必修4-第二章---平面向量導(dǎo)學(xué)案(共51頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章 平面向量2.1 向量的概念及表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的概念；并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量；2.通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別；3.通過學(xué)生對(duì)向量與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力?！緦W(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：平行向量的概念和向量的幾何表示；難點(diǎn)：區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量；基礎(chǔ)梳理1.向量的定義：_;2.向量的表示：（1）圖形表示： （2）字母表示：3.向量的相關(guān)概念：（1）向量的長度

2、（向量的模）：_記作：_（2）零向量：_，記作：_（3）單位向量：_（4）平行向量：_（5）共線向量：_（6）相等向量與相反向量：_思考：（1）平面直角坐標(biāo)系中，起點(diǎn)是原點(diǎn)的單位向量，它們的終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？_（2）平行向量與共線向量的關(guān)系：_（3）向量“共線”與幾何中“共線”有何區(qū)別：_【典型例題】例1.判斷下例說法是否正確，若不正確請(qǐng)改正：（1）零向量是唯一沒有方向的向量； （2）平面內(nèi)的向量單位只有一個(gè)；（3）方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是相反向量；（4）向量和是共線向量，則和是方向相同的向量；（5）相等向量一定是共線向量；例2.已知是正六邊形的中心，在圖中標(biāo)出的向量中：

3、（1）試找出與共線的向量；（2）確定與相等的向量；（3）與相等嗎？例3.如圖所示的為的方格紙（每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形），試問：起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處且與向量相等的向量共有幾個(gè)？與向量平行且模為的向量共有幾個(gè)？與向量的方向相同且模為的向量共有多少個(gè)？課后鞏固訓(xùn)練1.判斷下列說法是否正確，若不正確請(qǐng)改正：（1）向量和是共線向量，則四點(diǎn)必在一直線上；（2）單位向量都相等；（3）任意一向量與它的相反向量都不想等；（4）四邊形是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)；（5）共線向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；2.平面直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)構(gòu)成的圖形是_3.四邊形中，則四邊形的形狀是_4.設(shè)，則與方向相同的

4、單位向量是_5.若分別是四邊形的邊的中點(diǎn)。求證：6.已知飛機(jī)從甲地北偏東的方向飛行到達(dá)乙地，再從乙地按南偏東的方向飛行到達(dá)丙地，再從丙地按西南方向飛行到達(dá)丁地，問：丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多遠(yuǎn)？2.2.1 向量的加法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握向量加法的定義；2.會(huì)用向量加法的三角法則和向量的平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量；3.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：向量加法的三角法則、平行四邊形則和加法運(yùn)算律；難點(diǎn)：向量加法的三角法則、平行四邊形則和加法運(yùn)算律；基礎(chǔ)梳理1.向量的和、向量的加法：已知向量和，_則向量叫做與的和，記作：_叫做向量的加法注意：兩個(gè)

5、向量的和向量還是一個(gè)向量；2.向量加法的幾何作法：（1）三角形法則的步驟： 就是所做的（2）平行四邊形法則的步驟： 就是所做的注意：向量加法的平行四邊形法則，只適用于對(duì)兩個(gè)不共線的向量相加，而向量加法的三角形法則對(duì)于任何兩個(gè)向量都適用。3.向量加法的運(yùn)算律：（1）向量加法的交換律：_（2）向量加法的結(jié)合律：_思考：如果平面內(nèi)有個(gè)向量依次首尾相接組成一條封閉折線，那么這條向量的和是什么？_【典型例題】例1.如圖，已知為正六邊形的中心，作出下列向量：（1） （2） （3）例2.化簡下列各式（1） （2）（3） （4）例3.在長江南岸某處，江水以的速度向東流，渡船的速度為，渡船要垂直地渡過長江，其航

