動(dòng)力系統(tǒng)模型.

1、A First Course in Mathematical Modeling (Third Edition)Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, William P. FoxChina Machine Press數(shù)學(xué)建模(原書(shū)第3版) 葉其孝 姜啟源 等譯 機(jī)械工業(yè)出版社第1章 對(duì)變化進(jìn)行建模引言 為了更好地了解世界,人們常常用數(shù)學(xué)來(lái)描述某種特定現(xiàn)象.這種數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界現(xiàn)象的理想化,但永遠(yuǎn)不會(huì)是完全精確的表示.盡管任何模型都有其局限性,但是好的模型能夠提供有價(jià)值的結(jié)果和結(jié)論.在本章中我們將重點(diǎn)介紹對(duì)變化進(jìn)行建模.簡(jiǎn)化 比例性 多數(shù)模型簡(jiǎn)化了現(xiàn)實(shí)的情況.一

2、般情況下,模型只能近似地表示實(shí)際的行為.一種非常強(qiáng)有力的簡(jiǎn)化關(guān)系就是比例性.定義 兩個(gè)變量和是(互成)比例的,如果,我們記為.從幾何上看,關(guān)于的圖形位于通過(guò)原點(diǎn)的一條直線上. 例1 測(cè)試比例性做一個(gè)測(cè)量彈簧的伸長(zhǎng)作為置于彈簧末端的質(zhì)量的函數(shù)的實(shí)驗(yàn),表1-1為該實(shí)驗(yàn)收集到的數(shù)據(jù)表1-1 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量50100150200250300350400450500550伸長(zhǎng)1.0001.8752.7503.2504.3754.8755.6756.5007.2508.0008.750彈簧的伸長(zhǎng)對(duì)于置于彈簧末端的質(zhì)量的散點(diǎn)圖展現(xiàn)了它近似是過(guò)原點(diǎn)的一條直線.圖1-1 來(lái)自彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的數(shù)據(jù)看來(lái)該數(shù)據(jù)遵從比

3、例性法則，伸長(zhǎng)與質(zhì)量成比例，或者說(shuō)。該直線看似通過(guò)原點(diǎn)。在本例中，假設(shè)這兩種數(shù)據(jù)成比例看來(lái)是合理的，我們選位于直線上的兩點(diǎn)和來(lái)估計(jì)比例系數(shù)（直線斜率）：因此比例系數(shù)約為0.0163，于是可以建立以下估算模型：然后把表示該模型的直線圖形重疊畫(huà)到散點(diǎn)圖上，以考察模型對(duì)這些數(shù)據(jù)的擬合效果。從圖中可以看出這個(gè)簡(jiǎn)化的比例模型是合理的。圖1-2來(lái)自彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的數(shù)據(jù)和比例性模型直線對(duì)變化進(jìn)行建模對(duì)變化進(jìn)行建模的一個(gè)非常有用的范例就是：未來(lái)值=現(xiàn)在值+變化人們往往希望從現(xiàn)在知道的東西加上精心觀測(cè)到的變化來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。在這種情形中，可以先按照公式：變化=未來(lái)值-現(xiàn)在值來(lái)研究變化。1.1 用差分方程對(duì)變化進(jìn)行建模

4、定義 數(shù)列的一階差分是例1 儲(chǔ)蓄存單考慮一開(kāi)始價(jià)值為1000美元的儲(chǔ)蓄存單在月利率為1%的條件下的累積價(jià)值。下面的數(shù)列表示該儲(chǔ)蓄存單逐月的價(jià)值：其一階差分為： 注意，一階差分表示在一個(gè)時(shí)間周期里數(shù)列的變化，在儲(chǔ)蓄存單的例子中即是所得的利息。如果是月數(shù)而是個(gè)月后儲(chǔ)蓄存單的價(jià)值，那么每個(gè)月價(jià)值的變化（或者利息增長(zhǎng)）由第個(gè)差分來(lái)表示。即有如下的差分方程我們還知道一開(kāi)始的存款（初值），于是就得出了以下動(dòng)力系統(tǒng)模型其中，是個(gè)月后儲(chǔ)蓄存單的價(jià)值。由于表示非負(fù)整數(shù)，故上面的方程可以表示為無(wú)窮多個(gè)代數(shù)方程，稱為動(dòng)力系統(tǒng)。動(dòng)力系統(tǒng)能夠描述從一個(gè)周期到下一個(gè)周期的變化。知道了該序列中的某一項(xiàng)，就可以通過(guò)差分方程算

5、出緊接著它的下一項(xiàng)，但是不能直接算出任意特定項(xiàng)的值（例如，100個(gè)周期后的儲(chǔ)蓄值）。修改一下這個(gè)例子，如果要從賬戶中每月提款50美元，那么一個(gè)周期里存款的變化就應(yīng)該是該周期里掙的利息減去月提款：在大多數(shù)例子中，用數(shù)學(xué)方式描述變化不會(huì)像這里所說(shuō)的那樣精確，常常需要畫(huà)出變化，觀察模式，然后用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)描述變化。即，試圖尋求變化可能是數(shù)據(jù)序列中前一項(xiàng)的函數(shù)（就象沒(méi)有月提款的情形），或者還包含某些外來(lái)項(xiàng)（諸如上面提到的題款數(shù)或涉及周期的一個(gè)表達(dá)式）。即例2 抵押貸款買(mǎi)房六年前，你的父母籌措月利率為1%、每月還款為880.87美元的20年貸款資金80000美元買(mǎi)了房子。他們已經(jīng)還款72個(gè)月，同時(shí)想知道他

