2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.7 圓錐曲線的綜合問題教案

1、8.7 圓錐曲線的綜合問題知識梳理解析幾何是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，它本身側(cè)重于形象思維、推理運算和數(shù)形結(jié)合，綜合了代數(shù)、三角、幾何、向量等知識.反映在解題上，就是根據(jù)曲線的幾何特征準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式，根據(jù)方程畫出圖形，研究幾何性質(zhì).學(xué)習(xí)時應(yīng)熟練掌握函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、參數(shù)的思想、分類與轉(zhuǎn)化的思想等，以達(dá)到優(yōu)化解題的目的.具體來說，有以下三方面：（1）確定曲線方程，實質(zhì)是求某幾何量的值；含參數(shù)系數(shù)的曲線方程或變化運動中的圓錐曲線的主要問題是定值、最值、最值范圍問題，這些問題的求解都離不開函數(shù)、方程、不等式的解題思想方法.有時題設(shè)設(shè)計的非常隱蔽，這就要求認(rèn)真審題，挖掘題目的

2、隱含條件作為解題突破口.（2）解析幾何也可以與數(shù)學(xué)其他知識相聯(lián)系，這種綜合一般比較直觀，在解題時保持思維的靈活性和多面性，能夠順利進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即從一知識轉(zhuǎn)化為另一知識.（3）解析幾何與其他學(xué)科或?qū)嶋H問題的綜合，主要體現(xiàn)在用解析幾何知識去解有關(guān)知識，具體地說就是通過建立坐標(biāo)系，建立所研究曲線的方程，并通過方程求解來回答實際問題.在這一類問題中“實際量”與“數(shù)學(xué)量”的轉(zhuǎn)化是易出錯的地方，這是因為在坐標(biāo)系中的量是“數(shù)量”，不僅有大小還有符號.點擊雙基1.（2005年春季北京，5）設(shè)abc0，“ac>0”是“曲線ax2+by2=c為橢圓”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D

3、.既不充分又不必要條件解析：ac>0曲線ax2+by2=c為橢圓.反之成立.答案：B2.到兩定點A（0，0），B（3，4）距離之和為5的點的軌跡是A.橢圓 B.AB所在直線C.線段AB D.無軌跡解析：數(shù)形結(jié)合易知動點的軌跡是線段AB：y=x，其中0x3.答案：C3.若點（x，y）在橢圓4x2+y2=4上，則的最小值為A.1 B.1C. D.以上都不對解析：的幾何意義是橢圓上的點與定點（2，0）連線的斜率.顯然直線與橢圓相切時取得最值，設(shè)直線y=k（x2）代入橢圓方程（4+k2）x24k2x+4k24=0.令=0，k=±.kmin=.答案：C4.（2005年春季上海，7）雙曲線

4、9x216y2=1的焦距是_.解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得=1.a2=，b2=，c2=a2+b2=+=.c=，2c=.答案：5.（2004年春季北京）若直線mx+ny3=0與圓x2+y2=3沒有公共點，則m、n滿足的關(guān)系式為_；以（m，n）為點P的坐標(biāo)，過點P的一條直線與橢圓+=1的公共點有_個.解析：將直線mx+ny3=0變形代入圓方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y26ny+93m2=0.令<0得m2+n2<3.又m、n不同時為零，0<m2+n2<3.由0<m2+n2<3，可知|n|<，|m|<，再由橢圓方程a=，b=可知公共點

5、有2個.答案：0<m2+n2<3 2典例剖析【例1】 （2005年春季北京，18）如圖，O為坐標(biāo)原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b0），且交拋物線y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點.（1）寫出直線l的截距式方程；（2）證明：+=；（3）當(dāng)a=2p時，求MON的大小.剖析：易知直線l的方程為+=1，欲證+=，即求的值，為此只需求直線l與拋物線y2=2px交點的縱坐標(biāo).由根與系數(shù)的關(guān)系易得y1+y2、y1y2的值，進(jìn)而證得+=.由·=0易得MON=90°.亦可由kOM·kON=1求得MON=90

6、°.（1）解：直線l的截距式方程為+=1. （2）證明：由及y2=2px消去x可得by2+2pay2pab=0. 點M、N的縱坐標(biāo)y1、y2為的兩個根，故y1+y2=，y1y2=2pa.所以+=.（3）解：設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k1、k2，則k1=，k2=.當(dāng)a=2p時，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=4p2，因此k1k2=1.所以O(shè)MON，即MON=90°.評述：本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.【例2】 （2005年黃岡高三

