第二章綜合素能檢測(cè)

1、第二章綜合素能檢測(cè)時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小 題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的 ）1. 平行六面體ABCD AiBiCiDi中，既與AB共面也與CCi共面 的棱的條數(shù)為（）A . 3B. 4C. 5 D. 6答案C解析AB與CC1為異面直線，故棱中不存在同時(shí)與兩者平行的直線，因此只有兩類：第一類與AB平行與CC1相交的有：CD、C1D1與CG平行且與AB相交的有：BB1、AA1,第二類與兩者都相交的只有 BC,故共有5條.2. 室內(nèi)有一直尺，無(wú)論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線，它與直尺所在的直線（）A .異面 B .相

2、交C.平行 D .垂直答案D解析當(dāng)直尺與地面垂直時(shí)，地面上的任意一條直線都和直尺所在的直線垂直；當(dāng)直尺所在的直線與地面不垂直時(shí)，過(guò)直尺所在的直 線作一與地面垂直的平面，此平面與地面的交線設(shè)為a,則地面內(nèi)任一與交線a垂直的直線都與直尺所在的直線垂直.3. 如圖所示，過(guò)正方體 ABCD AiBiCiDi的頂點(diǎn)A作直線I，使I與棱AB, AD, AAi所成的角都相等，這樣的直線I可以作（）A . 1條 B. 2條C. 3條 D. 4條答案D解析連接ACi,貝S ACi與棱AB, AD, AAi所成的角都相等；過(guò)點(diǎn)A分別作正方體的另外三條體對(duì)角線的平行線，則它們與棱AB,AD, AA所在的角也相等，故

3、這樣的直線I可以作4條.4. 設(shè)P是厶ABC所在平面a外一點(diǎn)，H是P在a內(nèi)的射影，且PA, PB, PC與a所成的角相等，貝y H是厶ABC的（）A .內(nèi)心 B .外心C.垂心 D .重心答案B解析由題意知 RtAPHA織t4PHB織tHC,得HA = HB = HC, 所以H是AABC的外接圓圓心.5. 已知二面角 a I - B的大小為60° m, n為異面直線，且 m 丄a, n丄B,則m, n所成的角為（）A. 30° B. 60°C. 90° D. 120°答案B解析易知 m，n 所成的角與二面角的大小相等，故選 B.6. 下面四個(gè)命

4、題： 若直線a, b異面，b, c異面，則a, c異面； 若直線 a，b 相交， b，c 相交，貝 a，c 相交； 若a/ b,則a, b與c所成的角相等； 若a丄b, b±c,貝卩a / c.其中真命題的個(gè)數(shù)為 （）A. 4 B. 3C. 2 D. 1答案D解析異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞，故錯(cuò)；根據(jù)等角定理，可知正確；對(duì)于，在平面內(nèi)，a/6,而在空間中，a與c可 以平行，可以相交，也可以異面，故錯(cuò)誤.7. 在正方體ABCD AiBiCiDi中，E, F分別是線段 A1B1, B1C1 上的不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，如果 AiE= BiF，有下面四個(gè)結(jié)論： EF丄AAi；EF / AC

5、;EF與AC異面；EF /平面ABCD.其中一定正確的有（）A .B .C.D.答案D解析如圖所示.由于AAi丄平面AiBiCiDi, EF?平面AiBiCiDi, 則EF山Ai,所以正確；當(dāng)E, F分別是線段AiBi, BiCi的中點(diǎn)時(shí)， EF/AiCi，又AC/iCi，貝S EFAC，所以不正確；當(dāng)E, F分別不是 線段AiBi, BiCi的中點(diǎn)時(shí)，EF與AC異面，所以不正確；由于平面 AiBiCiDi 平面 ABCD, EF?平面 AiBiCiDi，所以 EF /平面 ABCD，所 以正確.Ci8設(shè)a, b為兩條不重合的直線，a, B為兩個(gè)不重合的平面，下 列命題中為真命題的是（）A .

6、若a, b與a所成的角相等，則a/bB .若 a / a, b / 伏 a/ B,則 a / bC.若 a? a, b?伏 a / b ,貝U a/ 3D .若a丄a, b丄3 a丄3貝y a丄b答案D解析選項(xiàng)A中，a , b還可能相交或異面，所以A是假命題；選項(xiàng)B中，a , b還可能相交或異面，所以B是假命題；選項(xiàng)C中，a,3還可能相交，所以C是假命題；選項(xiàng)D中，由于a丄a, a丄3則a /3 或a? 3貝卩3內(nèi)存在直線I / ,又b!p,貝卩b!l,所以alb.9. （2012大綱版數(shù)學(xué)（文科）已知正方體ABCD AiBiCQi中,E、F分別為BBi、CCi的中點(diǎn)，那么直線AE與DiF所成

