高等數學-四 微分學導數概念部分ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 導數的概念導數的概念第二節(jié)導數的運算第二節(jié)導數的運算第三節(jié)第三節(jié) 導數的運用導數的運用第四節(jié)第四節(jié) 微分及其運用微分及其運用 s tts tstt例1 求變速直線運動的瞬時速度解 設一物體作變速直線運動，其路程函數為 求該物體在 時辰的瞬時速度。t()( )ss tts t ttt( )ss t就是物體在 這段時間內的平均速度 t假定在 時辰物體所走的路程為 當經過 時，物體所走的路程為t( )s ttt()s tt 00limlim.tts tts tsvtt 越小，這個平均值越接近 時的瞬時速度，所以當 時的極限就是物體在 的瞬時速度即： tt0t t 就是說，物體運動的瞬時

2、速度是路程函數的增量和時間就是說，物體運動的瞬時速度是路程函數的增量和時間的增量之比當時間增量趨于零時的極限的增量之比當時間增量趨于零時的極限. . 越小，這個平均值越接近 時的瞬時速度，所以當 時的極限就是物體在 的瞬時速度即： tt0t t導數定義：導數定義： 設函數 在點 的某一鄰域內有定義，當自變量 在 處有增量 仍在該鄰域內)時，相應地函數 有增量 ， 假設比值的極限存在，那么稱這個級限值為函數 在 的導數，并記為( )yf x0 xx0 x0(xx xyy00()()yfxxfx ( )f x0 x000()dyfxyxxxxdx或或或或1、求、求0 xxx 要據導數的定義知求一個

3、函數在某點的導數要據導數的定義知求一個函數在某點的導數經過三個步驟：經過三個步驟：y2、求、求yx3、求、求0limxyx 00()()(3)(3)yf xxf xfxf 例例 求求 在在 處的導數處的導數2yx解解 3x 1222(3)3x266yxxxxx 300limlim(6)6xxyxx (3)6f 26 xx 假設函數假設函數 在區(qū)間在區(qū)間 任一點任一點 導數都存在，那么對應于區(qū)間導數都存在，那么對應于區(qū)間 上每一點上每一點 就有一個導數值，這就構成了一個新的函數，這就有一個導數值，這就構成了一個新的函數，這個新的函數就叫做函數個新的函數就叫做函數 的導函數，但為的導函數，但為簡單

4、起見習慣上把導函數叫做導數。并記為：簡單起見習慣上把導函數叫做導數。并記為：( )xdyyfxdx00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 即即 ( )yf x( , )a bx( , )a b( )yf x例例 求求 的導函數的導函數2yx22yxxx300limlim(2)2xxyxxxx ( )2fxx22()( )()yf xxf xxxx 解解 122x xx 顯然，函數 在點 處的導數 ，就是導函數 在點 處的函數值，即 .( )yf x0 x0()fx( )fx0 x0()( )0fxfxx0 x 二、導數的幾何意義二、導數的幾何意義 0 x0 xxxyyxA

5、B0tgtg1、曲線的切線 當 點沿著曲線趨B 向與 點時，割線的極限位置就叫做曲線 在 點的切線。A( )yf x( )yf xA2、導數的幾何意義 00()limxyfxx ytgx,時，時， ,BA割線割線 切線切線, 000()limlimxxyfxtgtgx 當當 例 求過曲線 在點 處的切線方程。212yx1(1, )2解解 2211()( )()22yf xxf xxxx 22xx x 2yxxx0( )lim()2xxfxxx (1)1f 11 (1)2yx 2210yx 三、函數的延續(xù)性與可導性的關系定理：定理： 在某點可導的函數，那么在該點函數在某點可導的函數，那么在該點函

6、數一定延續(xù)；在某點延續(xù)的函數，那么在該點函一定延續(xù)；在某點延續(xù)的函數，那么在該點函數不一定可導。數不一定可導。證明定理的前部分設證明定理的前部分設 在在 可導可導( )yf x0 x即即 00()limxyfxx yyxx 0limxy 所以函數所以函數 在在 點延續(xù)。點延續(xù)。 0 x( )f x00limlimxxyxx 0limxyxx 0() 00fx13yx證明定理的第二部分，舉例闡明就可以了證明定理的第二部分，舉例闡明就可以了 例例 由于由于 是初等函數，它在是初等函數，它在 (,) 上是延續(xù)函數，但上是延續(xù)函數，但 233211133yxx 在在 處導數不存在。處導數不存在。0 x