6、向應(yīng)如何確定？課后鞏固訓(xùn)練1.已知，求作：（1）（2）2.已知是平行四邊形的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有_（1） （2）（3） （4）3.設(shè)點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，若，則點(diǎn)為的_心；4.對(duì)于任意的，不等式成立嗎？請(qǐng)說明理由。2.2.2 向量的減法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解向量減法的概念；2.會(huì)做兩個(gè)向量的差；3.會(huì)進(jìn)行向量加、減得混合運(yùn)算4.培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力和認(rèn)識(shí)問題的能力【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：三角形法則難點(diǎn)：三角形法則，向量加、減混合運(yùn)算基礎(chǔ)梳理1.向量的減法：與的差：若_，則向量叫做與的差，記為_向量與的減法：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法；注意：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算。2.向量的減法的作圖方法：作法

7、：_ _ _則3.減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量 4.關(guān)于向量減法需要注意一下幾點(diǎn)：在用三角形法則做向量減法時(shí)，只要記住連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量即可.以向量為鄰邊作平行四邊形，則兩條對(duì)角線的向量為，這一結(jié)論在以后應(yīng)用還是非常廣泛，應(yīng)加強(qiáng)理解；對(duì)于任意一點(diǎn)，簡記“終減起”，在解題中經(jīng)常用到，必須記住.【典型例題】例1.已知向量，求作向量：；思考：如果，怎么做出？例2.已知是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，若試證明：思考？1.（1）（2）2.任意一個(gè)非零向量都可以表示為兩個(gè)不共線的向量和？例3.化簡下列各式（1）（2）（3）課后鞏固訓(xùn)練1.在中，下列等式成立的有_（1）（2）（3）（4

8、）2.已知四邊形的對(duì)角線與相交與點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形。3.如圖，是一個(gè)梯形，分別是的中點(diǎn)，已知試用表示和2.2.3 向量的數(shù)乘（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握向量數(shù)乘的定義，會(huì)確定向量數(shù)乘后的方向和模；2.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，并會(huì)用它進(jìn)行計(jì)算；3.通過本課的學(xué)習(xí)，滲透類比思想和化歸思想【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：向量的數(shù)乘及運(yùn)算律；難點(diǎn)：向量的數(shù)乘及運(yùn)算律；基礎(chǔ)梳理1.向量的數(shù)乘的定義：一般地，實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：_；它的長度和方向規(guī)定如下：（1）（2）當(dāng)時(shí)，_；當(dāng)時(shí)，_； 當(dāng)時(shí)，_； _叫做向量的數(shù)乘2.向量的線性運(yùn)算定義：_統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算；3.向量的數(shù)乘的作圖：已知作當(dāng)時(shí)

9、，把按原來的方向變?yōu)樵瓉淼谋叮划?dāng)時(shí)，把按原來的相反方向變?yōu)樵瓉淼谋叮?.向量的數(shù)乘滿足的運(yùn)算律：設(shè)為任意實(shí)數(shù)，為任意向量，則（1）結(jié)合律_（2）分配律_注意：（1）向量本身具有“形”和“數(shù)”的雙重特點(diǎn)，而在實(shí)數(shù)與向量的積得運(yùn)算過程中，既要考慮模的大小，又要考慮方向，因此它是數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用，這一點(diǎn)提示我們研究向量不能脫離它的幾何意義；（2）向量的數(shù)乘及運(yùn)算性質(zhì)可類比整式的乘法來理解和記憶。【典型例題】例1.已知向量，求作：（1）向量 （2）例2.計(jì)算（1）（2）（3）注意：（1）向量的數(shù)乘與實(shí)數(shù)的數(shù)乘的區(qū)別：相同點(diǎn)：這兩種運(yùn)算都滿足結(jié)合律和分配律。不同點(diǎn)：實(shí)數(shù)的數(shù)乘的結(jié)果（積）是一個(gè)實(shí)數(shù)，而