7、角的余弦值為A.命題意圖本試題考查了正方體中異面直線的所成角的求解的運(yùn)用.答案D解析首先根據(jù)已知條件，連接DF ,然后則ZDFDi即為異面直線所成的角，設(shè)邊長(zhǎng)為2，則可以求解得到5= DF = DiF, DDi = 2,結(jié)合余弦定理得到結(jié)論.10. 如圖，在三棱柱ABC A' B C'中，點(diǎn)E, F, H, K分別 為 AC'，CB'，A' B，B' C '的中點(diǎn)，G ABC 的重心，從 K， H , G, B'中取一點(diǎn)作為P,使得該三棱柱恰有2條棱與平面PEF平 行，則點(diǎn)P為（ ）A . KB. HC. GD. B答案C解析應(yīng)用

8、驗(yàn)證法：選G點(diǎn)為P時(shí)，EF/A' B'且EF AB,此時(shí)恰有A' B'和AB平行于平面PEF,故選C.11. 如圖，四邊形 ABCD 中，AD / BC, AD = AB,/ BCD = 45° / BAD = 90° 將厶ABD沿BD折起，使平面 ABD丄平面BCD，構(gòu)成 四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的是（）A .平面ABD丄平面ABCB .平面ADC丄平面BDCC. 平面ABC丄平面BDCD. 平面ADC丄平面 ABC答案D解析由平面圖形易知/ BDC = 90°丁平面ABD丄平面BCD, CD丄BD, /

9、CD 丄平面 ABD. /CD 1AB.又 AB1AD, CD A AD = D ,AB丄平面ADC.又 AB?平面ABC,/.平面ADC丄平面ABC.12. （2013全國(guó)卷）已知正四棱柱ABCD AiBQDi中，AAi = 2AB, 則CD與平面BDCi所成角的正弦值等于（）23A.3B3c'21答案A解析如圖，連接AC交BD于點(diǎn)0,連接GO,過(guò)C作CH JCQ于點(diǎn)H,°】BD JAC、AA1 JBDACA AAi = ABD丄面CCACH?面ACCiAiBD JHC、OCiJHC? CH 丄面BDC1,BD A OC1 = 0HDC為CD與面BDCi所成的角,設(shè) AAi

10、 =2AB = 2, OCJ2, CCi = 2, OCi =這，CH =OC CCiOG2ch 23，sin/HDC =而=3,故選 A.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在題中的橫線上）13. 直線I與平面a所成角為30° l n a= A, m? a, A?m,則m與I所成角的取值范圍是 .答案30 ° 90°解析直線I與平面a所成的30°的角為m與I所成角的最小值，當(dāng)m在a內(nèi)適當(dāng)旋轉(zhuǎn)就可以得到I dm,即m與I所成角的最大值為90°14. 正方體ABCD AiBiCiDi中，二面角Ci -AB-C的平面角等于.答

11、案45°解析如圖所示，正方體ABCD-AiBiCiDi中，由于BC1AB, BCi1AB,則ZCiBC是二面角Ci-AB-C的平面角.又ABCCi是等腰直角三角形，則ZCiBC= 45°i5.設(shè)平面于點(diǎn)S,且點(diǎn)S位于平面a, B之間，AS= 8, BS= 6, CS= i2,則SD答案9解析如下圖所示，連接AC, BD,則直線AB,則AS= CD，812，66=sd，解得 SD= 9.16. （2013高考安徽卷）如圖正方體ABCD AiBiCiDi，棱長(zhǎng)為1,P為BC中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是 .（寫出所

12、有正確命題的編號(hào)）1 當(dāng)0<CQ<2時(shí)，S為四邊形1 當(dāng)CQ=時(shí)，S為等腰梯形31 當(dāng)CQ=4時(shí)，S與CiDi交點(diǎn)R滿足CiRi = 33 當(dāng)4<CQ<1時(shí)，S為六邊形 當(dāng)CQ= 1時(shí)，S的面積為卡6答案解析設(shè)截面與DD1相交于T,則AT/PQ,且AT= 2PQ? DT= 2CQ.1對(duì)于，當(dāng)0<CQ<2時(shí)，則0VDTV1，所以截面S為四邊形，且S 為梯形，所以為真.1對(duì)于，當(dāng)CQ= 2時(shí)，DT = 1,T與D重合，截面S為四邊形APQO1, 所以AP= D1Q，截面為等腰梯形，所以為真.311對(duì)于，當(dāng)CQ = 4, QCi = 4, DT = 2, DiT=

13、，利用三角形相似1解得，CiRi = 1，所以為真.33對(duì)于，當(dāng)4<CQ<1時(shí)，2<DT<2，截面S與線段A1D1, D1C1相交，所以四邊形S為五邊形，所以為假.對(duì)于，當(dāng)CQ= 1時(shí)，Q與Ci重合，截面S與線段AiDi相交于 中點(diǎn)G，即即為菱形APGG，對(duì)角線長(zhǎng)度為一2和3, S的面積為冷6,所以為真，綜上，選三、解答題（本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明， 證明過(guò)程或演算步驟）17. （本小題滿分10分）如右圖，在三棱柱ABC A1B1C1中， ABC 與厶A1B1C1都為正三角形且 AA1丄面ABC, F、F1分別是AC, A1C1 的中點(diǎn).求證：（1