6、們還欠多少抵押貸款，他們正在考慮用他們得到的一筆遺產(chǎn)來(lái)付清欠款。或者他們可以重新根據(jù)償還期長(zhǎng)短，以不同利率償還抵押貸款。每個(gè)周期欠款額因要付的利息而增加，又因每月還款而減少：求解并加進(jìn)初始條件就給出了下面的動(dòng)力系統(tǒng)模型其中表示第個(gè)月后的欠款.因此:就給出了序列該序列的前13項(xiàng)數(shù)據(jù)如表1-2所示表1-2 欠款額度表月012345678980000.0079919.1379837.4579754.9679671.6479587.4879502.4979416.6479329.9479242.37也可以用圖1-3表示圖1-3 逐月欠款額 我們來(lái)總結(jié)一下例1和例2中介紹的重要思路.定義 一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)就

7、是序列各項(xiàng)之間的一種關(guān)系.動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)值解就是滿足該動(dòng)力系統(tǒng)的一張數(shù)據(jù)表.習(xí)題1寫(xiě)出能對(duì)所述情景的變化確切建模的動(dòng)力系統(tǒng)的公式1.目前你在儲(chǔ)蓄賬戶上有月付利息為0.5%的存款5000美元,你每個(gè)月再存入200美元.2.你的信用卡上有月付利息1.5%的欠款500美元.你每月償還50美元并且不再有新的欠款.3.你的父母正在考慮一項(xiàng)貸款期限30年、每月要支付0.5%利息的100 000美元抵押貸款，試建立一個(gè)能夠在360次付費(fèi)后還清借款的用月供表示的模型。提示：如果表示n個(gè)月后的欠款，那么和表示什么呢？4.你的祖父母有一份養(yǎng)老金（年金）。每月把上一個(gè)月結(jié)余的1%作為利息自動(dòng)存入養(yǎng)老金。你的祖父母每月

8、初要取出1000美元作為生活費(fèi)用。目前他們的養(yǎng)老金為50 000美元。試用動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)養(yǎng)老金建模。養(yǎng)老金會(huì)用光嗎？什么時(shí)候用光？提示：當(dāng)養(yǎng)老金用光時(shí)，的值為多少？研究課題你希望買(mǎi)一輛新車(chē)而且選擇范圍只限于Saturn、Cavalier和Hyundai三家公司。每家公司都向你提供其最優(yōu)惠的交易條件：Saturn 車(chē)價(jià)13 990美元 預(yù)付定金1000美元 月利率3.5%直到60個(gè)月Cavalier車(chē)價(jià)13 550美元 預(yù)付定金1500美元 月利率4.5%直到60個(gè)月Hyundai 車(chē)價(jià)12 400美元 預(yù)付定金500美元 月利率6.5%直到48個(gè)月你每個(gè)月為買(mǎi)車(chē)最多能支付475美元。利用動(dòng)力系統(tǒng)模

9、型決定你應(yīng)該買(mǎi)哪家公司的車(chē)。1.2 用差分方程近似描述變化在大多數(shù)例子中，數(shù)學(xué)地描述變化不會(huì)像前節(jié)給出的儲(chǔ)蓄存單和抵押貸款案例中那樣有確切的步驟。一般情況下，我們必須畫(huà)出變化，觀察模式，然后再用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)近似描述變化：例1 酵母培養(yǎng)物的增長(zhǎng)圖1-4中的數(shù)據(jù)是從測(cè)量酵母培養(yǎng)物增長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)收集來(lái)的。圖形顯示可以假設(shè)種群量的變化和當(dāng)前種群量的大小成比例。即，其中表示n小時(shí)后種群生物量的多少，而是一個(gè)正常數(shù)。的值依賴于時(shí)間的測(cè)量。表1-3 酵母培養(yǎng)物隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)時(shí)間n（以小時(shí)計(jì)）01234567酵母生物量9.618.329.047.271.1119.1174.6257.3生物量的變化8.710.71

10、8.223.948.055.582.7圖1-4 酵母培養(yǎng)物增長(zhǎng)對(duì)以小時(shí)計(jì)的時(shí)間雖然該數(shù)據(jù)的圖形并不恰好位于過(guò)原點(diǎn)的一條直線上,但是可以用一條過(guò)原點(diǎn)的直線來(lái)近似.我們估算出該直線的斜率大約為0.5.利用直線斜率的估計(jì),我們假設(shè)比例模型為它給出預(yù)測(cè).這個(gè)模型預(yù)測(cè)種群量總是增長(zhǎng)的,這是可疑的.模型的改進(jìn):對(duì)出生、死亡和資源的建模如果在一個(gè)周期里出生和死亡都和種群量成正比，那么例1所說(shuō)明的那樣種群量的變化應(yīng)該和種群量成正比。但是，某些資源（例如食物）只能支持某個(gè)最大限度的種群量而不能支持無(wú)限增長(zhǎng)的種群量。當(dāng)接近這個(gè)最大限度時(shí)，增長(zhǎng)就會(huì)慢下來(lái)。例2 再論酵母培養(yǎng)物的增長(zhǎng)表1-4 酵母培養(yǎng)物隨時(shí)間變化的數(shù)

11、據(jù)時(shí)間n01234567酵母生物量9.618.329.047.271.1119.1174.6257.38.710.718.223.948.055.582.793.4時(shí)間n89101112131415酵母生物量350.7441.0513.3559.7594.8629.4640.8651.190.372.346.435.134.611.410.34.8時(shí)間n161718酵母生物量655.9659.6661.83.72.2圖1-5酵母生物量趨近一個(gè)極限種群量水平從上面的數(shù)據(jù)表可以看出當(dāng)資源變得更為有限或受到更多限制時(shí)，每小時(shí)種群量的變化就變得比較小。從種群量對(duì)時(shí)間的圖形看，種群量趨于一個(gè)極限值或容納

