考研數(shù)學(xué)模擬試卷

1、考研數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題（110小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).）（1）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，是的 （ ）（A）等階無窮小 （B）同階但不等價(jià)的無窮?。–）高階無窮小 （D）低階無窮?。?）下列結(jié)論中正確的是 （ ）(A) 與都收斂. （B）與都發(fā)散.(C) 發(fā)散，收斂. (D) 收斂，發(fā)散.（3）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足條件及，則 （ ） （A） （B）（C） （D）（4）設(shè),其中，則 （ ）(A) . （B）.(C) . (D) . （5）設(shè)可微函數(shù)滿足，則 （ ）（A）是的極小值（B）是的極大值（C）是曲線

2、的拐點(diǎn)（D）不是的極值，也不是曲線的拐點(diǎn)（6）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是的原函數(shù)，則 （ ）（A）當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，必為偶函數(shù)；（B）當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，必為奇函數(shù)；（C）當(dāng)是周期函數(shù)時(shí)，必為周期函數(shù)；（D）當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，必為單調(diào)增函數(shù)（7）設(shè)均為n階方陣，且滿足，其中為n階單位矩陣，則 （ ）（A） （B）（C） （D） （8）已知矩陣經(jīng)初等行變換，化為，則必有（ ）（A） （B）（C） （D）線性無關(guān)（9）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 1 b 0.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則 （ ）(A) =0.2, b=0.3 (B) =0.4, b=0.1(C) =0.3, b=

3、0.2 (D) =0.1, b=0.4 （10）設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，則下述選項(xiàng)不正確的是 （ ）（A） （B）（C） （D）二、填空題（1116小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.）（11） （12）微分方程滿足初始條件的特解為 （13）微分方程的通解為 （14）設(shè)行向量組，線性相關(guān)，且，則= （15）設(shè)矩陣相似于對角矩陣，則 （16）設(shè)二維正態(tài)變量的邊緣分布為，且，則 三、解答題（1724小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（17）（本題滿分8分）設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求（18）（本題滿分9分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：(I)存在，使；(II

4、)對任意實(shí)數(shù)，必存在，使得（19）（本題滿分9分）某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，總收入與兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量和的函數(shù)關(guān)系是總成本與產(chǎn)量和的函數(shù)關(guān)系是（I）在產(chǎn)量和不受限制的情況下，該廠應(yīng)如何確定兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，才可獲得最大的利潤？ 最大利潤是多少？ （II）若限于原料供應(yīng)情況，要求兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量固定為30不變時(shí)，又應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才可獲得最大的利潤？這時(shí)的最大利潤是多少？（20）（本題滿分8分）設(shè)，在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，,證明：對任何a,有（21）（本題滿分13分）線性方程組（i）與（ii）有公共的非零解，求的值和全部公共解（22）（本題滿分13分）設(shè)A為三階矩陣，是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足，.(I)

5、 求矩陣B, 使得；（II）求矩陣A的特征值；（III）求可逆矩陣P, 使得為對角矩陣（23）（本題滿分13分）設(shè)，相互獨(dú)立，服從區(qū)間上的均勻分布，服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的概率密度函數(shù)（24）（本題滿分13分）某公司新近生產(chǎn)了某種電子元件5套，其中甲等品3套現(xiàn)有宏達(dá)與茂源兩家企業(yè)先后來購買這種元件，宏達(dá)購買1套，源茂購買2套，設(shè)，分別表示宏達(dá)和源茂購買到的甲等品套數(shù)求：(I) 與的聯(lián)合分布律；(II) 與的相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)模擬試卷參考答案詳解一、選擇題（110小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).）（1） B【詳解】 所

6、以選B【重點(diǎn)提示】 要善于利用等價(jià)無窮小的替換，如當(dāng)時(shí)，等都是等價(jià)無窮小，也是比較常用的等價(jià)無窮?。?） D【詳解】=，積分收斂，=，積分發(fā)散.【重點(diǎn)提示】 直接計(jì)算相應(yīng)積分，判定其斂散性即可。廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袛?，一般只要求掌握通過計(jì)算能判定的情形。（3）B【詳解】把兩邊對求導(dǎo)，有，再求導(dǎo)，有 a 再把兩邊對求導(dǎo)，有 b由a與 b得【重點(diǎn)提示】本題的重難點(diǎn)是對多元函數(shù)求偏導(dǎo)，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)，要注意當(dāng)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，。（4）A【詳解】 在區(qū)域上，有，從而有由于在 上為單調(diào)減函數(shù)，于是因此 ，故應(yīng)選(A)【重點(diǎn)提示】 本題比較二重積分大小，本質(zhì)上涉及到用重積分的不等式性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分

7、析討論，關(guān)鍵在于比較、與在區(qū)域上的大?。?） A【詳解】 因?yàn)榭晌?，所以連續(xù)，則，因?yàn)?，所?所以是的極小值【重點(diǎn)提示】 注意當(dāng)時(shí)，是的駐點(diǎn)，此時(shí)，若，則在處取得極小值，反之則在處取得極大值若，則不是極值點(diǎn)（6） A【詳解】 設(shè)，是連續(xù)函數(shù)，所以可導(dǎo)，且若為奇函數(shù)，則，此時(shí)為偶函數(shù)【重點(diǎn)提示】 直接利用定義求出原函數(shù)，本題也可通過舉反例來一一排除，如等（7）A【詳解】：把兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)置，得，則與互為逆矩陣，則【重點(diǎn)提示】本題屬于基本題型，直接利用概率基本公式求解即可（8） A【詳解】 初等行變換不改變矩陣的列向量之間的線性關(guān)系，對于變換后的矩陣，顯然有，所以【重點(diǎn)提示】 初等行變換不改變矩陣的列