10、向量的數(shù)乘的結(jié)果是一個(gè)向量。（2）向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，運(yùn)算法則與多項(xiàng)式運(yùn)算類似。例3.已知是不共線的向量，試用表示例4.已知：中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，相交于點(diǎn)，求證：（1）（2）（3）課后鞏固訓(xùn)練1.計(jì)算：（1）（2）2.已知向量且求3.在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，用來表示4.如圖，在中，為邊的中線，為的重心，求向量2.2.3 向量的數(shù)乘（2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握向量的共線定理；2.能運(yùn)用向量共線定理證明簡單的幾何問題；3.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：向量的共線定理；難點(diǎn)：向量的共線定理；基礎(chǔ)梳理1.向量的線性表示： 若果，則稱向量可以用非零向量線性表示；2.向量

11、共線定理：思考：向量共線定理中有這個(gè)限制條件，若無此條件，會(huì)有什么結(jié)果？【典型例題】例1.如圖，分別是的邊的中點(diǎn)，（1）將用線性表示；（2）求證：與共線；例2.設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，已知，若三點(diǎn)共線，求的值。變式：設(shè)是兩個(gè)不共線的向量,已知,求證：三點(diǎn)共線。例3.如圖，中，為直線上一點(diǎn)，,求證：思考：（1）當(dāng)時(shí)，你能得到什么結(jié)論？（2）上面所證的結(jié)論：表明：起點(diǎn)為，終點(diǎn)為直線上一點(diǎn)的向量可以用表示，那么兩個(gè)不共線的向量可以表示平面上任意一個(gè)向量嗎？課后鞏固訓(xùn)練1.已知向量求證：為共線向量；2.設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，若是共線向量，求的值。3.已知向量其中不共線，向量，是否存在實(shí)數(shù)，使得與共線4.

12、平面直角坐標(biāo)系中，已知若點(diǎn)滿足其中三點(diǎn)共線，求的值； 231 平面向量基本原理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 了解平面向量的基本定理及其意義；2 掌握三點(diǎn)（或三點(diǎn)以上）的共線的證明方法：3 提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。基礎(chǔ)梳理1、平面向量的基本定理如果，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使=+2.、基底：平面向量的基本定理中的不共線的向量, ，稱為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。思考：（1） 向量作為基底必須具備什么條件？（2） 一個(gè)平面的基底唯一嗎？答：（1）_ （2）_3、向量的分解、向量的正交分解：一個(gè)平面向量用一組基底 , 表示成=+的形式，我們稱它為向

13、量的分解，當(dāng), 互相垂直時(shí)，就稱為向量的正交分解。4、 點(diǎn)共線的證明方法：_ 【典型例題】例1：如圖：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于一點(diǎn)M ， = , =試用 ,，表示 , , 和 。 D C M A B 例2： 設(shè) ， 是平面的一組基底，如果 =3 2 ， =4 + ，=8 9，求證：A、B、D三點(diǎn)共線。例3： 如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn) M在 AB的延長線上，且 BM=AB，點(diǎn)N 在 BC上，且BN=BC ，用向量法證明： M、N、D 三點(diǎn)共線。 D C N A B M課后鞏固訓(xùn)練1、若，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中不能作為一組基底的（ ）A、 2 和+2

14、 B 、與3C、2+3和 - 46 D、+與2、若，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下列結(jié)論成立的是（ ）A、若實(shí)數(shù)，使+=0，則=0B、空間任意向量都可以表示為=+，RC、+，R不一定表示平面內(nèi)一個(gè)向量D、對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，使=+的實(shí)數(shù)對(duì)，有無數(shù)對(duì)3、三角形ABC中，若 D，E，F(xiàn) 依次是 四等分點(diǎn)，則以 = ，= 為基底時(shí)，用 ，表示 B F E · D · A C4、若= -+3 , = 4 +2 , = - 3 +12, 寫出用+ 的形式表示232向量的坐標(biāo)表示(1)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 能正確的用坐標(biāo)來表示向量；2、 能區(qū)分向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的不同；3、