12、量，我們根據(jù)圖形估計(jì)容納量為665（實(shí)際上，圖形并不能確切地告訴我們?nèi)菁{量是665而不是664或666）。然而趨近665時(shí)，變化確實(shí)大大減慢了。因?yàn)楫?dāng)趨近665時(shí)，變得更小了，我們嘗試以下模型這造成了當(dāng)趨近665時(shí)，變化變得越來(lái)越小。數(shù)學(xué)上，這個(gè)假設(shè)的模型說(shuō)明變化和乘積成比例。為測(cè)試模型，畫(huà)出對(duì)的圖形，看看是否存在合理的比例性，然后來(lái)估算比例系數(shù)。圖1-6測(cè)試受限制的增長(zhǎng)模型考察圖1-6,我們看到對(duì)的圖形確實(shí)合理地近似于過(guò)原點(diǎn)的一條直線.我們估計(jì)該直線的斜率約為,這樣我們就給出如下的動(dòng)力系統(tǒng)模型:上面的模型也可以寫(xiě)成該模型右邊關(guān)于是二次的，這種動(dòng)力系統(tǒng)是非線性的。而且一般不能求得解析解。即通常

13、不能直接求出用來(lái)表示的公式解。但是，給定初值，我們可以依次代入該模型得出數(shù)值解（一張數(shù)據(jù)表）。模型的檢驗(yàn)將模型預(yù)測(cè)的數(shù)值解與觀察值在畫(huà)在同一幅圖形中比較，可以看出我們的模型很好地抓住了所觀察到的數(shù)據(jù)的趨勢(shì)。圖1-7模型的檢驗(yàn) 例3 接觸性傳染病的傳播假定學(xué)院宿舍里有400個(gè)學(xué)生而且一個(gè)或更多個(gè)學(xué)生得了嚴(yán)重的流感。令表示n個(gè)時(shí)間周期后（例如n天后）受感染的學(xué)生數(shù)。假設(shè)在已經(jīng)感染的學(xué)生和尚未感染的學(xué)生之間存在某種相互作用使疾病得以傳播,如果所有人對(duì)于該傳染病都是易感的,那么就表示易感而尚未感染的學(xué)生.如果已經(jīng)感染的學(xué)生在繼續(xù)傳播疾病,那么我們可以認(rèn)為變化的已感染者數(shù)量(新增的感染者)和已感染者與尚

14、未感染者的乘積成比例:這里我們雖然沒(méi)有數(shù)據(jù),但從酵母生物量的例子中可以想到,感染者的數(shù)量曲線也是S形的.這個(gè)模型可以有許多改進(jìn).例如,我們可以假設(shè)一部分人不易被感染、或者感染周期是有限制的、或者為防止和未感染者的相互作用，已感染的學(xué)生都搬出了宿舍。更復(fù)雜的模型甚至能分別處理已感染人口和易感染人口。例4 血流中地高辛的衰減地高辛用于治療心臟病，醫(yī)生開(kāi)的處方上的劑量應(yīng)能保持血流中地高辛的濃度高于一個(gè)有效水平值而又不能超過(guò)一個(gè)安全水平值（對(duì)不同的病人，這些值會(huì)有所不同）。對(duì)于血流中初始劑量為0.5毫克的情形,表1-5展示了該病人n天后其血流中地高辛的剩余量,以及每天的變化量.表1-5 病人血流中地高

15、辛的變化n0123456780.50.3450.2380.1640.1130.0780.0540.0370.026-0.155-0.107-0.074-0.051-0.035-0.024-0.017-0.011圖1-8是根據(jù)上表數(shù)據(jù)畫(huà)出的對(duì)的散點(diǎn)圖.圖形展示了在一個(gè)時(shí)間段里的變化和該時(shí)間段開(kāi)始時(shí)血流中地高辛的含量大致成比例.過(guò)原點(diǎn)的比例直線的斜率,所以我們有.從而得到下面的動(dòng)力系統(tǒng)模型:圖1-8 對(duì)的圖形表明其為過(guò)原點(diǎn)的直線習(xí)題21. 從引進(jìn)到塔斯馬尼亞島的新環(huán)境里的羊群數(shù)量的增長(zhǎng)得到下面的數(shù)據(jù)。年181418241834184418541864數(shù)量125275830120017501650

16、根據(jù)數(shù)據(jù)畫(huà)出圖形.能看出某種趨勢(shì)么?畫(huà)出1814年后數(shù)量變化對(duì)年份 的圖形.構(gòu)建一個(gè)能合理描述你所觀察到的變化的離散動(dòng)力系統(tǒng).2. 下列數(shù)據(jù)表示從1790年到2000年的美國(guó)人口數(shù)據(jù)年份人口年份人口17903 929 000190075 995 00018005 308 000191091 972 00018107 240 0001920105 711 00018209 638 0001930122 755 000183012 866 0001940131 669 000184017 069 0001950150 697 000185023 192 0001960179 323 0001860

17、31 443 0001970203 212 000187038 558 0001980226 505 000188050 156 0001990248 710 000189062 948 0002000281 416 000 求能夠相當(dāng)好地?cái)M合該數(shù)據(jù)的動(dòng)力系統(tǒng)模型。通過(guò)畫(huà)出模型的預(yù)測(cè)值和 數(shù)據(jù)值來(lái)測(cè)試你的模型。3. 社會(huì)學(xué)家識(shí)別出一種稱為社會(huì)擴(kuò)散的現(xiàn)象，即在人群中傳播一段信息、 一項(xiàng)技術(shù)革新或者一種文化時(shí)尚。人群可以分為兩類(lèi)：知道該信息的人 和不知道該信息的人。在人群數(shù)目已知的情形下，可以合理地假設(shè)擴(kuò)散 率與知道該信息的人數(shù)和不知道該信息的人數(shù)的乘積成比例。然后記 為總數(shù)為N的人群在n天后已經(jīng)

