黑龍江省大慶市林甸縣第一中學(xué)2013年高考數(shù)學(xué) 專題 創(chuàng)新題日面紗復(fù)習(xí)

1、黑龍江省大慶市林甸縣第一中學(xué)2013年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：創(chuàng)新題日面紗一、考點(diǎn)透視近年來，隨著高考形勢的不斷變化，對(duì)考生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的要求逐漸提高，每年在高考試題中都相繼推出一些背景新穎、構(gòu)思精巧、情境別致，具有相當(dāng)深度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型，使高考數(shù)學(xué)題充滿活力和魅力，它要求考生“對(duì)新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題”，只要我們相信一個(gè)原則：千變?nèi)f變，方法不變創(chuàng)新題只是對(duì)以前的問題稍加“化妝”，以一個(gè)嶄新面目出現(xiàn)在我們面前，使我們乍看其脫俗超群，但只要我們努力揭開題目的

2、“面紗”，便可識(shí)別其“真面目”，仍可用舊知新解二、考點(diǎn)例析創(chuàng)新方向一：定義“新概念”或“新運(yùn)算”型新信息題成為高考試題改革的一個(gè)新的亮點(diǎn)，通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新的模型等創(chuàng)設(shè)一種全新的問題情境，主要考查學(xué)生獨(dú)立提取信息、加工信息的能力，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，緊扣條件，抓住關(guān)鍵的信息，實(shí)現(xiàn)信息的轉(zhuǎn)化，達(dá)到靈活解題的目的例1 為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息設(shè)定原信息為（），傳輸信息為，其中，運(yùn)算規(guī)則為：，例如原信息為111，則傳輸信息為01111傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤

3、的是 （ ）A11010B01100C10111D00011分析：按題中新定義的新運(yùn)算法則將給出數(shù)據(jù)信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化解：C選項(xiàng)原信息為011，則，所以應(yīng)該接收信息10110故選C評(píng)注：在給出新定義或新運(yùn)算問題中要摒棄原有的運(yùn)算法則，以避免造成運(yùn)算的紊亂面對(duì)這類問題只需按給定的法則進(jìn)行運(yùn)算即可，此類問題雖然給出的條件信息比較多，而其實(shí)質(zhì)卻很簡單，只需用簡單的數(shù)學(xué)知識(shí)即可解決趁熱打鐵：（2009北京）設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果且，那么是的一個(gè)“孤立元”，給定，由的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個(gè).解：符合題意的集合是：共6個(gè).故應(yīng)填6.創(chuàng)新方向二：類比型給出幾個(gè)在結(jié)構(gòu)上

4、類似的等式或不等式，通過應(yīng)用其相似性把信息從一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)移到另一個(gè)對(duì)象獲得對(duì)有關(guān)問題的結(jié)論或在其性質(zhì)上有相同或相似的一種推理形式，實(shí)現(xiàn)信息的轉(zhuǎn)化，達(dá)到求解的目的類比是創(chuàng)造性的“模仿”，聯(lián)想是“由此及彼”的思維跳躍，編制題目引導(dǎo)學(xué)生將所求的問題與熟知的信息相類比，進(jìn)行多方位的聯(lián)想，將式子結(jié)構(gòu)、運(yùn)算法則、解題方法，問題的結(jié)論等引申推廣或遷移，可由已知探索未知，由舊知探索新知，這既有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維，又有利于提高同學(xué)們舉一反三，觸類旁通的應(yīng)變例2 先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：已知R，求證，證明：構(gòu)造函數(shù)，.因?yàn)閷?duì)一切R，恒有，所以,從而得，（1）若R，請(qǐng)寫出上述結(jié)論的推廣式；（2

5、）參考上述解法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明分析：這是類比問題的推廣，所以只需依照條件中給出的結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及證明方法即可得到推廣結(jié)論及其證明（1）解：若R，求證：；評(píng)注：對(duì)于某些不等式證明題，我們?nèi)裟芨鶕?jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù)：，由，得，就可以使一些用一般方法處理較繁的問題，獲得簡捷、明快的證明構(gòu)造法解題的最大特點(diǎn)是調(diào)整思維視角，在更廣闊的背景下考察問題中所涉及的代數(shù)、幾何元素及其相互關(guān)系所以應(yīng)用構(gòu)造法解題的關(guān)鍵有：(1)要有明確的方向，即為何構(gòu)造；(2)要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便進(jìn)行邏輯組合趁熱打鐵：（浙江）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：

6、設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則， ， ，成等比數(shù)列解：對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，成等比數(shù)列應(yīng)填創(chuàng)新方向三：高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接型將高等數(shù)學(xué)問題下放，用初等方法來解決高等與初等數(shù)學(xué)的銜接問題，這是近年高考中的一個(gè)特點(diǎn)例3 定義如下運(yùn)算：其中N*）現(xiàn)有個(gè)正數(shù)的數(shù)表排成行列如下：（這里用表示位于第行第列的一個(gè)正數(shù)，N*），其中每橫行的數(shù)成等差數(shù)列，每豎列的數(shù)成等比數(shù)列，且各個(gè)等比數(shù)列的公比相同，若，求的表達(dá)式（用，表示）；分析：本題數(shù)列中的每一項(xiàng)都有兩個(gè)下標(biāo)，在中每橫行的數(shù)成等差數(shù)列，每豎列的數(shù)成等比數(shù)列，要明確這一信息與下標(biāo)間的關(guān)系，并利用這一信息源得出的表達(dá)式解：（1）每一

