三角形的內(nèi)切圓

1、 小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，且使圓的面積最大。下圖是他的幾種設計，請同學們幫他確定一下。ABC思考思考如何確定一個與三角形三邊都相如何確定一個與三角形三邊都相切的圓的圓心位置與半徑的長？切的圓的圓心位置與半徑的長？ CABABCM已知：已知： ABC（如圖）如圖）求作：和求作：和ABC的各邊都相切的圓的各邊都相切的圓作法：作法：1. 作作ABC、 ACB的平分線的平分線BM和和CN，交點為交點為I.N ID例例1 作圓，使它和已知三角形的各邊都相切作圓，使它和已知三角形的各邊都相切2. 過點過點I作作IDBC，垂足為垂足為D.3. 以以I為圓

2、心，為圓心，ID為半徑作為半徑作 I. I就是所求的圓就是所求的圓.1、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的角形的內(nèi)心內(nèi)心，內(nèi)心是三角形三條角平內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點分線的交點.這個三角形叫做圓的這個三角形叫做圓的外切外切三角形三角形。2、性質(zhì)、性質(zhì): 內(nèi)心到三角形三邊的內(nèi)心到三角形三邊的距離相距離相等等；內(nèi)心與頂點連線；內(nèi)心與頂點連線平分內(nèi)角平分內(nèi)角。O圖圖2AB C名稱名稱確定方法確定方法圖形圖形性質(zhì)性質(zhì)外心：外心：三角形三角形外接圓外接圓的圓心的圓心內(nèi)心：內(nèi)心：三角形三角形內(nèi)切

3、圓內(nèi)切圓的圓心的圓心三角形三邊垂直三角形三邊垂直平分線的交點平分線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三外心不一定在三角形的內(nèi)部角形的內(nèi)部三角形三條角平分線三角形三條角平分線的交點的交點1.到三邊的距離到三邊的距離相等；相等；2.OA、OB、OC分別平分分別平分BAC、ABC、ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)內(nèi)心在三角形內(nèi)部部oABCOABC 1.如圖如圖1，ABC是是 O的的 三角形。三角形。 O是是ABC的的 圓，圓， 點點O叫叫ABC的的 ， 它是三角形它是三角形 的交點。的交點。外接外接內(nèi)接內(nèi)接外心外心三邊垂直平分線三邊垂直平分線2.如圖如圖2，DEF是是 I的的 三角形，三角形， I是

4、是DEF的的 圓，圓， 點點I是是 DEF的的 心，心， 它是三角形它是三角形 的交點。的交點。ABCO圖圖1IDEF圖2外切外切內(nèi)切內(nèi)切內(nèi)內(nèi)三個角的平分線三個角的平分線DEFG.O3. 如上圖，四邊形如上圖，四邊形DEFG是是 O的的 四四邊形，邊形， O是四邊形是四邊形DEFG的的 圓圓.內(nèi)切內(nèi)切外切外切例例2 2 已知：如圖已知：如圖, , ABCABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓O O與與BC BC 、CACA、 AB AB 分別相交于點分別相交于點D D 、 E E 、 F F ，且，且ABAB9 9厘米，厘米，BC BC 1414厘米厘米,CA ,CA 1313厘米厘米, ,求求AFAF、BD

5、BD、CECE的長的長。AECDBFO（2 2）若）若A=80 A=80 ，則則BOC = BOC = 度。度。（3 3）若）若BOC=100 BOC=100 ，則則A = A = 度。度。解解:13020（1）點點O是是ABC的內(nèi)心，的內(nèi)心， BOC=180 (1 3)= 180 (25 35 )練習練習1. 如圖，在如圖，在ABC中，點中，點O是內(nèi)心，是內(nèi)心， （1）若）若ABC=50， ACB=70，求求BOC的度數(shù)的度數(shù)ABCO=120 )1(32)4(同理同理 3= 4= ACB= 70 =35 2121 1= 2= ABC= 50= 252121理由：理由： 點點O是是ABC的內(nèi)心

6、，的內(nèi)心， 1 3 = （ABC+ ACB）21 1= ABC， 3= ACB2121= 180 （ 90 A ）21= （180 A ）21= 90 + A21= 90 A21答：答： BOC =90 + A21（4）試探索：）試探索： A與與BOC之間存之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由。在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由。ABCO)1(32)4(在在OBC中，中，BOC =180 （ 1 3 ）練習練習2：ABCABC 的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為r，ABCABC 周長為周長為L，求求ABCABC 的面積的面積S。COBADEFrLS21= =r 練習練習3. 如圖，如圖，ABC中，中，O是內(nèi)心，是內(nèi)心，A的平分線的平分線和和ABC的外接圓相交于點的外接圓相交于點D.