18、知道該信息的人數(shù)，構(gòu)建一個(gè)能近似表 示人群中已經(jīng)知道該信息的人數(shù)變化的動(dòng)力系統(tǒng)。4. 慮在人口總數(shù)為N的孤島上一種傳染性很強(qiáng)的疾病的傳播問(wèn)題。一部 分島上的人到島外旅行并患上這種疾病回到島內(nèi)。構(gòu)建一個(gè)能近似表示 患病人數(shù)變化的動(dòng)力系統(tǒng)。5. 假設(shè)我們考慮鯨魚(yú)的生存問(wèn)題，如果鯨魚(yú)數(shù)目降至低于最小生存水平 的話，那么該物種將會(huì)滅絕。還假設(shè)由于環(huán)境的容納量，鯨魚(yú)的數(shù)量 是受到限制的。即，如果鯨魚(yú)的數(shù)量高于，因?yàn)榄h(huán)境無(wú)法支持，數(shù)量 將會(huì)下降。在下面的模型中，表示n年后的鯨魚(yú)數(shù)量；試討論模型 6. 假設(shè)存在某種藥物,當(dāng)其濃度大于100毫克/升時(shí),可以治療疾病,藥物的 初始濃度為640毫克/升.從實(shí)驗(yàn)知道

19、該藥物以每小時(shí)現(xiàn)有量的20%的比 率衰減. (a)構(gòu)造一個(gè)表示每小時(shí)濃度的模型. (b)建立一張濃度值表并確定何時(shí)濃度達(dá)到100毫克.7. 利用習(xí)題6研制的模型開(kāi)一個(gè)初始劑量處方,以及一個(gè)能把濃度保持在 高出有效水平500ppm(即百萬(wàn)分之500或萬(wàn)分之五)但低于安全水平 1000ppm的維持劑量處方.用不同的值來(lái)做實(shí)驗(yàn),直到結(jié)果滿意為止.8. 附表的數(shù)據(jù)展示了一輛汽車(chē)的速率n(以5英里/小時(shí)的增量計(jì))以及從剎 車(chē)到停止的(滑行)距離,例如,(表示6×5=30英里/小時(shí))時(shí)所需 的停止距離為. (a)計(jì)算并畫(huà)出變化對(duì)的圖形,該圖形能合理地近似表示一種線性 關(guān)系么? (b)根據(jù)你在(a

20、)中的計(jì)算,對(duì)停止距離數(shù)據(jù)求一個(gè)差分方程模型,通過(guò)畫(huà) 出與n相對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值的誤差來(lái)測(cè)試你的模型,討論模型的正確性.13911226101403111117142112204532132416471428276515325887163761.3 動(dòng)力系統(tǒng)的解法 例1 再論儲(chǔ)蓄存單在儲(chǔ)蓄存單例子中,儲(chǔ)蓄存單一開(kāi)始存有1000美元,每月按結(jié)存的1%付給利息.如果既不存款也不取款,那么就確定了以下動(dòng)力系統(tǒng).容易看出該動(dòng)力系統(tǒng)的解為T(mén)h1 對(duì)為非零常數(shù)的線性動(dòng)力系統(tǒng),它的解為例2 污水處理一家污水處理廠通過(guò)去掉污水中所有的污染物來(lái)處理未經(jīng)處理的污水,以生產(chǎn)有用的肥料和清潔的水.該處理過(guò)程每小時(shí)去掉處理池

21、中剩余的污物的12%.1天后處理池中將留下百分之幾的污物?要多長(zhǎng)時(shí)間才能把污物的量減少一半?要把污物減少為原來(lái)的10%,要多長(zhǎng)時(shí)間？，為常數(shù)時(shí)的長(zhǎng)期行為(1)的情形;(2)的情形(3)的情形:此時(shí)序列是無(wú)界的（例如儲(chǔ)蓄存單例子）(4)的情形：此時(shí)序列是振蕩的（即相鄰兩項(xiàng)相差一個(gè)符號(hào)）例如：的圖形(5) 的情形： 如果，那么，地高辛的例子提供了一個(gè)例證。 如果，那么，但此時(shí)序列將變號(hào)地趨于0。例如線性動(dòng)力系統(tǒng) (6) 的情形的動(dòng)力系統(tǒng)，其中和均為常數(shù)定義：當(dāng)時(shí)，如果對(duì)所有的有，則將數(shù)稱為動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)或不動(dòng)點(diǎn)。即是該動(dòng)力系統(tǒng)的常數(shù)解。推論：是的平衡點(diǎn)的充要條件是當(dāng)時(shí)，。例3 地高辛處方再次考慮

22、地高辛問(wèn)題。如何考慮地高辛在血流中的衰減問(wèn)題，以開(kāi)出能使地高辛濃度保持在可接受（安全而且有效）的水平上的劑量處方呢？假定開(kāi)了每日0.1毫克的地高辛劑量處方，而且知道在每個(gè)劑量周期末還剩余一半地高辛。這就導(dǎo)致了下面的動(dòng)力系統(tǒng)現(xiàn)在考慮三個(gè)初始劑量A：；B：；C：；表1-6以及圖1-9給出了三種初始劑量下的數(shù)值解表1-6 三種地高辛初始劑量的數(shù)值解ABC00.10.20.310.150.20.2520.1750.20.22530.18750.20.212540.193750.20.2062550.1968750.20.20312560.19843750.20.201562570.199218750.

