兩個(gè)平面垂直的判定定理

1、(1) 兩個(gè)平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面垂直(2) 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面垂直,則在一個(gè)平面內(nèi)垂直交線的直線,垂直于另一平面ABCDABCD練習(xí): 如圖長方體的長，寬分別為長方體的長，寬分別為3和和4,(1) 求證：求證： 面面ABCD 面面BBDD證明： BB 面ABCDBB 面 BBDD故 面ABCD 面BBDD（2）求異面直線）求異面直線AA和和BD的距離的距離提示:過A作BD的垂線AH,則AH即是H問題：分別在AA和BD取一點(diǎn)E和F，如何求EF的長EF例例2： 如圖如圖abAAEFE,F分別分別a,b為上的點(diǎn)為上的點(diǎn),AE=m,AF=

2、n,求求EF的長的長已知已知a,b為異面直線為異面直線,a,b所成的角為所成的角為 , AA為公垂線為公垂線,解：a,b所成的角為AA cAA bAA 平面 P在Rt EFG中:FGEGEF222在 三角形AFG 中FAGAFG2222 AF AGCOS( )設(shè)經(jīng)過b與a平行的平面為P，經(jīng)過a與AA的平面為Qa/cb,c所成的角為EG平面 PEG FGPQabAAEF連FG在平面Q內(nèi)作EG cG且 P Q=cc平面Q 平面 P)(22222FCOSGAAFAGAEGEF代入數(shù)值：)cos(2222mnEFdnm如果E,F分布在AA的兩側(cè): )cos(2222mnEFdnmFPQAEGAacb)

3、cos(2222mnEFnmd+=（2） 如果沒有指明兩點(diǎn)位置，則需分兩種情況來討論（3）此公式還可以用來求兩異面直線間距離和所成的角（1） 如果指明兩點(diǎn)分布在公垂線的同側(cè)或異側(cè)則正負(fù)號(hào) 只取其一所成的角是 ，60練習(xí)練習(xí)：設(shè)兩條電線所在的直線是異面直線，它們的距離是1，這兩條電線上各有一點(diǎn)，距離公垂線的垂足都是10，求這兩點(diǎn)的距離結(jié)果： 兩點(diǎn)分布在公垂線的同側(cè)101兩點(diǎn)分布在公垂線的異側(cè)301FPQAEGAacb如何說明：兩條異面直線的距離兩條異面直線的距離，是分別在兩條異面直線是分別在兩條異面直線上的兩點(diǎn)的距離中最小的上的兩點(diǎn)的距離中最小的EFG 為 RtEF為斜邊EFEGEG=AAEFA

4、A例例3: 3: 如圖在二面角為如圖在二面角為6060的棱上有兩個(gè)點(diǎn)的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,AC,BDA,B,AC,BD分別為在分別為在這個(gè)二面角這個(gè)二面角 的兩個(gè)面內(nèi)垂直于的兩個(gè)面內(nèi)垂直于ABAB的直線的直線; ;已知已知 AB=4,AC=6,BD=8, AB=4,AC=6,BD=8, 求求CDCD的長的長二面角為60BD AB解： AC ABAC,BD所成的角為60AB為 AC，BD的公垂線由公式代入數(shù)值即可算 出CD的長CD=217想一想：從此題能得到什么結(jié)論：當(dāng)兩異面直線分別在二面角的兩個(gè)半平面，它們的公垂線在二面角的棱上時(shí)，公式中的 是二面角的平面角ACDB例4， 如圖：長為2的線段AB夾在兩個(gè)相交的平面之間；ACL,BDLAC=1 BD=1 求二面角A-CD-B的平面角的余弦值CABPQDLCD=1 結(jié)果: -0.5ABCDE例5:如圖:三角形ABC是邊長為4的正三角形E為AB的中點(diǎn),D為BC的中點(diǎn)ADBCE把三角形ABC沿AD折成60的二面角B-AD-C求CE的長提示:作EF AD于F,CE可看成異面直線EF和CD上的兩點(diǎn)間距離FCE=6ABCD把長，寬各為4，3的長方形ABCD沿對(duì)角線折成直二面角，求頂點(diǎn)B和D的距離A