中考數(shù)學(xué)中的分段函數(shù)題型解法舉例

1、中考數(shù)學(xué)中的分段函數(shù)題型解法舉例 儀隴縣實踐數(shù)學(xué)名師工作室何直分段函數(shù)，是近幾年中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的題型。它是考查分類思想，讀取、搜集、處理圖像信息等綜合能力的綜合題。這些分段函數(shù)都是直線型。通常是正比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的圖像構(gòu)成。下面我們歸納分析如下，供學(xué)復(fù)習(xí)時參考。1、二段型分段函數(shù)1.1正比例函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)解答這類分段函數(shù)問題的關(guān)鍵,就是分別確定好正比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。例1某家庭裝修房屋，由甲、乙兩個裝修公司合作完成，選由甲裝修公司單獨裝修3天，剩下的工作由甲、乙兩個裝修公司合作完成工程進度滿足如圖1所示的函數(shù)關(guān)系，該家庭共支付工資8000元（1）完成此

2、房屋裝修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工資，甲裝修公司應(yīng)得多少元？解析：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x，因為圖象經(jīng)過點（3，），所以，= k1×3，所以k1=，所以y=x，0x3設(shè)一次函數(shù)的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（是常數(shù)）因為圖象經(jīng)過點（3，），（5，），所以，由待定系數(shù)法得：，解得：一次函數(shù)的表達(dá)式為，所以，當(dāng)時，解得完成此房屋裝修共需9天。方法2解：由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是，乙工作的效率： 1、 乙合作的天數(shù)：（天）甲先工作了3天，完成此房屋裝修共需9天（2）由正比例函數(shù)的解析式：y=x，可知：甲的工作效率是 ，所以，甲9天完成的工作量是：

3、，甲得到的工資是：（元）評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的工作效率。例2、一名考生步行前往考場， 10分鐘走了總路程的，估計步行不能準(zhǔn)時到達(dá)，于是他改乘出租車趕往考場，他的行程與時間關(guān)系如圖2所示（假定總路程為1），則他到達(dá)考場所花的時間比一直步行提前了（ ）A20分鐘 22分鐘 24分鐘 D26分鐘解析：步行前往考場，是滿足正比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x，因為圖象經(jīng)過點（10，），所以，= k1×10，所以k1=，所以y=x，0x10由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是，所以，步行前往考場需要的時間是：1÷=40（分鐘），乘出租車趕往考場，是滿足

4、一次函數(shù)關(guān)系，所以，設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=k2x+b，（是常數(shù)），因為圖象經(jīng)過點（10，），（12，），所以，由待定系數(shù)法得：，解得：解得：，一次函數(shù)的表達(dá)式為：，所以，乘出租車趕往考場用的時間是：x=÷，解得：x=6分鐘，所以，先步行前往考場，后乘出租車趕往考場共用時間為：10+6=16分鐘，所以，他到達(dá)考場所花的時間比一直步行提前了：40-16=24（分鐘），故選C。評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的行使速度。例3、某公司專銷產(chǎn)品A，第一批產(chǎn)品A上市40天內(nèi)全部售完該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的市場銷售情況進行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖(3)中的折線表示的是市場

5、日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖(4)中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系（1）試寫出第一批產(chǎn)品A的市場日銷售量y與上市時間t的關(guān)系式；（2）第一批產(chǎn)品A上市后，哪一天這家公司市場日銷售利潤最大？最大利潤是多少萬元？解析：(1) 由圖3可得， 當(dāng)0t30時，市場日銷售量y與上市時間t的關(guān)系是正比例函數(shù)，所以設(shè)市場的日銷售量：y=kt， 點（30，60）在圖象上， 60=30k k=2即 y=2t， 當(dāng)30t40時，市場日銷售量y與上市時間t的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系，所以設(shè)市場的日銷售量：y=k1t+b， 因為點（30，60）和（40，0）在圖象上，所以 ，解得 k1=6，b=240 y