23、20.2007812580.1996093750.20.20039062590.19980468750.20.2001953125100.199902343750.20.20009765625110.1999511718750.20.200048828125120.19997558593750.20.2000244140625130.199987792968750.20.20001220703125140.1999938964843750.20.200006103515625150.1999969482421880.20.200003051757813圖1-9三種地高辛初始劑量的數(shù)值解 注意到

24、0.2是一個(gè)平衡點(diǎn)，因?yàn)橐坏┻_(dá)到了這個(gè)值，系統(tǒng)永遠(yuǎn)停在0.2處。此外，如果從低于平衡點(diǎn)或高于平衡點(diǎn)的初值開(kāi)始，那么顯然會(huì)趨于平衡點(diǎn)作為其極限。例4 投資年金討論活期存款賬戶問(wèn)題并考慮年金（養(yǎng)老金）問(wèn)題。年金常常是為退休目的而規(guī)劃的。年金基本上是活期存款賬戶，對(duì)現(xiàn)有的存款付給利息而且允許每月有固定數(shù)額的提款，直到提盡為止。一個(gè)有趣的問(wèn)題是確定每月必須存入的存款數(shù)以建立一筆允許提款的年金，使得在賬戶中的存款用盡之前，能在計(jì)劃的年數(shù)期間從某個(gè)年齡開(kāi)始每月提取規(guī)定的款項(xiàng)?，F(xiàn)在考慮月利率為1%以及月提款額為1000美元的情形?？梢越⑷缦聞?dòng)力系統(tǒng)模型：我們考慮下面的三種初值情形A：；B：；C：；圖1-1

25、0給出了三種情形下的數(shù)值解圖1-10 三種初始投資的年金注意到是該動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn),因?yàn)橐坏┻_(dá)到這個(gè)值,序列中的項(xiàng)將不再變化.但是如果我們的初值高于這個(gè)平衡點(diǎn),就會(huì)導(dǎo)致序列中的項(xiàng)的數(shù)值將無(wú)限增長(zhǎng)(試對(duì)的情形畫(huà)出圖形).另一方面,如果我們從低于100000美元的初值開(kāi)始,那么存款將以不斷增加的速率取盡(試對(duì)的情形畫(huà)出圖形).注意即使初值僅相差0.02美元,動(dòng)力系統(tǒng)解的長(zhǎng)期行為也會(huì)有巨大差異.在這種情形下,我們說(shuō)該平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的,而在地高辛處方的例子中,我們稱0.2這個(gè)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.例5 活期儲(chǔ)蓄賬戶大多數(shù)學(xué)生不可能在其活期儲(chǔ)蓄賬戶中保持足夠的存款以獲取一點(diǎn)點(diǎn)利息.假定你有一個(gè)無(wú)息賬戶,而

26、且每個(gè)月你只支付宿舍租金300美元,這就給出了動(dòng)力系統(tǒng):顯然在初值的情形下,該動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)值解圖形如下圖1-11 支付宿舍租金的活期儲(chǔ)蓄賬戶現(xiàn)在把迄今的觀察結(jié)果集中起來(lái),按照常數(shù)的值來(lái)對(duì)三個(gè)例子及其長(zhǎng)期行為進(jìn)行分類(lèi).求平衡點(diǎn)并對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)確定是否存在平衡點(diǎn)并將其分為穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的,這將有助于分析該動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為.在例3(地高辛處方)中,怎么知道0.2的起始值會(huì)導(dǎo)致常數(shù)解或平衡點(diǎn)呢?類(lèi)似地，怎么知道例4（年金問(wèn)題）中對(duì)于投資100000美元的同樣問(wèn)題的答案呢？對(duì)于形為：的動(dòng)力系統(tǒng)，如果存在平衡點(diǎn)的話，根據(jù)平衡點(diǎn)定義不難看出，平衡點(diǎn)必將滿足由此容易求出如果，那么每個(gè)初始值都將導(dǎo)致常數(shù)解（平衡

27、點(diǎn)）。因此每個(gè)值（起始值）都是平衡點(diǎn)。下面的定理總結(jié)了我們的觀察。Th2 動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)就是，如果而且，那么每個(gè)數(shù)都是平衡點(diǎn)。如果而，那么平衡點(diǎn)不存在。并且有：有穩(wěn)定平衡點(diǎn)；有不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；沒(méi)有平衡點(diǎn)或者圖形是一條直線。對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的解的猜測(cè)在（有穩(wěn)定平衡點(diǎn)）情形下，注意到因此我們猜測(cè)該動(dòng)力系統(tǒng)的解為：其中c為依賴于初始條件的某個(gè)常數(shù)（在給定起始值的條件下，）。請(qǐng)同學(xué)們對(duì)這個(gè)解的正確性加以驗(yàn)證。事實(shí)上對(duì)于的情形也有類(lèi)似結(jié)論。Th3 動(dòng)力系統(tǒng)的解為，其中c為依賴于初始條件的某個(gè)常數(shù)。 例6 再論投資年金對(duì)于例4中建立過(guò)模型的年金問(wèn)題，需要多少初始投資才能保證20年（240個(gè)月）才把它用盡？解：動(dòng)