7、調(diào)研考題）已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使ll1，又l與l2交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B.（如下圖）（1）當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；（2）當(dāng)=時，求的最大值.剖析：（1）求橢圓方程即求a、b的值，由l1與l2的夾角為60°易得=，由雙曲線的距離為4易得a2+b2=4，進(jìn)而可求得a、b.（2）由=，欲求的最大值，需求A、P的坐標(biāo)，而P是l與l1的交點，故需求l的方程.將l與l2的方程聯(lián)立可求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點A的坐標(biāo).將A的坐

8、標(biāo)代入橢圓方程可求得的最大值.解：（1）雙曲線的漸近線為y=±x，兩漸近線夾角為60°，又<1，POx=30°，即=tan30°=.a=b.又a2+b2=4，a2=3，b2=1.故橢圓C的方程為+y2=1.（2）由已知l：y=（xc），與y=x解得P（，），由=得A（，）.將A點坐標(biāo)代入橢圓方程得（c2+a2）2+2a4=（1+）2a2c2.（e2+）2+2=e2（1+）2.2=（2e2）+332.的最大值為1.評述：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識，及向量、定比分點公式、重要不等式的應(yīng)用.解決本題的難點是通過恒等變形，利用重要不等式解決問題的思想

9、.本題是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的一道好題.【例3】 設(shè)橢圓中心是坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率e=，已知點P（0，）到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離是，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標(biāo).剖析：設(shè)橢圓方程為+=1，由e=知橢圓方程可化為x2+4y2=4b2，然后將距離轉(zhuǎn)化為y的二次函數(shù)，二次函數(shù)中含有一個參數(shù)b，在判定距離有最大值的過程中，要討論y=是否在y的取值范圍內(nèi)，最后求出橢圓方程和P點坐標(biāo).解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是+=1，其中ab0待定.由e2=1（）2可知=，即a=2b.設(shè)橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，則d2=x2+（y）2=a2（1）+y23y

10、+= 4b23y23y+=3（y+）2+4b2+3，其中byb.如果b，則當(dāng)y=b時d2（從而d）有最大值，由題設(shè)得（）2=（b+）2，由此得b=，與b矛盾.因此必有b成立，于是當(dāng)y=時d2（從而d）有最大值，由題設(shè)得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2.故所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是+y2=1.由y=及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點（，），點（，）到點P的距離都是.解法二：根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)橢圓的參數(shù)方程是其中ab0待定，02，x=acos，y=bsin，e=，a=2b.設(shè)橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，則d2=x2+（y）2=a2cos2+（bsin）2=3b2·（sin+

11、）2+4b2+3.如果1，即b，則當(dāng)sin=1時，d2（從而d）有最大值，由題設(shè)得（）2=（b+） 2，由此得b=，與b矛盾.因此必有1成立，于是當(dāng)sin=時，d2（從而d）有最大值，由題設(shè)得（）2=4b2+3.由此得b=1，a=2.所以橢圓參數(shù)方程為 x=2cos，y=sin.消去參數(shù)得+y2=1，由sin=，cos=±知橢圓上的點（，），（，）到P點的距離都是.評述：本題體現(xiàn)了解析幾何與函數(shù)、三角知識的橫向聯(lián)系，解答中要注意討論.深化拓展 根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，以P為圓心，以為半徑作圓，圓與橢圓相切時，切點與P的距離為，此時的橢圓和切點即為所求.讀者不妨一試.提示：由 x2+（y）

12、2=7，x2+4y2=4b2，得3y2+3y=4b27，由=0得b2=1，即橢圓方程為x2+4y2=4.所求點為（，）、（，）.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.（2005年北京東城區(qū)目標(biāo)檢測）以正方形ABCD的相對頂點A、C為焦點的橢圓，恰好過正方形四邊的中點，則該橢圓的離心率為A. B.C. D.解析：建立坐標(biāo)系，設(shè)出橢圓方程，由條件求出橢圓方程，可得e=.答案：D2.已知F1（3，0）、F2（3，0）是橢圓+1的兩個焦點，P是橢圓上的點，當(dāng)F1PF2時，F(xiàn)1PF2的面積最大，則有A.m=12，n=3 B.m=24，n=6C.m=6，n= D.m=12，n=6解析：由條件求出橢圓方程即得m=12，n=3

