數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式匯總

1、第一早P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特別地，當(dāng)A、B互斥時(shí),條件概率公式P(A|B)迴P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)F(x)二 P(X 乞 x)工 j-f (t)dt散型隨機(jī)變量概率的乘法公式對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量P(AB)二P(B)P(A|B)二P(A)P(B| A)全概率公式：從原因計(jì)算結(jié)果nP(A)八 P(Bk)P(A|Bk)k 4Bayes公式：從結(jié)果找原因P(Bk|A)二P(BJP(A|Bi)n_' P(Bk)PfXA)Bk f(x,y)dyk z!第P(x=k)=ckpk(i-p)匕(k=Qin)早二項(xiàng)分布(Bernoulli 分布)XB(n,p)P(X

2、 WkL，(“0,1，.)泊松分布一一XP(入)二f(x)dx=1P(a <b)b概率密度函數(shù)P(a 乞 X 乞 b)二 f (x)dxaf(x)叮b a怎樣計(jì)算概率f(x) = 1e"' 7 0(x_0)均勻分布XU(a,b)分布 函數(shù)對(duì)離FfxX冃)P(X 蘭 x)=分布f(x, y) _0""f(x, y)dxd1咅-30-0F (x)二 f(x)xf(t)dt函數(shù)與密度函數(shù)的重要關(guān)系:二元隨機(jī)變量及其邊緣分布分布規(guī)律的描述方法0 _ F(x, y) _1F(x, y)二 PX 乞 x,丫 乞 yfY(y)二f(x,y)dxa聯(lián)合密度與邊緣密度

3、離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性指數(shù)分布 XExp F(x)二 P(X 乞 x)八 P(X 二 k) (0 ) 皿聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)F(x, y)PX =i,Y = j =PX =iPY連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性f(x, y)二 fx(x) fY(y)AVV*第二早數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望定義連續(xù)型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望定義E(a)=a，其中a為常數(shù)，其中,X、E(a+bX)=a+bE(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y)隨機(jī)變量g(X)的數(shù)學(xué)期望常用公式日X)遼送xPjijj-boE(X)八 Xk Pk =-：:E(X)二x f (x)dxa、b為常數(shù)Y為任意隨機(jī)變量E(g(X)八 g(xQP

4、kkE(X)xf(x,y)dxdyX N(= N(0,1)二/ n樣本方差的2(n -1)S2(nT)e(xyo=遲遲 xyjPji jE(X Y)二 E(X) E(Y)E(XY) = JJxyf(x,y)dxdy當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí),_E(XY) =E(X)E(Y)方差定義式D(X) = jJx-E(X)2 f(x)dx常用計(jì)算式D(X) =E(X2) E(X)】2D(X +Y) =D(X)+D(Y)+2E(X _E(X)(Y_E(Y) 常用公式當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：D(X +Y) =D(X) +D(Y)方差的性質(zhì)D(a)=O，其中a為常數(shù)D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、b 為常數(shù)當(dāng) X、Y

5、 相互獨(dú)立時(shí)，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)E “X _E(X) Y -E(Y)卜-E(XY) _ E(X)E(Y)Cov(X,Y) =E(XY) E(X)E(Y)“ 一 Co(X, Y)XY /：Jd(x)d(y)協(xié)方差的性質(zhì)Cov(X,X) =E(X2) -(E(X) 2 =D(X)Cov(aX,b Y) = abCov(X,Y)Cov(X +Y,Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)獨(dú)立與相關(guān)獨(dú)立必定不相關(guān)相關(guān)必定不獨(dú)立 不相關(guān)不一定獨(dú)立 第四章正態(tài)分布 XN(巴切2)1 。昱f(x)=-e 宙寸202 IE(X)二巴 D(X)r2 |(a)=1(a)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

6、的概率計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算公式P(Z 豈 a) = P(Z a) = : (a)P(Z 一 a) = P(Z a) = 1- ：(a) P(a 空 Z 空 b)二:：j (b) 一 J (a)P( a 乞 Z 乞 a) = g (a) ： (一 a)二 2； (a) 1一般正態(tài)分布的概率計(jì)算2XX N(聽2)= Z=N (0,1)CT一般正態(tài)分布的概率計(jì)算公式a 卩 P(X ma)二P(X : a) ：()cr盡a_uP(X _a) =P(X a) =1-：()ab_A工 a_4P(a 乞 X b)h：()-：()CTCT第五章 卡方分布n若X N(0,1)，則' Xi2 2(n

7、)im1 n若丫N( = ；2),則二v Yif 2(n)CT yt分布X若X N(0,1), 丫/2(n),則 石/t(n) 若U 2(n j V 2(n2),則 F(nn?)V /n2F分布正態(tài)總體條件下樣本均值的分布：分布:X - 1t(n_1) s/、n兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比Sl /S2匚(n 1 n 1)22 F (門1 -1, n2 -1)：-1 / - 2第八早點(diǎn)估計(jì)：參數(shù)的估計(jì)值為一個(gè)常數(shù)矩估計(jì)最大似然估計(jì)似然函數(shù)nnL 二二 f （x）L =二 P（XiL）i 1V均值的區(qū)間估計(jì)大樣本結(jié)果兩個(gè)正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間Z2222、S ISS /S2< Fa/2 （n -1

8、,門2 -1）Fa/2 （ni -1, n - 1） J第七章假設(shè)檢驗(yàn)的步驟 根據(jù)具體問題提出原假設(shè) H0和備擇假設(shè)H1 根據(jù)假設(shè)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值 看檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值是否落在拒絕域，若落在拒絕域則 拒絕原假設(shè)，否則就不拒絕原假設(shè)。不可避免的兩類錯(cuò)誤第1類（棄真）錯(cuò)誤：原假設(shè)為真，但拒絕了原假設(shè)第2類（取偽）錯(cuò)誤：原假設(shè)為假，但接受了原假設(shè) 單個(gè)正態(tài)總體的顯著性檢驗(yàn)單正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)大樣本情形Z檢驗(yàn)正態(tài)總體小樣本、方差已知Z檢驗(yàn)X 樣本均值二 一標(biāo)準(zhǔn)差（通常未知，可用樣本標(biāo) 準(zhǔn)差S代替） n 樣本容量（大樣本要求n 50）p±zJP(1 - P)CH2廠寸n/P -樣本比例

9、111n 樣本容量（大樣本要求n > 50）:Z/2 -止態(tài)分布的分位點(diǎn);Z-./2 正態(tài)分布的分位點(diǎn)y I小樣本、正態(tài)總體、標(biāo)準(zhǔn)差匚已知正態(tài)總體小樣本、方差未知t檢驗(yàn)單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)正態(tài)總體、均值未知卡方檢驗(yàn)單正態(tài)總體均值的顯著性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)的形式（1）雙邊檢驗(yàn)H0出宀左邊檢驗(yàn)(3)沁右邊檢驗(yàn)單正態(tài)總體均值的 Z檢驗(yàn)Z - X0石/薜（大樣本情形、未知時(shí)用S代替）小樣本、正態(tài)總體、標(biāo)準(zhǔn)差二未知L亠s'x _如2（n T） j=拒絕域的代數(shù)表示雙邊檢驗(yàn)Z AZg/2左邊檢驗(yàn)Z Z右邊檢驗(yàn)Z-Z比例一一特殊的均值的Z檢驗(yàn)t./2（n-1）自由度為n-1的t分布的分位點(diǎn)P 一 P0jpo(1 - Po) /寸 np0總體比例P 樣本比例(n -1)S2 (n -1)S2/2 ，12-：-/2S2樣本方差