第四屆決賽一試試題

1、第四屆華杯賽決賽一試試題1 .在100以內(nèi)與77互質(zhì)的所有奇數(shù)之和是多少?2 .圖1,圖2是兩個形狀、大小完全相同的大長方形，在每個大長方形內(nèi)放入四個如圖 3所示的小長方形，斜線區(qū)域是空下來 的地方，已知大長方形的長比寬多 6cm問：圖1,圖2中畫斜線的區(qū) 域的周長哪個大？大多少？圖I3 這是一個道路圖，A處有一大群孩子，這群孩子向東或向北走，在從A開始的每個路口，都有一半人向北走，另一半人向東走，如果先后有60個孩子到路口 B,問：先后共有多少個孩子到路口 C?北2£,22 r444 .丄二-表示一個四位數(shù)，亠-表示一個三位數(shù)，A B,C, D, E, F, G代表1至9的不同的數(shù)

2、字。已知一亠一 ，問: 乘積上一匸的最大與最小值差多少？5 .一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1,最大的數(shù)是25,除1之外，這組數(shù)中的任一個數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個數(shù)之和， 問：這組數(shù)之和最大值是多少？ 當這組數(shù)之和有最小值時，這組數(shù)都有哪些數(shù)？并說明和是最小值的理 由。6 . 條大河有 A B兩個港口，水由A流向B,水流速度 是4千米/小時。甲、乙兩船同時由A向B行駛，各自不停地在 A B之 間往返航行，甲在靜水中的速度是28千米/小時，乙在靜水中速度是20 千米/小時，已知兩船第二次迎面相遇地點與甲船第二次追上乙船（不 算開始時甲、乙在 A處的那一次）的

3、地點相距40千米，求A B兩港口 的距離。1. 和為19592.圖1中畫斜線區(qū)域的周長比圖 2中畫斜線區(qū)域的周長大2AE=12cm3.走過C的人數(shù)為48 （人）4.最大值與最小值的差是 5250005.最大值是80，最小值是61,且 1+2+3+5+10+15+25=616.240 千米1. 【解】設(shè)A為100以內(nèi)所有奇數(shù)之和，B為100以內(nèi)不與77互質(zhì)的全體奇數(shù)之和，X為100以內(nèi)與77互質(zhì)的所有奇數(shù)之和，則X = A- B2顯然 A= 1 +3+5+7+ 99=二 X 50X 100= 2500又 77= 7X 117100以內(nèi)有約數(shù)7的奇數(shù)之和為7X (1 + 3+ 5 +7+9+11

4、+ 13)=二X 7X 14= 34311100以內(nèi)有約數(shù)11的奇數(shù)之和為 11X (1 + 3 + 5+7+ 9)X 5X 10=275所以 B= 343 + 275-77= 541于是，所求之和為 X = 2500-541= 1959.2. 【解】圖1中畫陰影區(qū)域的周長恰好等于大長方形的周長，圖2中畫陰影區(qū)域的周長顯然比大長方形的周長小，二者之差是2AB從圖2的豎直方向看，AB= a-CD再從圖2的水平方向看，大長方形的長是 a+ 2b,寬是2b+ CD己知大長方形的長比寬多6cm所以(a + 2b) (2b + CD)= a-CD= 6(cm)，從而 AB= 6(cm)因此，圖1中畫斜線

5、區(qū)域的周長比圖2中畫斜線區(qū)域的周長大 2AB =12cm3. 【解】在A處的孩子數(shù)目看成1份，那么可順次標出各道口處走過的孩子的份數(shù)，2丄2 1可見B處有1，C處有4。C處孩子總數(shù)是60 +48（人）4. 【解】ABCD+ EFG19 9 3可以看出A= 1,因為Ez0, 1,所以B最大為7,這時E= 2由于D G都不能是0 1,所以D+ G= 13, C+ F= 8由于Fz0 1, 2,所以C最大為5。從而三位數(shù)二一最大為759,這時34。L亠最小為234（這時'- =759最大）。- - = （1000 + 二亠）X （993 匕丄）,=1000X 993 1000X- 一 + 9

6、93X 丄八 一I X 丄亠=993000 7X丄：一一一二亠 X - :-'-1于是在二-最大時，乘積最小，：亠 最小時，乘積最大，因此，所求的差是（993000 7X 234 234X 234） （993000 7X 759 759X 759）=7X （759 234） + 759X 759 234X 234=7X (759 234) + (759 + 234) X (759 234)=7X (759 234) + 993X (759 234)=1000X <759- 234)=525000。5. 【解】數(shù)組 1，2，3，5，10，15，25的和是 61，我們證明 61 就是

7、 最小值。首先25是組中兩個數(shù)a、b的和，不妨設(shè)a>b,而除去1夕卜，組中最 小的數(shù)必定是 2(否則這最小的數(shù)不是兩個數(shù)的和，也不是 1 的兩倍)。 第三個小的數(shù)是 3 或 4,在前一種情況,第四個小的數(shù)可能是 4、 5、 6；在后一種情況,第四個小的數(shù)可能是5、 6、 8如果b>8，那么除去1, 2, 3, 4ba25(1)及 1, 2, 3, 5ba25(2)另外，其它情況各數(shù)的和均大于 61，而由于 b > 8，前一種情況，至少 要增加一個大于 4 的數(shù)，各數(shù)的和仍大于 61 ，后一種情況，各數(shù)的和 同樣會大于61,除非b= 10，相應(yīng)地a= 15,即上面所列舉的數(shù)為6

8、1 的情況如果b< 8,那么a>仃，為了將a表示成兩個數(shù)的和或一個數(shù)的兩倍，至少要有一個9 的數(shù)，這樣各數(shù)的和1+ 2+3+b+9+a+ 25= 65>61,因此只有數(shù)組 1, 2, 3, 5, 10, 15, 25使和取得最小值 61。下面，討論和的最大值，如上所述，除去1外，組中最小的數(shù)必定是2, 第三個小的數(shù)是3或4,在前一種情況，第四個小的數(shù)可能是4、5、 6;在后一種情況，第四個小的數(shù)可能是 5、6、8。要使和最大，次 大的數(shù)可取24,從而數(shù)組1，2，4，8，16，24, 25的和是80，應(yīng)為 和的最大值。6. 【解】設(shè)A、B兩個港口相距S千米，甲、乙兩船第二次迎面

9、相遇時的位置與港口 A相距x千米，甲船第二次追上乙船時的位置與港口A相距y千米。第一步先求x，甲、乙第二次迎面相遇，甲順水行(S + x)千米，逆水行 S千米，乙順水行S千米，逆水行(S x)千米，甲順水速度32( = 28 + 4)千米/小時，逆水速度24( = 28 4)千米/小時；乙順水速度 24(= 20 + 4)千米/小時，逆水速度16( = 204)千米/小時，兩船所用時間 相等，所以E + 不 S S Sr4-=+3224241632。24 24。 16即 S 十 x = 2(S x)£解得x=二S第二步求y.如果甲船在逆水時第二次追上乙，那么乙船順水行nS千米（n為自然數(shù)），逆水行（nS y）千米，甲船順水行（nS + 2S）千米，逆 水行（nS+ 2S- y）千米，并且32 斗 24_ 24+162S-y _KS-2S-2y即二去分母（兩邊同乘96）得 （3n 14）S = 2y由于左邊是S的整數(shù)倍，右邊yvS,所以必有 如果甲船在順水時第二次追上乙，那么乙船順水行 （nS + y）千米，逆水 行nS千米，甲船順水行（nS + 2S+ y）千米，逆水行（nS +