三垂線定理及其逆定理

1、引例:正方體ABCD-ABCD (1)找平面AC的斜線BD在平面AC上的射影; (2)BD與AC的位置關(guān)系如何? ABCDABCDOD射影射影斜線斜線平面平面的垂的垂線線去掉多余線段后去掉多余線段后的模型的模型平面內(nèi)平面內(nèi)的直線的直線線段擴(kuò)展后線段擴(kuò)展后的模型的模型OAPa三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。么它也和這條斜線垂直。平面內(nèi)平面內(nèi)斜線斜線直線直線射影射影 證明證明: PO ，a PO a，又又 a 平面平面POA，POOA=OAP 已知已知:PO,PA分

2、別是平面分別是平面的垂線的垂線,斜線斜線,OA是是PA 在在內(nèi)的射影內(nèi)的射影,a ,且且a OA.求證求證: a PA.若將若將aOA與與aAP交交換會(huì)怎樣換會(huì)怎樣?a O A, a PA.OA 平面平面POA，POAP=P這就是三垂這就是三垂線定理的逆線定理的逆定理定理OAPa三垂線定理的三垂線定理的逆逆定理：在平面內(nèi)的一條直定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。 a三垂線定理及逆定理涉及的幾何元素：三垂線定理及逆定理涉及的幾何元素：(1)(1)一個(gè)平面一個(gè)平面

3、; ;a (2)(2)四條直線四條直線: : 平面的垂線平面的垂線; ; 平面的斜線平面的斜線; ; 斜線在平面內(nèi)的射影斜線在平面內(nèi)的射影; ; 平面內(nèi)的一條直線平面內(nèi)的一條直線. . (3) (3)三個(gè)垂直三個(gè)垂直: : 直線與平面垂直直線與平面垂直; ; 平面內(nèi)的一條直線與斜線在平面內(nèi)的平面內(nèi)的一條直線與斜線在平面內(nèi)的 射影垂直射影垂直; ; 平面內(nèi)的一條直線與斜線垂直平面內(nèi)的一條直線與斜線垂直. .直線直線a 在一定要在在一定要在平面內(nèi)，如果平面內(nèi)，如果 a 不在平面內(nèi)，定理不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。就不一定成立。PAOa注意注意：如果將定理中如果將定理中“在平面內(nèi)在平面內(nèi)”的條件的

4、條件 去掉，結(jié)論仍然成立嗎？去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b解題回顧解題回顧三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂么，它也和這條斜線的射影垂直。直。三垂線定理三垂線定理： 在平面在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線射垂直線斜垂直線斜垂直定定理理逆逆定定理理例例4 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。已知：已知：BAC在平面在平面 內(nèi)，點(diǎn)內(nèi)，點(diǎn)P