例析中考中探索性問(wèn)題

1、例析中考中探索性問(wèn)題索性試題是近幾年來(lái)中考比較常見(jiàn)的開(kāi)放型試題，也是中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的一種新題型。今后的中考數(shù)學(xué)試題中必將繼續(xù)出現(xiàn)這種題型，而且在質(zhì)量上也會(huì)上一個(gè)新臺(tái)階。一. 常見(jiàn)的問(wèn)題的類(lèi)型： 1. 條件探索型結(jié)論明確，而需探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件的題目。 2. 結(jié)論探索型給定條件，但無(wú)明確結(jié)論或結(jié)論不惟一。 3. 存在探索型在一定條件下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在。 4. 規(guī)律探索型發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性與不變性的題目。二. 常用的解題切入點(diǎn)： 1. 利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置）進(jìn)行歸納、概括，從而得出規(guī)律。2. 反演推理法(反證法)，即假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假

2、設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致 3分類(lèi)討論法當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不惟一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門(mén)別類(lèi)加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果4、類(lèi)比猜想法即由一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法類(lèi)比猜想出另一個(gè)類(lèi)似問(wèn)題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證以上并不能全面概括此類(lèi)命題的解題策略，因而具體操作時(shí)，應(yīng)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用ABDEFGHC三、探索性問(wèn)題歸納有四種題型:1、探索題設(shè)下的圖形或數(shù)量之間的關(guān)系;2、探索解決問(wèn)題的方法;3、探索圖形具備某性質(zhì)或關(guān)系的條件或結(jié)論;4、探索改變題設(shè)條件后結(jié)論是否變化.四、知識(shí)運(yùn)用舉例（一）條件探

3、索型例1（呼和浩特市中考）在四邊形中，順次連接四邊中點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)新的四邊形，請(qǐng)你對(duì)四邊形填加一個(gè)條件，使四邊形成為一個(gè)菱形這個(gè)條件是_解：或四邊形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）。例2（荊門(mén)市中考）將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起，設(shè)較短直角邊為1圖1圖3圖4圖2（1）四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說(shuō)出你的結(jié)論和理由：_（2）如圖2，將RtBCD沿射線BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說(shuō)出你的結(jié)論和理由：_（3）在RtBCD沿射線BD方向平移的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為_(kāi)時(shí)，四邊形ABC1D1為矩形，其理由是_；當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距

4、離為_(kāi)時(shí)，四邊形ABC1D1為菱形，其理由是_(圖3、圖4用于探究)解：（1）是，此時(shí)ADBC，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（2）是，在平移過(guò)程中，始終保持ABC1D1，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（3），此時(shí)ABC190°，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B1重合，AC1BD1，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（二）結(jié)論探索型例1 （北京市中考）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形類(lèi)似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形（1）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在中，點(diǎn)分別在上，設(shè)相交于

5、點(diǎn)，若，請(qǐng)你寫(xiě)出圖中一個(gè)與相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形；圖1（3）在中，如果是不等于的銳角，點(diǎn)分別在上，且探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論解：（1）回答正確的給1分（如平行四邊形、等腰梯形等）（2）答：與相等的角是（或）四邊形是等對(duì)邊四邊形（3）答：此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形證法一：如圖1，作于點(diǎn)，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，為公共邊， ， 可證 所以四邊形是等邊四邊形證法二：如圖2，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)圖2，為公共邊， ， ， 四邊形是等邊四邊形說(shuō)明：在結(jié)論探索題中，常見(jiàn)的一類(lèi)就是探索存在性的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是探求命題的結(jié)論是否存在。一般的求解方法是

