zhǎng)比房間的長(zhǎng)多2米，房間的寬比地毯的寬多 1米，因此，我們地毯的面積為8M3=24平方米，新房間的面積為 6M4=24平方米，兩者雖然長(zhǎng)、寬不相等，但面積可以把地毯看做由12個(gè)2父1（平方米）的小長(zhǎng)方形組成的大長(zhǎng)方形，如左下圖所示，要達(dá)

41、到題目的要 求，只要使原地毯的長(zhǎng)縮短一小格.即減少 2米，使原地毯的寬增加一小格，即增加 1米，我們可以沿對(duì)角線的方向，把它剪成階梯形的兩塊，并使它們的形狀和大小完全相同，如中間圖，然后把它們錯(cuò)位互相拼接在一起，即陰影部分先向上平行移動(dòng)1米，再向右平行移動(dòng) 2米，即得右下圖.rq二MnMtdO【例43如何把一個(gè)長(zhǎng)20厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形切成兩塊，拼成一個(gè)長(zhǎng)16厘米、寬15厘米的新長(zhǎng)方形.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接圖d【難度】4星【題型】解答【解析】因?yàn)樵L(zhǎng)方形比新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)多4厘米，新長(zhǎng)方形比原長(zhǎng)方形的寬多3厘米，因此我們把原長(zhǎng)方形分成20個(gè)長(zhǎng)4厘米，寬3厘米的小長(zhǎng)方形.因?yàn)樾麻L(zhǎng)方形的長(zhǎng)為1

42、6厘米，所以原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)應(yīng)減少一個(gè)小長(zhǎng)方形，而新長(zhǎng)方形的寬為15厘米，所以原長(zhǎng)方形的寬應(yīng)增加一個(gè)小長(zhǎng)方形.可以沿對(duì)角線的方向，把它切成 k階梯狀的兩塊，并使他們的形狀和大小完全相同，然后把它們相互錯(cuò)位交在e所示的長(zhǎng)為16起，即白色部分往上爬了一個(gè)臺(tái)階，這樣便拼成了一個(gè)新的長(zhǎng)方形.具體操作中可按圖d中的粗線把長(zhǎng)方形分成兩塊，一移一錯(cuò)一對(duì)，便可得到如圖厘米，寬為15厘米的新長(zhǎng)方形.4【例44長(zhǎng)方形長(zhǎng)24厘米，寬15厘米.把它剪成兩塊，使它們拼成一個(gè)長(zhǎng)20厘米，寬18厘米的長(zhǎng)方形.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答【解析】 長(zhǎng)方形面積=24父15 =360（平方厘米），拼成的長(zhǎng)方形面積

43、 =20 78=360（平方厘米），面積相等，只是長(zhǎng)、寬不等，但它們都可以分成30個(gè)4 >3的小長(zhǎng)方形，拼成的長(zhǎng)方形的一半應(yīng)有15個(gè)4M 3的小長(zhǎng)方形，即5+4+3+2+1=15.所以才有如下圖的剪切方法.4152443182031820【例45長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是 9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形狀都相同的兩塊，并使它們拼成一個(gè) 正方形.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答【解析】已知長(zhǎng)方形面積9父4 =36（平方厘米），所以正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為6厘米，因此可以把長(zhǎng)方形上半部剪下6厘米，下半部剪下 3厘米，分成相等的兩塊，合起來正好拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為6厘米的正方形，如262646一

44、塊長(zhǎng)方形的木板，長(zhǎng)為 90厘米，寬為40厘米，將它鋸成 2塊，然后拼成一個(gè)正方形，你能做到嗎？圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答因?yàn)?0父40=3600, 3600=60父60,所求的正方形的邊長(zhǎng)為60厘米，可以如下圖拼成:【解析】20cm40cm20cm40 cm20cm30cm90cm【例46如下圖長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為120厘米、90厘米，正中央開有小長(zhǎng)方形孔，長(zhǎng)為 80厘米，寬為10【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】5星厘米，要拼成面積為 100平方厘米的正方形.問如何切分，能使劃分的塊數(shù)最少.【解析】切分前面積為120乂90-80父10 =10000（平方厘米），應(yīng)與拼成后的正方形

45、面積相等.拼成后正方形的邊長(zhǎng)x =100厘米.因?yàn)椋?00=120-20=90+10.假設(shè)上圖切成兩塊如下左圖，然后將右塊向上平移10厘米，再向左平移 20厘米，就拼成了一個(gè)正方形，切分線不可能是直線，一定是折線段.切 分后的兩塊類似階梯形，然后由兩個(gè)階梯互相嚙合，組成一個(gè)正方形，如下右圖.2010 2010 200 20"7010 20 ,10 2010 2010202020 100 201010 2010! 20 10|_20 "70【例47】把下圖中兩個(gè)圖形中的某一個(gè)分成三塊，最后都拼在一起，使它們成為一個(gè)正方形.【解析】不管分其中的哪一塊，最后拼得正方形的面積與圖中

46、兩塊面積和相等，甲面積10=10父5 = 50 （平方厘米）；乙面積=10父7 （72父4 =70 20 =50 （平方厘米）.所以甲面積+乙面積=50+50 =100（平方厘米），也就是最后拼得正方形的邊長(zhǎng)為10厘米.甲、乙兩圖形各有一邊是10厘米，可視為正方形的一條邊，然后把乙剪成三塊（如右下圖所示）拼成的正方形，即可.【例48】如下圖兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是a和b ( a>b),將邊長(zhǎng)為a的正方形切成四塊大小、形狀都相同的圖形，與另一個(gè)正方形拼在一起組成一個(gè)正方形.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】5星【題型】解答【解析】MN為大正方形邊長(zhǎng)，如圖拼成大正方形的面積應(yīng)是aa+b'

47、b,設(shè)邊長(zhǎng)c ,則有等式cc=a a +bx b ,又因?yàn)閷⑦呴L(zhǎng)為a的正方形切成四個(gè)全等形，那么分割線一定經(jīng)過正方形中心，假設(shè)切割線，一定有 MN mMN =aa +bxb,而 MH =a ,貝U： NH =b,所以 AN =CM =BH = (ab) -2,由此可以確定 MN ,然后將MN繞中心O旋轉(zhuǎn)90到EF位置，即可把正方形切成符合要求的 4塊.如圖與圖.這種分法同時(shí)確保圖 的中間部分就是邊長(zhǎng)為 b的小正方形.這是因?yàn)?中心四邊形的角即邊長(zhǎng)為 a的正方形的四個(gè)角，ZA,ZB,ZC,ZD,又因?yàn)楦鬟呴L(zhǎng)度相等.因此中心四邊形是正方形.中心正方形的邊長(zhǎng) =a -(a+2 -(a b) + 2=a (ab)=b .因此，中間部分是邊長(zhǎng)為 b的正方形.AlicLA NHIV【例49如下圖所示，這張十字形紙片,它是由五個(gè)全等正方形組成，試沿一直線將它剪成兩片，然后再沿另一直線將其中一片剪成兩片，使得最后得到的三片拼成兩個(gè)并列的正方形.【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】5星【題型】解答【解析】實(shí)際拼成兩個(gè)并列的正方形就是一個(gè)長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)是寬的2倍，設(shè)十字形面積是 5個(gè)平方單