7、 例例 0( )0 xxf xxxx在在 處能否連處能否連續(xù)，能否可導。續(xù)，能否可導。0 x 00()()(0)(0)yf xxf xfxf 解解1 給給 一個改動量一個改動量00 x x00limlim0 xxyx 所以該函數在所以該函數在 處延續(xù)。處延續(xù)。0 x ()(0)fxfx 00limlim1xxxxxx 00limlim1xxxxxx 0limxyx 不存在不存在 ，所以在，所以在 不可導。不可導。 即即 0 x 0(0)limxyfx 2 00limlimxxxyxx 該函數在該函數在 處延續(xù)，但在該點導數不存在。處延續(xù)，但在該點導數不存在。 0 x 1求增量 y( )yf x

8、()( )yf xxf x ()( )yf xxf xxx0limxyyx 求函數 的導數 的步驟 2求比值 2求比值的極限 四、初等函數的導數解 (1) 求增量：由于 即不論 取什么 值，總等于 ，所以 ycxc0y 0yx2算比值00limlim 00 xxyyx 3求極限即常數的導數等于零0c ()( )yf xxf x 2cos()sin.22xxx()()2cossin22xxxxxxy 解1求增量 2求比值2cos()sin22xxxyxxsin()sinxxxsin2cos()22xxxx00sin2limlim cos()22xxxyxxxx 00sin2lim cos()li

9、m22xxxxxx 3求極限即(sin )cosxx 用同樣的方法可得(cos )sinxx cosxlog1axxlog ()logaayxxx log1axyxxxlogaxxx解1求增量解2求比值1log1xxaxxx001limlimlog1xxaxxyxxxx 11log elnaxxa1(log)lnaxxa 1(ln )xx 3求極限11log lim (1)xxaxxxxx即特別是當ae()nnyxxx 122(1)()()2!nnnn nnxxxxx 121(1)()2!nnnyn nnxxxxx 12100(1)limlim()2!nnnxxyn nnxxxxx 1nnx1

10、nnxnx第二節(jié)第二節(jié) 導數的運算導數的運算2( )uu vv uvv ( ),( )uu xvv x( ),( )u xv x()uvuv()()u vu vv ucucu()u v wu vwv uww uv 3ln sinyxxxlncos7yxx1(ln )(cos )7sinyxxxx23313lnsinsincoslnyxxxxxx xxx ytgx()ytgx222cossincosxxxsin()cosxx2(sin ) cos(cos ) sincosxxxxx221seccosxxyx1112211()22yxxx1yx12211( )()1yxxxx 1()2xx 211

11、( )xx 221()cscsinctgxxx dydy dudxdu dx( )uxxu( )yf x ( )yfxx( )( )( )xuxy xfuxyyuxuuyyuxuxxyyuxux000limlimlimxxxyyuxux x( )u xx0 x 0u 000limlimlimxuxyyuxux xuxyyucos2yxcos2yuuxxuxyy u (cos )sinuyuu 2sin2sin2xyux 2ln(1)yx221(1)1yxx(2 )2xux221xx3sinyx32sin3sincosyuuxyxx34(sin )yxx3334(sin ) (sin )yxxx

12、x3324(sin ) (3cos )xxxxxyalogaxylogxaxa(log)xaxa111log()()lnxxaxxeaaaaa()lnxxaaa ae()xxee yarctgxxtgytgarctgx211()cosarctgxarctgx21()secarctgxy 21()1arcctgxx 2sec()yarctgx 211 tg y211xarcsinyxsinsin(arcsin )xyx1cos(arcsin ) (arcsin )xx 11(arcsin )cos(arcsin )cosxxy 21(arcsin )1 sinxy 21(arcsin )1xx

13、21(arccos )1xx 22yax22221()2yaxax222222xxaxaxarcsinyx1()1yxx2111122xxxx2ln(32)yxx221(32)32yxxxx2212(3)3222xxxx2223232(2)xxx xx1arcytgx211( )11yxx331yx133(1) yx113331(1)(1)3xx2211()11xx211x 23 23(1)xx21arcsinxxxyeee21sin2xy arctgxye1ln1yarctgx23lnln (ln)yx1sin0 xyx0 x 0 x 0 x 21xxyee 21arcsinxxxyeee2

14、222 1xxxeee21xxee21sin2xy 21sin2ln2x21sin212ln2sin2xxx 21sin2xy ln221(sin)x112sin(sin)xx21sin1112ln2 2sincos( )( )xxxx21sin21112ln2 2sincos( )()xxxxarctgxye1112arctgxyexx 2(1)arctgxexx2211111(1)1 ()11yxarctgxx 1ln1yarctgx322331112ln(ln)3lnln (ln)lnyxxxxx 36ln ln(ln)xxx23lnln (ln)yx23231ln (ln)ln (ln)yxx33233112lnln(ln)ln (ln)lnyxx