6、=6t+240 綜上可知，當(dāng)0t30時，市場的日銷售量：y=2t，當(dāng)30t40時，市場的日銷售量：y=-6t+240。 (2) 由圖4可得， 當(dāng)0t20時，市場銷售利潤w與上市時間t的關(guān)系是正比例函數(shù)，所以設(shè)市場的日銷售量：w=kt， 點（20，60）在圖象上， 60=20k k=3即 w=3t， 當(dāng)20t40時，市場銷售利潤w與上市時間t的關(guān)系是常數(shù)函數(shù)，所以，w=60， 當(dāng)0t20時，產(chǎn)品的日銷售利潤：m=3t ×2t =6t2 ； k=60，所以，m隨t的增大而增大， 當(dāng)t=20時，產(chǎn)品的日銷售利潤m最大值為：2400萬元。 當(dāng)20t30時，產(chǎn)品的日銷售利潤：m=60×

7、;2t =120t， k=1200，所以，m隨t的增大而增大， 當(dāng)t=30時，產(chǎn)品的日銷售利潤m最大值為：3600萬元； 當(dāng)30t40時，產(chǎn)品的日銷售利潤：m60×(-6t+240)=-360t+14400；k=-3600，所以，m隨t的增大而減小， 當(dāng)t30時，產(chǎn)品的日銷售利潤mm最大值為：3600萬元， 綜上可知，當(dāng)t30天時，這家公司市場的日銷售利潤最大為3600萬元評析：本題不僅考查同學(xué)們對分段函數(shù)意義的理解，而且同時還考查了同學(xué)們對分類思想的掌握情況，和對一次函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用。1.2一次函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)例4、為了鼓勵小強做家務(wù)，小強每月的費用都是根據(jù)上月他的

8、家務(wù)勞動時間所得獎勵加上基本生活費從父母那里獲取的若設(shè)小強每月的家務(wù)勞動時間為x小時，該月可得（即下月他可獲得）的總費用為y元，則y（元）和x（小時）之間的函數(shù)圖像如圖5所示（1）根據(jù)圖像，請你寫出小強每月的基本生活費；父母是如何獎勵小強家務(wù)勞動的？（2）若小強5月份希望有250元費用，則小強4月份需做家務(wù)多少時間？解：（1）從圖象上可知道，小強父母給小強的每月基本生活費為150元 ； 當(dāng)0x20時，y（元）是x（小時）的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=k1x+150，同時，圖象過點（20，200），所以，200=k1×20+150，解得：k1=2.5，所以，y=2.5x+150，當(dāng)20x時，y

9、（元）是x（小時）的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=k2x+b，同時，圖象過點（20，200），（30，240），所以，解得：k2=4，b=120，所以，y=4x+120，所以，如果小強每月家務(wù)勞動時間不超過20小時，每小時獲獎勵2.5元；如果小強每月家務(wù)勞動時間超過20小時，那么20小時按每小時2.5元獎勵，超過部分按每小時4元獎勵 （2）從圖象上可知道，小強工作20 小時最多收入為200元，而5月份得到的費用為250元，大于200元，所以說明4月小強的工作時間一定超過20小時，所以應(yīng)選擇分段函數(shù)中當(dāng)20x時的一段，所以，由題意得，解得：x=32.5 答：當(dāng)小強4月份家務(wù)勞動32.5小時，5月份得到的費

10、用為250元評析：本題不僅考查同學(xué)們對分段函數(shù)意義的理解，而且同時還考查了同學(xué)們對分類思想的掌握情況，和對分段函數(shù)的選擇能力。1.3常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)例5、有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費標(biāo)準(zhǔn)如圖6所示；乙公司每月通話收費標(biāo)準(zhǔn)如表1所示（1）觀察圖6，甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應(yīng)付話費金額是 元；甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費為 元；（2）李女士買了一部手機，如果她的月通話時間不超過100分鐘，她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話時間超過100分鐘，又將如何選擇？解析：1）從圖6，可以看出，這是常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)，當(dāng)0t100

