數(shù)列求和7種方法方法全_例子多

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應(yīng)的練習(xí)）一、總論:數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的置基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：=1一SHI)（利用常用公式）例1已知x =,求x +疋+x + + x+的前n項和. 2解：由等比數(shù)列求和公式得=x + r +十+ + x1-尤1_122的最大值.例2 設(shè) SR+2 + 3+n, nWN：求/

2、()（利用常用公式）解：由等差數(shù)列求和公式得 s”=丄（” + 1）, S” =丄仇+ 1）（71 +2）2 2S, 一 “( + 32)Sz 川+34n + 64當(dāng)4n =，即n=8時,8/（嘰%1502 46例4求數(shù)列，芻,寸,2 V 23解：由題可知，二仝的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積TT2462h7殳= - + + + + n 2 22 232/r1.246InS = d + - + + 222 23 242曲公 an 122222In2 n2222324V2n+l9前n項的和. 2+ +（設(shè)制錯位）（錯位二. 錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用

3、的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bj的祈n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3求和：S” =l + 3x + 5x，+7x，+ + (2一l)xi解：由題可知，（2川一1）0的通項是等差數(shù)列2n-1的通項與等比數(shù)列1的通項之積（設(shè)制錯位）設(shè) xSn = lx + 3x2 + 5x3 + 7.v4 + + (2n 一 )xn一得(1 一 x)Sn = 1 + 2x + 2亍 + 2宀 2/ + + 2嚴 一 (2 一 1 疋1 _ #一1再利用等比數(shù)列的求和公式得：（lx）S“ =l + 2x（2n-l）xZIl-x(2/1- 1)#小-(2/1 + )xn + (1

4、+ x)(Is“ =2nM)= 2- c 4 料 + 2 S”-尹練習(xí)題1已知叫匕,求數(shù)列/的前77項和SgS = 2n -1*2 - 21-2心=佔-2 + 1答案：K1 3521練習(xí)題T22尹2的前n項和為三、逆序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù) 列相加，就可以得到n個（q +5）。例5求證：C：+3G；+5C：+ + （2/? + l）C； =（h + 1）2w證明：設(shè)s” =G；+3C；+5C：+ （2 + l）C；o.把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得S “ = （2n + 1）C； + 2 - DC；-1 + + 3C： + C：

5、（反序）又由C； = C；可得S” = (2n + 1)U + 】- 1)C； + + 3C；J + C；：.o.+得 2S” =(2” + 2)(C：+C： + + C；-1 +C；) = 2(n + 1)2(反序相加)：S,、=( + 1)2“已知函數(shù)（1）證明：）+mri：f +/ HF f +/ 求110丿110丿110丿110丿的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊二右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，=/+了= = /11。丿丿帀丿兩式相加得:2S = 9xr/9)=9所以2 110丿f 1 A八令血卜血卜四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不

6、是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7求數(shù)列的前n項和：1 + 1丄+ 4,- + 7,.一 +3一 2, a cr解：設(shè) S” =（1 + 1） +（丄+ 4） +（丄+ 7） + （厶+ 3川一2） aa將其每一項拆開再重新組合得+ +S = （1 + 丄 + 丄 + + 丄y） + （1 + 4 + 7 + + 3” 一 2）（分組）當(dāng) a時，S/ + l）-1）“2,- 一 7 (3一1) a-al (3/1 -1)/1當(dāng) aH時.S”= +V 7-八 71-丄l-;r+ 一1 2（分組求和）例8求數(shù)列n (n+ 1 )

7、(2n+1) 的飾n項和.解：設(shè)ak =k(k + )2k + ) = 2k3 +3k2 +k:.Sn =為 k伙 + lX2k + 1）=工（2 疋 +3, +幻將其每一項拆開再重新組合得Sn=2乞疋+3 F+f RA:-l&1（分組）=2(1、+ 2 + /) + 3(1，+2 + 刊 + (1 + 2 +八)；r(/l+ 1)2 + 7：(/7 + 1)(2/? + 1) + 71(/1+ 1)（分組求和）n(n + )2(n + 2)2五. 裂項法求和這是分解與紐合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。