7、行的數(shù)成等差數(shù)列， ，成等差數(shù)列 ， ，又每一列的數(shù)成等比數(shù)列，故， ， ，且， ， 評(píng)注：新背景等比數(shù)列題型往往利用新定義或新概念將等比數(shù)列的知識(shí)點(diǎn)交匯于其中，該題型是高考命題的新動(dòng)向本題是等比數(shù)列與“行列式”相交匯的新背景題型，由于新型的定義式的出現(xiàn)，導(dǎo)致該題型又多了幾分神秘的色彩，為我們接受新型問題開闊了眼界趁熱打鐵：（四川）設(shè)是已知平面上所有向量的集合，對(duì)于映射，記的象為。若映射滿足：對(duì)所有及任意實(shí)數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：設(shè)是平面上的線性變換，則對(duì)設(shè)，則是平面上的線性變換；若是平面上的單位向量，對(duì)設(shè)，則是平面上的線性變換；設(shè)是平面上的線性變換，若共線，則也共線。其

8、中真命題是 （寫出所有真命題的序號(hào)）創(chuàng)新方向四：信息遷移型信息遷移題是指以考生已有的知識(shí)為基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上設(shè)置一個(gè)新的數(shù)學(xué)情境，或把已有的知識(shí)進(jìn)一步引申，設(shè)置一個(gè)簡單而又熟悉的物理情境或生活情境或定義新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，要求考生讀懂題目，并根據(jù)題目引入的新內(nèi)容解題例4如圖是集合中的點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)留下的陰影，中間形如“水滴”部分的平面面積為 （ ） A. B. C. D. 分析：圓的半徑為，圓心在半圓上，“水滴”共由圖中的三部分組成，其中，的面積都為半徑為、圓心角為的扇形面積減去一個(gè)直角三角形的面積，為半徑為的半圓的面積解：圖中的“水滴”面積共由三部分組成，即，其中，而，所以“水滴”部分的平面面積為

9、故選C評(píng)注：此題問題背景比較新穎、別致，問題設(shè)計(jì)耐人尋味，但用的知識(shí)卻很傳統(tǒng)，所以只要細(xì)心剖析題意，用所學(xué)知識(shí)便不難使問題獲解趁熱打鐵：規(guī)定密碼把英文的明文（真實(shí)文）按分母分解，其中英文的個(gè)字母（不論大小寫）依次對(duì)應(yīng)這個(gè)正整數(shù)，見表格：1234567891011121314151617181920212223242526并給你一個(gè)變換公式：將明文轉(zhuǎn)換成密文，若，則變?yōu)?；，則變成，按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是，你能否得出原來的明文？解：字母在密碼表中對(duì)應(yīng)的數(shù)字是，或，則，但原明文中只對(duì)應(yīng)個(gè)整數(shù)，從而，所以，因此的明文是同理可求，因此的明文是創(chuàng)新方向五：探索探究型探索性問題是開放性問題的一種

10、，高考中的探索性問題主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)融合，并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的要求考生自己觀察分析，創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問題例5歌德巴赫（GoldbachC德16901764）曾研究過“所有形如（，為正整數(shù)）的分?jǐn)?shù)之和”問題為了便于表述，引入記號(hào)： 寫出你對(duì)此問題的研究結(jié)論： （用數(shù)學(xué)符號(hào)表示）分析：可以分解成無數(shù)個(gè)無窮遞縮等比數(shù)列組成，所以只需利用無窮遞縮等比數(shù)列求和公式求解，然后利用裂項(xiàng)相消法便可得出相關(guān)結(jié)論解：所以評(píng)注：本題給出背景看似深?yuàn)W，其實(shí)只需透過表面看其本質(zhì)，便可將“不可能”的問題轉(zhuǎn)化為非常熟悉的問題進(jìn)行求解趁

11、熱打鐵：已知定理：“若為常數(shù)，滿足，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱”設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)锳（）試證明的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；（）當(dāng)時(shí)，求證：；（）對(duì)于給定的，設(shè)計(jì)構(gòu)造過程：,，如果，構(gòu)造過程將繼續(xù)下去；如果，構(gòu)造過程將停止若對(duì)任意，構(gòu)造過程可以無限進(jìn)行下去，求的值解：（）， ，由已知定理得，的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；（）首先證明在上是增函數(shù)，為此只要證明在上是增函數(shù)設(shè)，則，在上是增函數(shù)再由在上是增函數(shù)得，當(dāng)時(shí)，即；（）構(gòu)造過程可以無限進(jìn)行下去，對(duì)任意恒成立，方程無解，即方程無解或有唯一解，或，由此得到創(chuàng)新方向六：知識(shí)遷移型考試的目的不僅要把貯存于大腦之中的知識(shí)搬出來，而且要應(yīng)用知識(shí)去解決不同情境的問題，