6、：假設(shè)結(jié)論存在，如果求出的結(jié)論符合已知條件則結(jié)論存在；如果求出結(jié)論不符合已知條件或與定理、公理等相矛盾，則結(jié)論不存在。探求存在型試題可以考查學(xué)生的判斷能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。（三）存在探索型 存在性探索問(wèn)題是指在某種題設(shè)條件下，判斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在的一類(lèi)問(wèn)題.解題的策略與方法是：先假設(shè)數(shù)學(xué)對(duì)象存在，以此為條件進(jìn)行運(yùn)算或推理.若無(wú)矛盾，說(shuō)明假設(shè)正確，由此得出符合條件的數(shù)學(xué)對(duì)象存在；否則，說(shuō)明不存在例1 (內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市中考題)如圖1，把矩形ABCD折疊使點(diǎn)C落在AB上的C¢處(不與A、B重合)，點(diǎn)D落在D¢處，此時(shí)，C¢D¢交

7、AD于E，折痕為MN. 如果AB=1，BC=，當(dāng)點(diǎn)C¢在什么位置時(shí)，可使NBC¢C¢AE？圖1 如果AB=BC=1，使NBC¢C¢AE的C¢還存在嗎？若存在，請(qǐng)求出C¢的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析與解答 當(dāng)C¢在距A點(diǎn)的時(shí)，可使NBC¢C¢AE.當(dāng)矩形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形時(shí)，假設(shè)存在這樣的C¢，使NBC¢C¢AE，設(shè)AC¢=x，則有ÞBC¢=NC¢，這與B=90°矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，故這樣的C¢不存

8、在.例2 (湖北省武漢市中考題)已知：二次函數(shù)y=x2 -(m+1)x+m的圖象交x軸于A(x1，0)、B(x2，0)兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，且x12 +x22 =10.求此二次函數(shù)的解析式；是否存在過(guò)點(diǎn)D(0，-)的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N，與x軸交于點(diǎn)E，使得點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析與解答 依題意，得x1x2=m，x12 +x22 =10，x1 +x2 = m +1，(x1 +x2)2 -2x1x2 =10，(m+1)2 -2m=10，m=3或m= -3，又點(diǎn)C在y軸的正半軸上，m=3.所求拋物線的解析式為y=x2 -4x+3.假設(shè)存

9、在過(guò)點(diǎn)D(0，-)的直線與拋物線交于M(xM，yM)、N(xN，yN)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E，使得M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱.M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，yM +yN=0. 設(shè)直線MN的解析式為：y=kx-.由得x2 -(k+4)x+=0，xM +xN =4+k，yM +yN =k(xM +xN)-5=0. k(k+4)-5=0，k=1或k = -5. 當(dāng)k=-5時(shí)，方程x2 -(k+4)x+=0的判別式<0，k=1，直線MN的解析式為y=x-. 存在過(guò)點(diǎn)D(0，-)的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E，使得M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱.例3（樂(lè)山市中考）如圖（13），在矩形中，直角尺的直角頂點(diǎn)

10、在上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與不重合），一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，另一直角邊交于點(diǎn)我們知道，結(jié)論“”成立（1） 當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；PAEBCD圖（13）（2） 是否存在這樣的點(diǎn)，使的周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)的倍？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解（1）在中，由，得，由知，（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)，則由知，解得，此時(shí)，符合題意例4 （臨沂市中考）如圖261，已知拋物線的頂點(diǎn)為A(O，1)，矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，D、E在軸上，CF交y軸于點(diǎn)B(0，2)，且其面積為8(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖262，若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn)，連結(jié)PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P、Q分別作軸的垂線，垂足分別為S、R

11、求證：PBPS；判斷SBR的形狀；試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：方法一：B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，OB2，矩形CDEF面積為8，CF=4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2，2)F點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)。設(shè)拋物線的解析式為其過(guò)三點(diǎn)A(0，1)，C(-22)，F(xiàn)(2，2)。得 解得 此拋物線的解析式為 方法二：B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，OB2，矩形CDEF面積為8， CF=4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2，2)。 根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為。其過(guò)點(diǎn)A(0，1)和C(-22) 解得此拋物線解析式為(2)解：過(guò)點(diǎn)B作BN，