8、向量之間的線性關(guān)系，初等列變換不改變矩陣的行向量之間的線性關(guān)系，這是矩陣變換的基本性質(zhì)（9）B【詳解】 由題設(shè)，知，又事件與相互獨(dú)立，于是有【重點(diǎn)提示】首先所有概率求和為1，可得, 其次，利用事件的獨(dú)立性又可得相關(guān)等式由此可確定a , b的取值即=，由此可解得=0.4, b=0.1（10） C【詳解】 因?yàn)椴幌嚓P(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，從而，【重點(diǎn)提示】 注意不論如何都得不到，這個(gè)等式絕對不成立二、填空題（1116小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.）（11）【詳解】 【重點(diǎn)提示】 本題屬于基本題型，直接用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行計(jì)算即可，若在某變化過程下，則如當(dāng)時(shí)，等都是等價(jià)無窮小（12

9、）【重點(diǎn)提示】 直接積分即可.本題雖屬于基本題型， 也可先變形 ，再積分求解【詳解】 原方程可化為，積分得 ，代入初始條件得C=2，故所求特解為 （13）【詳解】 原方程可寫為令，則，代入原方程，得，分離變量得兩邊積分得：即（其中C為任意常數(shù)）【重點(diǎn)提示】 這是微分方程中比較常見的題型，是齊次方程與可分離變量方程的復(fù)合形式，解分離變量方程的方法必須掌握（14） 【詳解】 由題設(shè)，有 , 得，但題設(shè)，故【重點(diǎn)提示】個(gè)4維向量線性相關(guān)，必有其對應(yīng)行列式為零，由此即可確定當(dāng)向量的個(gè)數(shù)小于維數(shù)時(shí)，一般通過初等變換化階梯形討論其線性相關(guān)性（15） 0【詳解】 ，解得：又因?yàn)锳可對角化，所以A的屬于特征值

10、的線性無關(guān)的特征向量有2個(gè)，即有非零解所以，而，所以【重點(diǎn)提示】 容易先求出A的特征值，然后根據(jù)可對角化方陣的性質(zhì)，得到的秩不是滿秩，再通過行列式為0來求解的值（16）【詳解】 因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立，又，則，所以【重點(diǎn)提示】 如果，所以與相互獨(dú)立，這是判斷獨(dú)立的一種方法。相互獨(dú)立的正態(tài)變量的線性運(yùn)算仍是正態(tài)變量，要注意運(yùn)算后的正態(tài)變量的數(shù)學(xué)特征的變化三、解答題（1724小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（17）【詳解】 由已知條件可得，所以 =【重點(diǎn)提示】 先求出二階偏導(dǎo)數(shù)，再代入相應(yīng)表達(dá)式即可，但在求偏導(dǎo)數(shù)的過程中應(yīng)注意計(jì)算的準(zhǔn)確性（18）【證明】 (I)設(shè)，則在上連

11、續(xù)，且，由介值定理可知存在，使，即(II)設(shè)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且又由羅爾定理可知，存在，使得即【重點(diǎn)提示】 先構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)連續(xù)與可導(dǎo)的性質(zhì)，利用中值定理證明問題，其中關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，這就需要經(jīng)驗(yàn)，要掌握一些比較常見的函數(shù)的構(gòu)造（19）【詳解】 （I）由題意可知總利潤函數(shù)，令，解得。又產(chǎn)量和不受限制，所以計(jì)算表明當(dāng)時(shí)可獲得最大利潤，且最大利潤為，即為所求（II）由題意得此時(shí)可引入拉格朗日函數(shù)，令，解得，。所以當(dāng)時(shí)可獲得最大利潤，且最大利潤為， 【重點(diǎn)提示】 先求出總利潤函數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)為0來求極值，求出最大利潤。在第（II）問中，由于總產(chǎn)量固定為30不變，故通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)來求極

12、值（20）【證明】 設(shè)，則F(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且，由于時(shí)，因此，即F(x)在0，1上單調(diào)遞減又，=，所以F(1)=0.因此時(shí)，由此可得對任何，有【重點(diǎn)提示】 可用參數(shù)變易法轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式證明，或根據(jù)被積函數(shù)的形式，通過分部積分討論對于積分不等式的證明，主要有兩個(gè)途徑：一是轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式，二是通過恒等變形，如變量代換、分部積分等，再用積分的不等式性質(zhì)進(jìn)行討論（21）【詳解】 因?yàn)榫€性方程組（i）、（ii）有公共的非零解，所以它們的聯(lián)立方程組（iii）有非零解，即（iii）系數(shù)矩陣A的秩小于4。對矩陣A進(jìn)行初等行變換，得，所以且此時(shí)可解方程組，得，即為（iii）的一個(gè)非零解又，所以

13、構(gòu)成（iii）的基礎(chǔ)解系。因此，（i）和（ii）的全部公共解為（其中k為任意常數(shù)）【重點(diǎn)提示】 若方程組有非零解，系數(shù)矩陣的秩小于n（n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)），求解線性方程組是非常重要的一個(gè)知識點(diǎn)（22）【詳解】（I） ，可知（II）因?yàn)槭蔷€性無關(guān)的三維列向量，可知矩陣可逆，所以，即矩陣A與B相似，由此可得矩陣A與B有相同的特征值. ，得矩陣B的特征值，也即矩陣A的特征值為（III）對應(yīng)于，解齊次線性方程組(E-B)X=0，得基礎(chǔ)解系，；對應(yīng)于，解齊次線性方程組(4E-B)X=0，得基礎(chǔ)解系令矩陣，則又因?yàn)?，令矩?，則P即為所求的可逆矩陣【重點(diǎn)提示】 利用(I)的結(jié)果相當(dāng)于確定了A的相似矩陣，求矩陣