14、）平面AB1F1 /平面C1BF；平面AB1F1丄平面ACC1A1.分析本題可以根據(jù)面面平行和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，尋找使結(jié)論成立的充分條件.證明(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，F(xiàn)、Fi分別是AC、A1C1的中點(diǎn)，/B1F1 /BF, AF1 /C1F.又B1Fln AF1= F1, C1F A BF= F,平面AB1F1 /平面 Ci BF.(2)在三棱柱 ABC A1B1C1 中，AAi 丄平面AiBiCi,.BFi 山Ai.又 BiFi _LAiCi, AiCi A AAi = Ai,BiFi 丄平面ACCiAi，而 BiFi?平面 ABiFi, 平面ABiFi丄平面ACC

15、iAi.i8.(本小題滿分i2分)如下圖所示，在四棱錐P ABCD中，F(xiàn)A丄平面 ABCD, AB= 4, BC= 3, AD = 5,Z DAB =Z ABC= 90° E 是CD的中點(diǎn).(i)證明：CD丄平面FAE;若直線PB與平面FAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P ABCD的體積.解析(1)如下圖所示，連接AC,由AB= 4, BC= 3,ZABC= 90°得 AC = 5.又AD = 5, E是CD的中點(diǎn)，所以CD山E.PA丄平面ABCD, CD?平面 ABCD，所以 PAdCD.而PA, AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以 CD丄平面P

16、AE.(2)過(guò)點(diǎn)B作BG/CD，分別與AE, AD相交于F, G,連接PF.由(1)CD丄平面PAE知，BG丄平面PAE.于是ZBPF為直線PB與平 面PAE所成的角，且BG1AE.由PA丄平面ABCD知，/PBA為直線PB與平面ABCD所成的角.AB= 4, AG = 2, BG1AF，由題意，知/PBA=/BPF,因?yàn)?sinzPBA=PAPB'sin zBPF=BFPB,所以 PA= BF.由ZDAB =BC= 90°知，AD /BC,又 BG/CD,所以四邊形 BCDG是平行四邊形，故GD = BC= 3于是AG= 2.在 RtBAG 中，AB=4, AG = 2,

17、BG1AF，所以/ 2廠AB2 16 85 十 口BG= :AB + AG = 2 5, BF = Bq = ? 5 = .于是 PA= BF = 8；55 .1又梯形ABCD的面積為S= 2X (5 + 3)X 4= 16,所以四棱錐P ABCD的體積為V= 3x sx PA=ix 16x 855=19. (本小題滿分12分)如圖所示，邊長(zhǎng)為2的等邊 PCD所在的 平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC = 2 2, M為BC的中點(diǎn).(1)證明：AM丄PM;求二面角P AM D的大小.解析(1)證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)E,連接PE, EM , EA,CD為正三角形，PEJCD, PE=

18、PDsinzPDE= 2sin60= 3.平面PCD丄平面ABCD,PE丄平面ABCD，而 AM?平面 ABCD, /PE1AM.四邊形ABCD是矩形， DE, ECM, AABM均為直角三角形，由勾股定理可求得 EM=.3，AM= 6, AE= 3,EM2 + AM2 = AE2. /AM 止M.又 PEA EM = E,/AM 丄平面 PEM,AM 1PM.(2)解：由(1)可知 EM 1AM, PM 1AM , FME是二面角P-AM D的平面角.anZPME = EME = 3= 1，/ 啟ME = 45°.二面角P AM D的大小為45°.EC20. (本小題滿分

19、12分)如圖，幾何體E ABCD是四棱錐， ABD 為正三角形，CB= CD, EC丄BD.(1) 求證：BE= DE;(2) 若/ BCD = 120° M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM /平面BEC.解析(1)設(shè)BD中點(diǎn)為O,連接OC, OE,如圖，則由BC= CD 知，CO1BD,ANB又已知CE1BD,所以BD丄平面OCE.所以BD9E,即OE是BD的垂直平分線,所以BE= DE.(2)取AB中點(diǎn)N，連接MN , DN,M是AE的中點(diǎn)，MN /BE,BD是等邊三角形，DN :AB.由ZBCD = 120°知，ZCBD= 30°,所以ZABC = 60° + 30° = 90°,即 BCAAB,所以ND /C,所以平面 MND平面BEC,故DM 平面BEC.21. (本小題滿分12分)如圖，棱柱ABC A1B1C1的側(cè)面BCCi Bi是菱形，BiC丄AiB.(1)證明：平面ABiCA平面AiBCi；設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B/平面B1CD，求A1D DC1的值