三重積分概念與計算

1、 第三節(jié)一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算三重積分的概念與計算 第九章 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想類似二重積分解決問題的思想, 采用采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì)物質(zhì),),(Czyx求分布在求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的內(nèi)的物質(zhì)的可得可得nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質(zhì)量質(zhì)量 M .密度函數(shù)為密度函數(shù)為 定義定義. . 設(shè)設(shè),),( , ),(zyxzyxfkk

2、knkkvf),(lim10存在存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對若對 作作任意分割任意分割: 任意取點任意取點則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在在 上的上的三重積分三重積分.在直角坐標系下常寫作在直角坐標系下常寫作),2,1(nkvk,),(kkkkv下列下列“乘乘積和式積和式” 極限極限記作記作性質(zhì)：三重積分的性質(zhì)與二重積分相似性質(zhì)：三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.1),(zyxf例如例如:當(dāng)當(dāng) 時時, 為立體為立體 的體積。的體積。 dvzyxf),(又如：中值定理又如：中值定理：),(zyxf設(shè)在有界閉域在有界閉域 上連續(xù)上連續(xù), V

3、 為為 的體積的體積則存在則存在 使得使得,),(vzyxfd),(Vf),( 二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù)先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù)的密度函數(shù) , 方法方法: zxyDDyxdd 方

4、法方法1. 1. 投影法投影法 (“(“先一后二先一后二” ) ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(dd),(2yxzz ),(1yxzz yxdd記作記作 ab方法方法2. 2. 截面法截面法 (“(“先二后一先二后一”) )bzaDyxz),(:為底為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為為高的柱形薄片質(zhì)量為zD以xyz該物體的質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zz

5、yxfd),(面密度面密度zd記作記作 投影法投影法方法方法3. 3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd 小結(jié)小結(jié): : 三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次積分三次積分”),(),

6、(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計算時應(yīng)根據(jù)具體計算時應(yīng)根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法三種方法(包含包含12種形式種形式)各有特點各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇. 例例1.化化 為三次積分，為三次積分， 由曲面由曲面dxdydzzyxfI),(zxy及平面及平面 圍成圍成., 01yx0zzoxyxyD解：如圖解：如圖xyxDxyzxy10 , 10:,0:所以所以xyDdxdyIxydzz

7、yxf0),(xyxdzzyxfdydx01010),( 其中其中 為三個坐標為三個坐標例例3. 3. 計算三重積分計算三重積分,dddzyxz1zyx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .解解: :如圖，如圖， ： 面及平面面及平面xyzo111, 10 zzD為為 面上面上 軸，軸，xoyxy軸和軸和 圍成的等腰直角三角形圍成的等腰直角三角形.zyx1所以所以zdxdydzzDdxdyzdz10102)1 (21dzzz241 注：此題亦可嘗試用投影法求解三重積分注：此題亦可嘗試用投影法求解三重積分 例例4. 計算三重積分計算三重積分dxdydzz，其中，其中是上半橢球體是上半橢球體 . 122

8、2222czbyax解：解：:,0cz.1:222222czbyaxDzdxdydzz則則zDcdxdyzdz0而而)1 ()1 (222222czbczaSdxdyzzDD),1 (22czab 原式原式czdzczab022)1 (.412abc oxyz2. 2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè),代替用極坐標將yx),z（則就稱為點就稱為點M 的柱坐標的柱坐標.z200sinyzz cosx直角坐標與柱面坐標的關(guān)系直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:常數(shù)坐標面分別為坐標面分別為圓柱面圓柱面常數(shù)半平面半平面常數(shù)z平面平面oz),(zyxM)0 ,(yx 如圖所示

9、如圖所示, , 在柱面坐標系中體積元素為在柱面坐標系中體積元素為zzdddzvdddd因此因此zyxzyxfddd),(),(zF其中其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標表示時表面用柱面坐標表示時方程簡單方程簡單 ;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標表示時用柱面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.zdddxyzodd 例例2.計算計算 , 其中其中 由錐面由錐面zyxyxIddd1122 , 222zyx平面平面 圍成圍成.1z用投影法用投影法., 1, 10 ,20:22zyxrrDxyxyDdxdyI1222211yxdzyxxyDrdrd

10、1211rdzr1102201rdzdrrrd102)d111(2rrr)222(ln o oxyz例例5. 5. 計算三重積分計算三重積分解解: 在柱面坐標系下在柱面坐標系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成所圍成 .與平面與平面其中其中 由拋物面由拋物面42rzvdddd原式原式 = 3. 3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標為就稱為點就稱為點M 的球坐標的球坐標.直角坐標與球面坐標的關(guān)系直角坐標與球面坐標的關(guān)系,

11、ZOMMoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標面分別為坐標面分別為常數(shù)r球面球面常數(shù)半平面半平面常數(shù)錐面錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz 如圖所示如圖所示, , 在球面坐標系中體積元素為在球面坐標系中體積元素為ddddsind2rrv 因此有因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標表示時表面用球面坐標表示時方程簡單方程簡單;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標表示時用球面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.dddsin2rr

12、xyzodrrdd 例例6. 如圖，求立體如圖，求立體 的體積，的體積，)2 , 0 , 0(a為為 在在 軸的交點軸的交點. z上曲面球心在上曲面球心在 ), 0 , 0(a,半徑為半徑為R,下錐面半頂角為下錐面半頂角為 . xa2zyo解：解： 邊界曲面方程為邊界曲面方程為2222)(aazyx在球坐標系下方程為在球坐標系下方程為cos2ar 可表示為可表示為cos20 ,0 ,20:ar cos202020sinadrrdddxdydzV所以所以則則0cos203)(sin32dra).cos1 (3443a 例例7. 7. 計算三重積分計算三重積分,)(222zdydxdzyx22yx

13、z為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標系下在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體所圍立體.40Rr 020其中其中 與球面與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域積分區(qū)域多由坐標面多由坐標面被積函數(shù)被積函數(shù)形式簡潔形式簡潔, 或或坐標系坐標系 體積元素體積元素 適用情況適用情況直角坐標系直角坐標系柱面坐標系柱面坐標系球面坐標系球面坐標系* * 說明說明: :三重積分也有類似二重積分的三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應(yīng)

14、雅可比行列式為對應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離變量可分離.圍成圍成 ; 2,zxz1. 將將. )(),(Czyxf用三次積分表示用三次積分表示, ,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中其中 由由所所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20dx思考與練習(xí)思考與練習(xí)六個平面六個平面圍成圍成 ,: 2. 2. 設(shè)設(shè), 1:222zyx計算計算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用對稱性利用對稱性原式原式 = 122ddyxyx0奇函數(shù)奇函數(shù)222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz zoxy23. 3. 設(shè)設(shè) 由錐面由錐面22yxz和球面和球面4222zyx所圍成所圍成 , 計算計算.d)(2vzyxI提示提示:4利用