28、力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為。設(shè)它的解是 ，令 ，解得。所以有因此，初始投資90819.42美元就能使我們?cè)?0年里從賬戶中每月提款1000美元（總的提款額為240000美元）。在20年的年底，賬戶中的存款就被取盡了。再次考慮酵母生物量的模型:做一些代數(shù)運(yùn)算后,該動(dòng)力系統(tǒng)可以改寫(xiě)為:其中.由該方程決定的序列的長(zhǎng)期行為對(duì)參數(shù)r的值是非常敏感的.我們從開(kāi)始,對(duì)不同的r值畫(huà)出了數(shù)值解的圖形.混沌現(xiàn)象是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性一不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè)，這就是混沌現(xiàn)象。進(jìn)一步研究表明，混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定

29、性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化來(lái)的。因此，在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問(wèn)題中，混沌是無(wú)處不在的。蝴蝶效應(yīng)是氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出來(lái)的。其大意為：一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國(guó)德克薩斯引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。其原因在于：蝴蝶翅膀的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化，并引起微弱氣流的產(chǎn)生，而微弱氣流的產(chǎn)生又會(huì)引起它四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，由此引起連鎖反應(yīng)，最終導(dǎo)致其他系統(tǒng)的極大變化。此效應(yīng)說(shuō)明，事物發(fā)展的結(jié)果，對(duì)初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會(huì)引起結(jié)果的極大差異。蝴蝶效應(yīng)是混沌學(xué)理論中的一

30、個(gè)概念。它是指對(duì)初始條件敏感性的一種依賴現(xiàn)象。輸入端微小的差別會(huì)迅速放大到輸出端。習(xí)題31.建立下列初值問(wèn)題的數(shù)值解.畫(huà)出數(shù)據(jù)的圖形以觀察解的模式.存在平衡點(diǎn)嗎?平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的?(a) ;(b) ;(c) ;(d) ;(e) ;(f) .2.你目前有一個(gè)月付利息0.5%的活期儲(chǔ)蓄賬戶，其中存款5000美元。你每月加進(jìn)200美元。建立一個(gè)模型并求數(shù)值解以確定何時(shí)賬戶中的存款能達(dá)到20 000美元。3.你在一張信用卡上欠款500美元，每月要收取1.5%的利息。你可以每月付給50美元而不再對(duì)你有新的利息收費(fèi)。什么是平衡點(diǎn)？有什么意義？求數(shù)值解，以確定什么時(shí)候能夠還清欠款？最后付費(fèi)為多少？

31、4.求解習(xí)題1中的3、4兩題的平衡點(diǎn)。研究課題1.你計(jì)劃拿出一部分薪水作為子女的教育經(jīng)費(fèi)。你希望在賬戶里有足夠的存款，使得從現(xiàn)在起20年后開(kāi)始的8年里，每月能提出1000美元。賬戶每月付給你0.5%的利息。(a)為完成你的目標(biāo)，從現(xiàn)在起20年里你總共需要積累多少錢(qián)？(b)在以后的20年里你每月必須存入多少錢(qián)?2.假設(shè)我們正在考慮鯨魚(yú)的生存問(wèn)題，又假設(shè)如果鯨魚(yú)數(shù)目降至低于最小生存水平的話，那么該物種將會(huì)滅絕。還假設(shè)由于環(huán)境的容納量，鯨魚(yú)的數(shù)量 是受到限制的。即，如果鯨魚(yú)的數(shù)量高于，因?yàn)榄h(huán)境無(wú)法支持，數(shù)量將會(huì)下降。在下面的模型中，表示n年后的鯨魚(yú)數(shù)量。對(duì)以及求數(shù)值解再對(duì)不同的M，m，k做實(shí)驗(yàn)。試著

32、對(duì)若干個(gè)的起始值做實(shí)驗(yàn)。你的模型有什么預(yù)測(cè)？1.4 差分方程組例1 汽車(chē)租賃公司一家汽車(chē)租賃公司在奧蘭多和坦帕都有分公司,這家公司是專門(mén)為滿足在這兩個(gè)城市開(kāi)展旅游活動(dòng)的旅行社的需要而開(kāi)設(shè)的.因此,游客可以在一個(gè)城市租車(chē)而在另一個(gè)城市還車(chē).游客可能在兩個(gè)城市都有旅行計(jì)劃.該公司想確定對(duì)這種方便的借還車(chē)方式的收費(fèi)應(yīng)該是多少.因?yàn)槠?chē)可以在兩個(gè)城市歸還,每個(gè)城市就要有足夠的車(chē)輛以滿足用車(chē)需要.如果置放的車(chē)輛不夠了,那么要從奧蘭多運(yùn)送多少車(chē)輛到坦帕或者要從坦帕運(yùn)送多少車(chē)輛到奧蘭多呢?對(duì)這些問(wèn)題的回答 將有助于該公司計(jì)算出它的期望成本.在分析了歷史數(shù)據(jù)后,可以確定約有60%在奧蘭多出租的車(chē)輛還到了奧蘭多

33、,另外40%的車(chē)輛還到了坦帕.在坦帕分公司出租的車(chē)中,有70%仍舊還到了坦帕,另外30%的車(chē)輛還到了奧蘭多.下圖是對(duì)這種情況的總結(jié). 動(dòng)力系統(tǒng)模型我們來(lái)研究該系統(tǒng)的一個(gè)模型.令表示營(yíng)業(yè)天數(shù).定義:第n天營(yíng)業(yè)結(jié)束時(shí)在奧蘭多的車(chē)輛數(shù) :第n天營(yíng)業(yè)結(jié)束時(shí)在坦帕的車(chē)輛數(shù)因此歷史記錄顯示該系統(tǒng)應(yīng)該是平衡點(diǎn)該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)就是使系統(tǒng)不再發(fā)生變化的和的值.如果它們存在的話,分別稱之為平衡點(diǎn)和.同時(shí)有和.代入到我們的模型中,可以得出和應(yīng)該滿足的方程組:容易看出滿足這個(gè)方程組.例如,假設(shè)公司有7000輛車(chē)而且開(kāi)始時(shí)在奧蘭多有3000輛車(chē)而在坦帕有4000輛車(chē),那么我們的模型預(yù)測(cè)因此該系統(tǒng)如果在處開(kāi)始,將保持不變.