15、掌握平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算；4、 提高分析問題的能力。基礎(chǔ)梳理1、一般地，對(duì)于向量 ，當(dāng)它的起點(diǎn)移至_時(shí)，其終點(diǎn)的坐標(biāo)稱為向量 的（直角）坐標(biāo)，記作_。2、有向線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為，則向量 的坐標(biāo)為_。3、若= ， +=_。_?！镜湫屠}】例1：如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限， ，求向量 的坐標(biāo)。例2：已知A（-1，3），B（1，-3），C (4 ,1) , D (3 ,4), 求向量 的坐標(biāo)。例3：平面上三點(diǎn)A（-2,1），B（-1,3），C（3，4）,求D點(diǎn)坐標(biāo)，使A,B,C,D這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)。例4：已知P1（ ），P2（ ），P是直線P1P2上一點(diǎn)，且，求P的坐

16、標(biāo)。課后鞏固訓(xùn)練1、與向量 平行的單位向量為_2、若O（0,0）,B(-1,3) 且 =3，則 坐標(biāo)是：_3、已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限， =2 , 求向量 的坐標(biāo)。4、已知邊長為2的正三角形ABC，頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊在 x軸上，點(diǎn)C在第一象限，D為AC的中點(diǎn)，分別求 的坐標(biāo)。232 向量的坐標(biāo)表示（2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 進(jìn)一步掌握向量的坐標(biāo)表示；2、 理解向量平行坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過程；3、 提高運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示解決問題的能力?；A(chǔ)梳理1、 向量平行的線性表示是_2、向量平行的坐標(biāo)表示是：設(shè) ， ，如果 ，那么_，反之也成立。3、已知A ，B ，C ，O四點(diǎn)滿足條件： ，當(dāng) ，則能

17、得到_【典型例題】例1：已知（ ， , ,并且 ,求證：。例2：已知，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，向量與平行？并確定此時(shí)它們是同向還是反向。例3：已知點(diǎn)O , A , B , C , 的坐標(biāo)分別為（0，0），（3，4），（1，2），（1，1），是否存在常數(shù)，成立？解釋你所得結(jié)論的幾何意義。課后鞏固訓(xùn)練1. 已知且，求實(shí)數(shù)的值。2. 已知，平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A (2, 1)， B (1,3) ， C (3,4)， 求第四個(gè)頂點(diǎn)的D坐標(biāo)。3. 已知A (0, 2)，B (2, 2)，C (3, 4)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線。 4. 已知向量，求與向量同方向的單位向量。5. 若兩個(gè)向量方

18、向相同，求。241向量的數(shù)量積（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義2. 掌握數(shù)量積的運(yùn)算法則3. 了解平面向量數(shù)量積與投影的關(guān)系基礎(chǔ)梳理1. 已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則把數(shù)量_叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定：零向量與任何一向量的數(shù)量積為_2. 已知兩個(gè)非零向量與，作，則_叫做向量與的夾角。當(dāng)時(shí)，與_，當(dāng)時(shí)，與_；當(dāng)時(shí)，則稱與_。3. 對(duì)于，其中_叫做在方向上的投影。4. 平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 若與是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則：； ； ； 若與同向，則；若與反向，則；或 設(shè)是與的夾角，則。5. 數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：_數(shù)乘結(jié)合律：_分配

19、律：_注：、要區(qū)分兩向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)與數(shù)乘向量，實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)之積之間的差異。、數(shù)量積得運(yùn)算只適合交換律，加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法結(jié)合律。即 不一定等于 ，也不適合消去律 ?！镜湫屠}】例1： 已知向量 與向量 的夾角為 ， = 2 ， = 3 ，分別在下列條件下求：（1） = 135 ； （2） ； （3） 例2：已知 = 4 ， = 8 ，且與的夾角為120 。計(jì)算：（1） ；（2） 。例3：已知 = 4 ， = 6 ，與的夾角為60 ，求：（1）、 （2）、 （3）、 例4：已知向量 ， =1 ，對(duì)任意t R ,恒有 ，則（ ）A、 B、 （ C、 （ D、（課后鞏固訓(xùn)練1、