13、.答案：A3.（2005年啟東市第二次調(diào)研）設(shè)P1（，）、P2（，），M是雙曲線y=上位于第一象限的點，對于命題|MP2|MP1|=2；以線段MP1為直徑的圓與圓x2+y2=2相切；存在常數(shù)b，使得M到直線y=x+b的距離等于|MP1|.其中所有正確命題的序號是_.解析：由雙曲線定義可知正確，畫圖由題意可知正確，由距離公式及|MP1|可知正確.答案：4.（2004年全國，15）設(shè)中心在原點的橢圓與雙曲線2x22y2=1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是_.解析：雙曲線中，a=b，F(xiàn)（±1，0），e=.橢圓的焦點為（±1，0），離心率為.長半軸長為，短半軸

14、長為1.方程為+y2=1.答案：+y2=15.（1）試討論方程（1k）x2+（3k2）y2=4（kR）所表示的曲線；（2）試給出方程+=1表示雙曲線的充要條件.解：（1）3k2>1k>0k（1，1），方程所表示的曲線是焦點在x軸上的橢圓； 1k>3k2>0k（，1），方程所表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓；1k=3k2>0k=1，表示的是一個圓；（1k）（3k2）<0k（，）（1，），表示的是雙曲線；k=1，k=，表示的是兩條平行直線；k=，表示的圖形不存在.（2）由（k2+k6）（6k2k1）<0（k+3）（k2）（3k+1）（2k1）<0k（3

15、，）（，2）.6.（2003年湖北八市模擬題）已知拋物線y2=2px上有一內(nèi)接正AOB，O為坐標(biāo)原點.（1）求證：點A、B關(guān)于x軸對稱；（2）求AOB外接圓的方程.（1）證明：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），|OA|=|OB|，x12+y12=x22+y22.又y12=2px1，y22=2px2，x22x12+2p（x2x1）=0，即（x2x1）（x1+x2+2p）=0.又x1、x2與p同號，x1+x2+2p0.x2x1=0，即x1=x2.由拋物線對稱性，知點A、B關(guān)于x軸對稱.（2）解：由（1）知AOx=30°，則y2=2px， x=6p，y=x y=2p.A（6p，2p）.

16、方法一：待定系數(shù)法，AOB外接圓過原點O，且圓心在x軸上，可設(shè)其方程為x2+y2+dx=0.將點A（6p，2p）代入，得d=8p.故AOB外接圓方程為x2+y28px=0.方法二：直接求圓心、半徑，設(shè)半徑為r，則圓心（r，0）.培養(yǎng)能力7.（理）（2004年北京，17）如下圖，過拋物線y2=2px（p0）上一定點P（x0，y0） （y00），作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）.（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點到其焦點F的距離；（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).解：（1）當(dāng)y=時，x=.又拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=，

17、由拋物線定義得所求距離為（）=.（2）設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB.由y12=2px1，y02=2px0，相減得（y1y0）（y1+y0）=2p（x1x0），故kPA=（x1x0）.同理可得kPB=（x2x0）.由PA、PB傾斜角互補知kPA=kPB，即=，所以y1+y2=2y0，故=2.設(shè)直線AB的斜率為kAB.由y22=2px2，y12=2px1，相減得（y2y1）（y2+y1）=2p（x2x1），所以kAB=（x1x2）.將y1+y2=2y0（y00）代入得kAB=，所以kAB是非零常數(shù).（文）如下圖，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，點P（1，2）、A（x1，

18、y1）、B（x2，y2）均在拋物線上.（1）寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1+y2的值及直線AB的斜率.解：（1）由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y2=2px.點P（1，2）在拋物線上，22=2p·1，得p=2.故所求拋物線的方程是y2=4x，準(zhǔn)線方程是x=1.（2）設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB.則kPA=（x11），kPB=（x21）.PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，kPA=kPB.由A（x1，y1）、B（x2，y2）在拋物線上，得y12=4x1， y22=4x2， =.y1+2=（y2+2）.y1+y2=4.由