12、垂足為NP點(diǎn)在拋物線y=+l上可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為PS，OBNS2，BN。PN=PSNS= 在RtPNB中PB2PBPS 根據(jù)同理可知BQQR。，又 ，同理SBPB . SBR為直角三角形 方法一：設(shè)，由知PSPBb，。假設(shè)存在點(diǎn)M且MS，別MR 。若使PSMMRQ，則有。即。 SR2M為SR的中點(diǎn). 若使PSMQRM，則有。M點(diǎn)即為原點(diǎn)O。綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)PSMMRQ；當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，PSMMRQ 方法二：若以P、S、M為頂點(diǎn)的三角形與以Q、M、R為頂點(diǎn)三角形相似，有PSMMRQ和PSMQRM兩種情況。 當(dāng)PSMMRQ時(shí)SPMRMQ，SMPRQM 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)知PMS+

13、QMR90°。 取PQ中點(diǎn)為N連結(jié)MN則MNPQ= MN為直角梯形SRQP的中位線,點(diǎn)M為SR的中點(diǎn) 當(dāng)PSMQRM時(shí)，。又，即M點(diǎn)與O點(diǎn)重合。點(diǎn)M為原點(diǎn)O。綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)，PSMMRQ；當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，PSMQRM。 點(diǎn)撥：通過(guò)對(duì)圖形的觀察可以看出C、F是一對(duì)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以（1）的關(guān)鍵是求出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以應(yīng)用三點(diǎn)式或 y=ax2+c型即可而對(duì)于點(diǎn) P既然在拋物線上，所以就可以得到它的坐標(biāo)為（a，a2+1）這樣再過(guò)點(diǎn)B作BNPS得出的幾何圖形求出PB 、PS的大小最后一問(wèn)的關(guān)鍵是要找出PSM與MRQ相似的條件（四）規(guī)律探索型規(guī)律探索問(wèn)題是根據(jù)已知條件或

14、所提供的若干個(gè)特例，通過(guò)觀察、類(lèi)比、歸納，提示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律與特征的一類(lèi)探索性問(wèn)題例1（資陽(yáng)市中考）設(shè)a13212，a25232，an(2n1)2(2n1)2 (n為大于0的自然數(shù))（1） 探究an是否為8的倍數(shù)，并用文字語(yǔ)言表述你所獲得的結(jié)論；（2） 若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”. 試找出a1，a2，an，這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并指出當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，an為完全平方數(shù)(不必說(shuō)明理由) 解：（1） an(2n1)2(2n1)2，又 n為非零的自然數(shù)， an是8的倍數(shù)這個(gè)結(jié)論用文字語(yǔ)言表述為：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù) 說(shuō)明：

15、第一步用完全平方公式展開(kāi)各1分，正確化簡(jiǎn)1分（2） 這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)為16，64，144，256n為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)，an為完全平方數(shù) (五)其它五、探索最值問(wèn)題 例 如圖，ABC中，BC=4，AC=2，ACB=60°，P為BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD/AB，交AC于D。連結(jié)AP，問(wèn)點(diǎn)P在BC上何處時(shí)，APD的面積最大？ 分析：從題目條件看本題是一個(gè)幾何問(wèn)題，而從所求結(jié)論看，是求最大值的代數(shù)問(wèn)題，因此把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)問(wèn)題是指導(dǎo)我們思路的靈魂。為了實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，就要把靜止轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)，把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，得出函數(shù)的解析式，使問(wèn)題得以解決。 如設(shè)BP=x，則點(diǎn)P在BC邊上的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為x的取值變化，并且圖形中APD的存在條件制約了x的取值，所以0<x<4，這些都體現(xiàn)了位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化。ABC的面積是常量，ABP，APD，PDC的面積都是變量，ABP面積雖然是變量，但BP邊上的高是常量，PCD面積是變量，但變化中PCD始終與BCA相似，這些