8、通項分解（裂項）如：(2)沁一= tan(, + ir-tanArCOSHCOS( + 1)1 _ 1 1n(n +1) n n + 1(2二盂 + 1) + /啟-為(5) an =ztnn -1)(/? + 2)2 n(n +1) (n + l)(n + 2)心 2 丄=2( + l)-J 丄=1_1_ 則 $ =_177(77 + 1) r n(n +1) V 77 - 2心 +1)2 ” (n + 1)2(An + B)(An + C)C_B( A” + B _ An + C)y/n +Jn + 例9 求數(shù)列、, ，的祈n項和.1 + /2 J2 + J3 Jfi + J” + 1解：

9、設(shè)心y/n +7/2 + 1=y/n + 1 - y/n（裂（裂項求和）項）yll + J/2 + 1= (V2 - y/l) + (V3 a/) + + (+ 1 - yfi) =Qn+1-1I22M10在數(shù)列中荷+荷+角，又“不打求數(shù)列Z柿項的和.解:n +1 n +1 n +12b = r = 8（）n n + n n + 2r（裂項）:.數(shù)列bj的前n項和S” =8（1 ；） + （； ；） + （； 2）+ （丄亠）（裂項求22334n n +1和）= 8（1）=斗H+l H+1（2 009年廣東）20o （本小題滿分14分）已知點（1,丄）是函數(shù)f（x） = ax（a0,且oHl

10、）的圖象上一點，等比數(shù)列心的前n項和為 3fW-c,數(shù)列b”（仇0）的首項為C,且前n項和滿足S”-Sg產(chǎn)何+用（n2）.（1）求數(shù)列和仇的通項公式;（2）若數(shù)列 !前n項和為7；,問人4竺的最小正整數(shù)n是多少？ 嘰20090?！窘馕觥?1) ./之冷，./彳卩終=/(l) c = * c ,=/(2)-c-/(l)-c =-|,=/-c-/(2)-c- .4又數(shù)列?！背傻缺葦?shù)列，4 = = t =一扌=*c,所以c = l:27又公比9 =空=丄，所以ait=-q 33 3n-l數(shù)列 朗 構(gòu)成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列, = l+（/j-l）xl = , S“ =n2當(dāng) /2,0=S“一

11、S,j=”2_s_i)2=2_i ； 化=2一1 (n e )；I盍+計+肅丘1 1 11.:1x33x55x7(2/2-1)x(2/? + 1)殳 T 冷卜新駅冷卜冷(丄T 的1 _ 料2n + l J 2n +1丄 竺得/210002n + l 20099上巴的最小正整數(shù)為112.20091 1 11 I=練習(xí)題 11乂44x7 (3乃一 2)乂(3刃+ 1)1 1 1 1十 十十.十 練習(xí)題 2。43.54.6亦+3)=答案:1.11 1 21 求數(shù)列通項公式的常用方法(1)求差(商)法練習(xí)數(shù)列滿足S” + S”i = 14泊，=4,求an注意到5+產(chǎn)S”+廠S”，代入得子=4又S嚴4,

12、S”是等比數(shù)列，S”=4“n 2B+, an = S廠昭 34心(2)疊乘法如：數(shù)列a中，4=3,也已=!,求山an n +1如 4 an 12 n-l 色 1 c o 3解 !_ = _ ,一1 =又q=3, “”= a a2 %2 3 na、 nn .(3) 等差型遞推公式由勺一i = fMf Oj =aQ9求an9用迭加法= f 心2時，廠廠/ 炳邊相加得6一5=/（2） + /+ /（n）a” 一綣“=/（）.： an =0 + /（2） + /（3） + f（n）練習(xí)數(shù)列匕中，再=1, =3T+6T0n2),求心(勺=卩一1)已知數(shù)列仏滿足糾2解：由條件知：,=出=肩呂冷_占 分別令 =1,2,3,(n-1),代入上式得(h-1)個等式累加之，即（心 _ 4 ） + （幺3 _ ）+（“4 _ 如）+（終?_ 4一1 ）所以 an | = 1 H11t 1311 2”2 2 /?(4) 等比型遞推公式c_+d (c、為常數(shù)，cHO, oHh H