用Matlab軟件求多元函數(shù)的偏導數(shù)和極值

1、即數(shù)學實驗五用Matlab軟件求多元函數(shù)的偏導數(shù)和極值、多元函數(shù)的偏導數(shù)i調用格式一：diff('多元函數(shù)','自變量：n) 其中，n為所求偏導數(shù)的階數(shù).例1已知z= x2cos2y 求空，?x?2 z?、和？ 2?y?x ?y解打開M文件編輯窗口，在其中輸入下面命令集:pzpx=diff('xA2*cos(2* y)', 'x') p2zpypx=diff(pzpx,'y') p2zpy2=diff('xA2*cos(2* y) ','y',2)取名為exa9保存，再在命令窗口中輸入命令e

2、xa9,程序運行結果如下:pzpx = 2*x*cos(2*y) p2zpypx = -4*x*si n(2*y) p2zpy2 = -4*xA2*cos(2*y) 即?z?x=2xcos2 y ,=-4xsin 2y ,22=-4x cos2y 2?y即2 調用格式二:syms x y z diff(f,自變量，n)?z?y?x例 2 已知 u = sin(x2 - y3 + 5z)，求、 ?x解 在命令行中依次輸入:syms x y zu=si n( xA2-yA3+5*z); ux=diff(u,x); uxy=diff(ux,y); uxyz=diff(uxy,z); uz3=diff

3、(u, z, 3);ux,uxyz,uz3運行結果如下：ux =2*cos(xA2-yA3+5*z)*xuxyz =30*cos(xA2-yA3+5*z)*yA2*xuz3 =-125*cos(xA2-yA3+5*z)= 30xy2 cos(x2?z?y?xy3 + 5z),?u23=2x cos(x - y + 5z), ?x? U233 = - 125cos(x - y + 5z) 、隱函數(shù)的導數(shù)在Matlab中沒有直接求隱函數(shù)導數(shù)的命令，但可調用Maple中求隱函數(shù)導數(shù)的命令,調用格式如下：maple('implicitdiff(f(u,x,y,z, ，)=0,u,x)'

4、)例3求由多元方程x2 + y2 + z2 = xyz所確定的隱函數(shù) 竺dx解在命令行中輸入：pzpx=maple('implicitdiff(xA2+yA2+zA2-x*y*z=0,z,x)')運行結果是：pzpx =(2*x-y*z)/(-2*z+x*y)即?z _ 2x - yz?x xy - 2z三、多元函數(shù)的極(或最)值在Matlab中同樣有求多元函數(shù)的極(或最)小值的函數(shù)，但由于多元函數(shù)的形式比較 復雜，不同情況用到不同的Matlab函數(shù)若要求多元函數(shù)u在某一區(qū)域的極(或最)大值,可轉化為求-u在該區(qū)域內的極(或最)小值.1 非線性無約束情形求極(或最)小值 點或極

5、(或最)小值的調用格式是：x,fval=fmi nsearch( f',x0)f是被最小化的目標函數(shù)名，x0是求解的初始值向量.332例4 求二元函數(shù)f(x,y) = 2x + 4xy - 10xy + y的最值點和最值.解打開M文件編輯窗口，在其中輸入下面命令集：%必須對自變量進 行轉化x=x(1)，y=x(2)Xmi n, fmi n=fmi nsearch('2*x (1)A3+4*x(1)*x (2)A3-10*x (1)*x (2)+x(2)A2',0,0);Xmax,Fmi n=fmi nsearch('-2*x(1)A3-4*x (1)*x(2)A

6、3+10*x (1)*x (2)-x(2)A2',0,0); fmax=-F min;Xmi n, fminXmax,fmax取名為exa10保存，再在命令窗口中輸入命令exa10，程序運行結果如下：Xmin =1.00160.8335fmin =-3.3241Xmax =-1.0000 1.0000fmax =5.00002非線性有約束情形非線性 有約束優(yōu) 化問題的數(shù)學模型 如下：Min f (x)c(x) <0 ceq(x) = 0A?x < bAeq ?x < beq lb < x < ub式中，x,b,beq,lb和ub是向量，A和Aeq是矩陣，c

7、(x)和ceq(x)為函數(shù)，返回標量.f(x) , c(x) 和ceq(x)可以是非線性函數(shù)求極(或最)小值 點或極(或最)小值的調用格式如下： x,fval=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) nonlcon 參數(shù)計算非線性 不等式約束 c(x)<=0 和非線性等 式約束 ceq(x)=0.例5求表面積為6m2的體積最大的長方體體積.解 設長方體的長、寬、高分別為x1、x2、x3,則f(x)=-x(1)*x(2)*x(3)，S.t x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3=0，x(i)>0,

8、i=1,2,3 . 建立 函數(shù)文件 fun1打開M文件編輯窗口，在其中輸入下面命令集：function F=fun1(x) %函數(shù)文件 必須 是 function 開頭F=-x(1)*x(2)*x(3);單擊“保存”按鈕，自動取名為funl，再擊保存. 建立非線性約束 函數(shù)文件 yceqfunction c,ceq=yceq(x)c=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3;ceq=;保存方法同上，自動取名為yceq，再擊保存. 編 制主 程序：打開M文件編輯窗口，在其中輸入下面命令集：x0=3;3;3;%給長寬高 一個初 值A=;b=;Aeq=;beq=; lb=0,0,0;ub=;xmax,fmin=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq');%函數(shù)要 加單引號Vmax=-fmin;xmax,Vmax取名為exa11保存，再在命令窗口中輸入命令exa11，程序運行結果如下