34、下面我們研究如果從不同于平衡點(diǎn)的值開(kāi)始,系統(tǒng)將會(huì)怎樣.我們?nèi)∠旅嫠姆N不同初始值的情形下圖給出了四種情形下,系統(tǒng)的數(shù)值解.情形1 n01234567奧蘭多70004200336031083032.43009.723002.9163000.875坦帕02800364038923967.63990.283997.0843999.125情形2n01234567奧蘭多50003600318030543016.23004.863001.4583000.437坦帕20003400382039463983.83995.143998.5423999.563情形3n01234567奧蘭多2000270029102

35、9732991.92997.572999.2712999.781坦帕50004300409040274008.14002.434000.7294000.219情形4n01234567奧蘭多02100273029192975.72992.712997.8132999.344坦帕70004900427040814024.34007.294002.1874000.656從上面的數(shù)據(jù)及圖形來(lái)看,四種情形在一周內(nèi)都是和平衡點(diǎn)(3000,4000)很接近的,甚至在其中一個(gè)城市沒(méi)有車(chē)的情形下也是如此.結(jié)果暗示平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的而且對(duì)起始值并不敏感.基于這些研究,我們傾向于預(yù)測(cè)該系統(tǒng)趨于平衡點(diǎn),在那里3/7的車(chē)還

36、到奧蘭多而余下4/7的車(chē)還到坦帕.這些信息對(duì)該公司是有幫助的.知道了在每個(gè)城市的需求模式,該公司就能估計(jì)需要運(yùn)送多少輛車(chē)了.例2 特拉法爾加(Trafalgar)戰(zhàn)斗在1805年的特拉法爾加戰(zhàn)斗中,由拿破侖指揮的法國(guó)、西班牙海軍聯(lián)軍和由海軍上將納爾遜指揮的英國(guó)海軍作戰(zhàn).一開(kāi)始,法西聯(lián)軍有33艘戰(zhàn)艦,而英軍有27艘戰(zhàn)艦.在一次遭遇戰(zhàn)中每方的戰(zhàn)艦損失都是對(duì)方戰(zhàn)艦的10%.分?jǐn)?shù)值是有意義的,表示有一艘或多艘戰(zhàn)艦不能全力以赴地參加戰(zhàn)斗.動(dòng)力系統(tǒng)模型令表示戰(zhàn)斗過(guò)程中遭遇戰(zhàn)的階段并定義:第n階段英軍的戰(zhàn)艦數(shù)；:第n階段法西聯(lián)軍的戰(zhàn)艦數(shù)；于是在第n階段的遭遇戰(zhàn)后，各方剩余的戰(zhàn)艦數(shù)為下圖展示了起始值為和的戰(zhàn)斗

37、的數(shù)值解。階段1234567891011英方2723.720.6717.87715.290712.883210.62858.50286.48324.54882.6791法方3330.327.9325.86324.075322.546221.257920.195119.344818.696518.2416上述圖形及數(shù)據(jù)告訴我們，對(duì)于全部軍力介入的情形，我們看到英軍是全面失敗，只剩3艘戰(zhàn)艦而且其中至少1艘戰(zhàn)艦遭到嚴(yán)重?fù)p壞。在戰(zhàn)斗結(jié)束時(shí)，經(jīng)歷了11個(gè)階段的戰(zhàn)斗以后，法西聯(lián)軍的艦隊(duì)大約還有18艘戰(zhàn)艦。納爾遜爵士的分割并各個(gè)擊敗戰(zhàn)略拿破侖軍隊(duì)的33艘戰(zhàn)艦是分成三個(gè)戰(zhàn)斗編組沿一條直線一字排開(kāi)的.依次是:A

38、組3艘戰(zhàn)艦;B組17艘戰(zhàn)艦;C組13艘戰(zhàn)艦.納爾遜爵士的戰(zhàn)略是用13艘英軍戰(zhàn)艦去迎戰(zhàn)戰(zhàn)斗編組A(另外14艘戰(zhàn)艦備用).戰(zhàn)斗后存留下來(lái)的戰(zhàn)艦加上備用的14艘戰(zhàn)艦去迎戰(zhàn)戰(zhàn)斗編組B.最后所有剩下的戰(zhàn)艦去迎戰(zhàn)戰(zhàn)斗編組C.假設(shè)在三次戰(zhàn)斗中,每一次戰(zhàn)斗中每一方戰(zhàn)艦損失都是對(duì)方戰(zhàn)艦的5%.下面的數(shù)據(jù)展示了每次戰(zhàn)斗的數(shù)值解.戰(zhàn)斗A階段1234英方軍力1312.8512.732512.6471法方軍力32.351.70751.070875戰(zhàn)斗B階段英方軍力法方軍力126.647118.0709225.743616.7385324.906615.4514424.134114.2060523.423812.9993

39、622.773811.8281722.182410.6895821.64799.5803921.16898.49791020.74407.43951120.37206.40231220.05195.38371319.78274.38111419.56373.39201519.39412.41381619.27341.4441戰(zhàn)斗C階段英方軍力法方軍力119.273414.4441218.551213.4804317.877212.5529417.249511.6590516.666610.7965616.12689.9632715.62869.1569815.17078.3754914.752