20、 已知 = 10 ， = 12 ，且 ，則與的夾角為_2、 已知 、 、 是三個(gè)非零向量，試判斷下列結(jié)論是否正確：（1）、若，則 （ ）（2）、若，則 （ ）（3）、若，則 （ ）3、已知，則_4、四邊形ABCD滿足A = D ,則四邊形ABCD是（ ）A、平行四邊形 B、矩形C、菱形 D、正方形5、正 邊長為a ，則_241向量的數(shù)量積（2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 能夠理解和熟練運(yùn)用模長公式，兩點(diǎn)距離公式及夾角公式；2、 理解并掌握兩個(gè)向量垂直的條件。基礎(chǔ)梳理1、若 則_2、向量的模長公式：設(shè)則= cos = _3、 兩點(diǎn)間距離公式設(shè)A（ B 則_4、 向量的夾角公式：設(shè)= （ ， ， 與的夾角為

21、 ，則有_5、 兩個(gè)向量垂直：設(shè)= （ ， _注意：對(duì)零向量只定義了平行，而不定義垂直?！镜湫屠}】例1：已知 = （2 ， ， ，求 。例2：在中，設(shè) 且為直角三角形，求的值 。例3：設(shè)向量，其中= （1，0），=（0，1）（1）、試計(jì)算及的值。（2）、求向量與的夾角大小。課后鞏固訓(xùn)練1、已知 ，求：2、已知向量，若與垂直，則實(shí)數(shù)=_3、已知若與平行，則_4、已知A、B、C是平面上的三個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為 .那么=_ ， _ ， 的形狀為_5、已知 ，且 與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍。必修4第二章平面向量教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)一.選擇題（5分×12=60分）:1以下說法錯(cuò)誤的是（ ）A零向

22、量與任一非零向量平行 B.零向量與單位向量的模不相等C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共線向量2下列四式不能化簡為的是（）ABCD3已知=（3，4），=（5，12），與 則夾角的余弦為（ ）A B C D4 已知a、b均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|a+ 3b| =（ ）ABC D45已知ABCDEF是正六邊形，且，則（ ）（A） （B） （C） （D） 6設(shè)，為不共線向量， +2,4,53,則下列關(guān)系式中正確的是 （ ）（A） （B）2 （C）（D）2 7設(shè)與是不共線的非零向量，且k與k共線，則k的值是（ ）（A） 1 （B） 1 （C） （D） 任意不為零的實(shí)數(shù)8在

23、四邊形ABCD中，且·0，則四邊形ABCD是（ ）（A） 矩形 （B） 菱形 （C） 直角梯形 （D） 等腰梯形9已知M（2，7）、N（10，2），點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且2，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）（A） （14，16）（B） （22，11）（C） （6，1） （D） （2，4）10已知（1，2），（2，3），且k+與k垂直，則k（ ）（A） （B） （C） （D） 11、若平面向量和互相平行，其中.則（ ） A. 或0； B. ； C. 2或； D. 或.12、下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二. 填空題(5分×5=25分

24、):13若點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為 14已知，則 15、已知向量，且，則的坐標(biāo)是_。16、ABC中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為_。17如果向量 與b的夾角為，那么我們稱 ×b為向量 與b的“向量積”， ×b是一個(gè)向量，它的長度| ×b|=| |b|sin，如果| |=4, |b|=3, ·b=-2，則| ×b|=_。三. 解答題（65分):17（10分）已知向量 = , 求向量b，使|b|=2| |，并且 與b的夾角為 。18、（14分)設(shè)平面三點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（2，5）（1）試求向量2的模； （2）試求向量與的夾角；（3）試求與垂直的單位向量的坐標(biāo)19 （12分）已知向量 = , 求向量b，使|b|=2| |，并且 與b的夾角為 。20