19、得直線AB的斜率kAB=1（x1x2）.8.（2003年北京東城區(qū)模擬題）從橢圓+=1（ab0）上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，且它的長軸右端點A與短軸上端點B的連線ABOM.（1）求橢圓的離心率；（2）若Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)2是右焦點，求F1QF2的取值范圍；（3）過F1作AB的平行線交橢圓于C、D兩點，若|CD|=3，求橢圓的方程.解：（1）由已知可設(shè)M（c，y），則有+=1.M在第二象限，M（c，）.又由ABOM，可知kAB=kOM.=.b=c.a=b.e=.（2）設(shè)|F1Q|=m，|F2Q|=n，則m+n=2a，mn0.|F1F2|=2c，a2=2c2，cosF1QF

20、2=1=11=1=0.當(dāng)且僅當(dāng)m=n=a時，等號成立.故F1QF20，.（3）CDAB，kCD=.設(shè)直線CD的方程為y=（x+c），即y=（x+b）.消去y，整理得則 +=1，y=（x+b）. （a2+2b2）x2+2a2bxa2b2=0.設(shè)C（x1，y1）、D（x2，y2），a2=2b2，x1+x2=b，x1·x2=.|CD|=|x1x2|=·=·=3.b2=2，則a2=4.橢圓的方程為+=1.探究創(chuàng)新9.（2005年春季上海，22）（1）求右焦點坐標(biāo)是（2，0），且經(jīng)過點（2，）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知橢圓C的方程是+=1（a>b>0）.設(shè)斜率

21、為k的直線l交橢圓C于A、B兩點，AB的中點為M.證明：當(dāng)直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上.（3）利用（2）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.（1）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1，a>b>0，a2=b2+4，即橢圓的方程為+=1.點（2，）在橢圓上，+=1.解得b2=4或b2=2（舍）.由此得a2=8，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.（2）證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+m，與橢圓C的交點A（x1，y1）、B（x2，y2）， y=kx+m，則有+=1. 解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2a2b2=

22、0.>0，m2<b2+a2k2，即<m<.則x1+x2=，y1+y2=kx1+m+kx2+m=，AB中點M的坐標(biāo)為（，）.線段AB的中點M在過原點的直線b2x+a2ky=0上.（3）解：如下圖，作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D，并分別取AB、CD的中點M、N，連結(jié)直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于A1、B1和C1、D1，并分別取A1B1、C1D1的中點M1、N1，連結(jié)直線M1N1，那么直線MN和M1N1的交點O即為橢圓中心.思悟小結(jié)在知識的交匯點處命題，是高考命題的趨勢，而解析幾何與函數(shù)、三角、數(shù)列、向量等知識的密切聯(lián)系，正是高考命題的

23、熱點，為此在學(xué)習(xí)時應(yīng)抓住以下幾點：1.客觀題求解時應(yīng)注意畫圖，抓住涉及到的一些元素的幾何意義，用數(shù)形結(jié)合法去分析解決.2.四點重視：重視定義在解題中的作用；重視平面幾何知識在解題中的簡化功能；重視根與系數(shù)關(guān)系在解題中的作用；重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征的統(tǒng)一.3.注意用好以下數(shù)學(xué)思想、方法：方程思想；函數(shù)思想；對稱思想；參數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分類思想.除上述幾種常用數(shù)學(xué)思想外，整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、主元分析思想、正難則反思想、構(gòu)造思想等也是解析幾何解題中不可缺少的思想方法.在復(fù)習(xí)中必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)解題思想作為聯(lián)系知識與能力中的作用，從而提高簡化計算能力.教師下載中心教學(xué)點

24、睛本節(jié)是圓錐曲線的綜合應(yīng)用，主要是曲線方程的運用、變量范圍的計算、最值的確定等，解決這類問題的關(guān)鍵是依據(jù)解析幾何本身的特點，尋找一個突破口，那么如何找到解決問題的突破口呢？（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系.（2）建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思.（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式.因此，它們的應(yīng)用價值在于：通過參數(shù)簡明地表示曲線上點的坐標(biāo)；利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題. （5）構(gòu)造一個二次方程，利用判別式0.拓展題例【例1】 （2005年啟東市第二次調(diào)研題）拋物線y2=4px（p>0）的準(zhǔn)線與x軸交于M點，過點M作直線l交拋物線于A、B兩點.（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x0，0），求證：x0>3p；（2）若直