40、07.61691014.37116.87931114.02726.16071213.71915.45941313.44624.77341413.20754.10111513.00243.44071612.83042.79061712.69092.14911812.58341.5146我們利用分割并各個(gè)擊敗戰(zhàn)略的模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與歷史上真正發(fā)生的戰(zhàn)斗結(jié)果類(lèi)似.在納爾遜爵士領(lǐng)導(dǎo)下的英軍艦隊(duì)確實(shí)贏得了特拉法爾加戰(zhàn)斗.盡管法西聯(lián)軍沒(méi)有參加第三次戰(zhàn)斗而是把約13艘戰(zhàn)艦撤回到了法國(guó).不幸的是,納爾遜爵士在戰(zhàn)斗中陣亡了,但是他的戰(zhàn)略卻避免了英軍損失掉他們的艦隊(duì).(實(shí)際情況是我們無(wú)法得知每次遭遇戰(zhàn)中的損失百分比

41、)例3 競(jìng)爭(zhēng)獵獸模型斑點(diǎn)貓頭鷹和隼一種斑點(diǎn)貓頭鷹在其棲息地(該棲息地也支持隼的生存)為生存而斗爭(zhēng).假定在沒(méi)有其他種群存在的情形下,每個(gè)單獨(dú)的種群都可以無(wú)限地增長(zhǎng),即在一個(gè)時(shí)間區(qū)間里(例如,一天)其種群量的變化與該時(shí)間區(qū)間開(kāi)始時(shí)的種群量成正比.設(shè)表示貓頭鷹在第n天結(jié)束時(shí)的種群量,表示與之競(jìng)爭(zhēng)的隼的種群量,那么:, .其中表示增長(zhǎng)率.第二個(gè)種群的存在將降低另一個(gè)種群的增長(zhǎng)率.假設(shè)這種增長(zhǎng)率的減少大約和兩個(gè)種群之間的可能的相互作用成正比,我們研究下面的差分方程組模型:即, 我們選擇特定的系數(shù)得到下面具體的方程組平衡點(diǎn)根據(jù)前面介紹過(guò)的平衡點(diǎn)概念,我們知道若該動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為,則有,從而平衡點(diǎn)應(yīng)該滿足

42、容易看出平衡點(diǎn)有兩個(gè),分別是.下面我們分析兩種生物的種群量在平衡點(diǎn)附近時(shí),種群量會(huì)有怎樣的變化.考慮下面的三種情形:貓頭鷹隼情形1151199情形2149201情形31010我們依次將上面三種不同情形對(duì)應(yīng)的起始值帶入到我們建立的方程組模型中,得到種群量的數(shù)值解,結(jié)果用下面的圖形表示.對(duì)初始條件的敏感性和長(zhǎng)期行為分析假定我們?cè)跅⒌刂邪仓昧?50頭貓頭鷹和隼.如果150頭為貓頭鷹,那么我們的模型預(yù)測(cè)貓頭鷹將永遠(yuǎn)停留在150頭的數(shù)量上.如果從棲息地移走一頭貓頭鷹(剩下149頭),那么我們的模型預(yù)測(cè)貓頭鷹將會(huì)滅絕.然而,如果在棲息地安置151頭貓頭鷹,那么我們的模型預(yù)測(cè)貓頭鷹將會(huì)無(wú)限增長(zhǎng)而隼會(huì)消失.

43、由此可見(jiàn)這個(gè)模型對(duì)初始條件是極其敏感的(不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)).例4 對(duì)政黨的投票趨勢(shì)考慮由共和黨、民主黨和獨(dú)立派組成的一個(gè)三政黨系統(tǒng)。假設(shè)在下一次選舉中，曾經(jīng)投票給共和黨的選民中的75%仍將選票投給共和黨，他們中的5%將投票給民主黨，而20%將投票給獨(dú)立派。曾經(jīng)投票給民主黨的選民中的20%將投票給共和黨，60%將再次投票給民主黨，而20%將投給獨(dú)立派。曾經(jīng)投票給獨(dú)立派的選民中的40%將投票給共和黨，20%投給民主黨，而40%將再次投票給獨(dú)立派。假設(shè)從一次選舉到下一次選舉都保持這種趨勢(shì)，還假設(shè)沒(méi)有額外的選民進(jìn)入或離開(kāi)該系統(tǒng)，如圖所示令n表示第n次選舉，并定義：第n次選舉投共和黨票的人數(shù)；：第n次選舉

44、投民主黨票的人數(shù)；：第n次選舉投獨(dú)立派票的人數(shù)；則可以建立下面的動(dòng)力系統(tǒng)模型：平衡點(diǎn)設(shè)平衡點(diǎn)為，則根據(jù)平衡點(diǎn)概念，應(yīng)該有該方程組有無(wú)窮多解（為什么？）。就是它的一個(gè)解。假定該系統(tǒng)有399998個(gè)選民，那么就近似地應(yīng)該是平衡點(diǎn)。下面我們分析在不同起始值情形下,選民數(shù)會(huì)有怎樣的變化.考慮下面的四種情形:共和黨民主黨獨(dú)立派情形1222 22177 777100 000情形2227 22182 77790 000情形3100 000100 000199 998情形400399 998 我們依次將上面四種不同情形對(duì)應(yīng)的起始值帶入到我們建立的方程組模型中,得到選票數(shù)的數(shù)值解,結(jié)果用下面的圖形表示.對(duì)初始條件的敏感性和長(zhǎng)期行為分析假定一開(kāi)始該系統(tǒng)有399998個(gè)選民,而且全部留在該系統(tǒng)中.至少對(duì)于我們研究的起始值來(lái)說(shuō),