11、時，話費金額y=20；當(dāng)t100時，話費金額y是通話時間t的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=kt+b，且函數(shù)經(jīng)過點（100，20）和（200，40），所以，,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t, 所以,甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應(yīng)付話費金額是20元；當(dāng)甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費為0.2元；2)仔細(xì)觀察表1,可以知道乙公司每月通話收費y=0.15t+2.5,當(dāng)0t100時，甲公司的話費金額y=20；乙公司通話收費y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以,李女士如果月通話時間不超過100分鐘，她選擇乙通迅公司更合算；因為，0.15t+2.5=0.2t，所以，

12、t=500，所以，當(dāng)通話時間t=500分鐘時，選擇甲、乙兩家公司哪一家都可以；因為，0.15t+2.50.2t，所以，t500，所以，當(dāng)通話時間100t500分鐘時，選擇甲公司；因為，0.15t+2.50.2t，所以，t500，所以，當(dāng)通話時間t500分鐘時，選擇乙公司；2、三段型分段函數(shù)例6 如圖7，矩形ABCD中，AB1，AD2，M是CD的中點，點P在矩形的邊上沿ABCM運動，則APM的面積y與點P經(jīng)過的路程x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的（ ）解析：1）、當(dāng)0x1，y=×x×2=x；如圖8所示；2）、當(dāng)1x3，y=1×2-××2-

13、×（x-1）×1-××（3-x）=；如圖9所示；3）當(dāng)3x3.5，y=×（-x）×2=-x；如圖10所示；所以C、D兩個選項是錯誤的，又因為函數(shù)y=中的k=-0，所以直線整體應(yīng)該是分布在二、一、四象限，所以選項B也是錯誤的，所以選A。評析：對于運動型問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意借助分類的思想用變量x分別出圖形的面積。在表示面積時，要注意整體思想的運用。3、四段型分段函數(shù)例7、星期天，小強騎自行車到郊外與同學(xué)一起游玩，從家出發(fā)2小時到達(dá)目的地，游玩3小時后按原路以原速返回，小強離家4小時40分鐘后，媽媽駕車沿相同路線迎接小強，如圖11，是他們離

14、家的路程y(千米)與時間x(時)的函數(shù)圖像。已知小強騎車的速度為15千米/時，媽媽駕車的速度為60千米/時。(1)小強家與游玩地的距離是多少？(2)媽媽出發(fā)多長時間與小強相遇？解析：1）當(dāng)0x2，路程y(千米)是時間x(時)的正比例函數(shù)，且k=15，所以y=15x；所以，當(dāng)x=2時，y=2×15=30，所以，小強家與游玩地的距離是30千米。2）當(dāng)2x5，路程y(千米)是時間x(時)的常數(shù)函數(shù)，所以y=30；當(dāng)5x，路程y(千米)是時間x(時)的一次函數(shù)，且k=-15，所以，設(shè)y=-15x+b，又圖象過點（5，30），所以30=-75+b，所以b=105，所以直線BD的解析式為：y=-

15、15x+105； 仔細(xì)觀察圖象，可知道點C的坐標(biāo)為（，0），且k=60，所以，設(shè)y=60x+b，所以0=280+b，所以b=-280，所以直線CD的解析式為：y=60x-280；設(shè)媽媽出發(fā)t小時出與小強相遇，所以，60 t -280=-15t+105，解得，t=，所以，媽媽出發(fā)經(jīng)過：-=小時與小強相遇。4、五段型分段函數(shù)例8、小明同學(xué)騎自行車去郊外春游，下圖表示他離家的距離y（千米）與所用的時間x（小時）之間關(guān)系的函數(shù)圖象.（1）根據(jù)圖象回答：小明到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方需幾小時？此時離家多遠(yuǎn)？（2）求小明出發(fā)兩個半小時離家多遠(yuǎn)？（3）求小明出發(fā)多長時間距家12千米？解：（1）由圖象可知小明到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方需3小時；此時，他離家30千米（2）設(shè)直線CD的解析式為y=k1x+b1,由C