12、也就是考查能力，所以考查知識(shí)遷移的能力是今后高考命題的一個(gè)重要方向?qū)W科綜合以數(shù)學(xué)為依托，聯(lián)系、綜合其他學(xué)科知識(shí)和方法考查考生的綜合素質(zhì)，這種聯(lián)系和綜合必須與中學(xué)生的年齡特征、社會(huì)閱歷相吻合，學(xué)科特征要較明顯，試題材料要較簡單，容易從中提取有效的信息進(jìn)行分析，在有關(guān)學(xué)科知識(shí)、方法之間的遷移比較自然例6（2009廣東）根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API（為整數(shù)）的不同，可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表：對(duì)某城市一年（365天）的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間，進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖. （）求直方圖中的值； （）計(jì)算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù)；（）求該城市某一周至少有2天的空氣質(zhì)量為良或

13、輕微污染的概率.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示已知， ，）分析：本題的實(shí)質(zhì)是統(tǒng)計(jì)與概率問題，要能準(zhǔn)確從頻率分布直方圖提取有效信息點(diǎn)，歸結(jié)為熟知的問題解決。解：（）由圖可知，解得；（）；（）該城市一年中每天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為，則空氣質(zhì)量不為良且不為輕微污染的概率為，一周至少有兩天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為.評(píng)注:本題以世界上最關(guān)注的空氣質(zhì)量的衡量標(biāo)準(zhǔn)“空氣質(zhì)量指數(shù)”為背景設(shè)計(jì)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)與概率問題，該題的背景新穎，以熱門的焦點(diǎn)問題為載體考查了統(tǒng)計(jì)與概率此題的背景都為學(xué)生所熟悉，所以解決該題只需將問題歸結(jié)為統(tǒng)計(jì)與概率問題，便不難使問題獲解此題啟示我們，除了掌握好書本知識(shí)之外，還要增加自己的閱歷，特

14、別對(duì)社會(huì)的焦點(diǎn)問題要特別關(guān)注，并能將社會(huì)經(jīng)濟(jì)問題、政治問題和其他學(xué)科的相關(guān)問題遷移為熟知的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決趁熱打鐵：（2009安徽）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū).B肯定是受A感染的.對(duì)于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)就是一個(gè)隨機(jī)變量.寫出的分布列(不要求寫出計(jì)算過程),并求的均值（即數(shù)學(xué)期望）.解：隨機(jī)變量的分布列是123的均值為附：的分布列的一種求法共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是：ABCDABCDAB

15、CDABDCACDB在情形和之下，A直接感染了一個(gè)人；在情形、之下，A直接感染了兩個(gè)人；在情形之下，A直接感染了三個(gè)人。三、跟蹤訓(xùn)練1設(shè)是至少含有兩個(gè)元素的集合，在上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對(duì)任意的，對(duì)于有序元素對(duì)（），在中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)）若對(duì)任意的，有，則對(duì)任意的，下列等式中不恒成立的是 （ ）ABCD2設(shè)，定義一種向量積已知，點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng)， 點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足 (其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，則的最大值及最小正周期分別為 ( )A B C D3（2009廣東）2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作

16、，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有 （ ） A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種4(2009山東)設(shè)，滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的值是最大值為，則的最小值為 ( )A B C D 45（2009北京）點(diǎn)在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是 （ ）A直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” B直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)”C直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” D直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)”6已知直線與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線有 （ ）A60條 B66條 C72條

17、D78條7（2009安徽）給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為如圖所示，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動(dòng)若其中,則的最大值是_8將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：1 第1行2 3 第2行4 5 6 第3行7 8 9 10 第4行1112131415 第5行按照以上排列的規(guī)律，從左向右記第行的第個(gè)數(shù)為，我們稱為三角數(shù)，現(xiàn)將所有的三角數(shù)按從小到大的順序排成一三角數(shù)列，則滿足等式的是三角數(shù)列中的第 個(gè)9已知方程的個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等比數(shù)列，則 10若函數(shù)在處滿足關(guān)系在處連續(xù)在處的導(dǎo)數(shù)不存在，就稱是函數(shù)的一個(gè)“折點(diǎn)”下列關(guān)于“折點(diǎn)”的四個(gè)命題是的折點(diǎn)；是的折點(diǎn)；是的折點(diǎn)；是的折點(diǎn)其中正確命題的序號(hào)是 1

18、1（江西）某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家，獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予10萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，則給予5萬元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助，令表示該公司的資助總額 () 寫出的分布列； () 求數(shù)學(xué)期望 12（2009上海）已知函數(shù)的反函數(shù)定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“和性質(zhì)”；若函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“積性質(zhì)”（）判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由； （）求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；（）設(shè)函數(shù)對(duì)任何，滿足“積性質(zhì)”求的表達(dá)式2C；由已知題意知：，所以有，令，則，所以則的最大值及最小正周期分別為3A；分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共