同濟(jì)大學(xué)數(shù)字信號處理第二章2z反變換ppt課件

1、二、z反變換實質(zhì)：求X(z)冪級數(shù)展開式z反變換的求解方法： 圍線積分法留數(shù)法） 部分分式法 長除法( )( )x nIZT X zz反變換: 從X(z)中還原出原序列x(n)( ) ( )( )nnX zZT x nx n z1、圍線積分法留數(shù)法） 根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域 內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即而 其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條反時針方向的閉合單圍線。,0,xxxxRzRRR （）( )nnxxnX zC zRzR11( )2nncCX z zdzjRe zIm jz0 xRxRC0, 1, 2,n 若F(z)在c外M個極

2、點(diǎn)zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，那么：11( )( )(,)2nxxcx nX z zdzcRRj1( )( )nF zX z z( )Re ( )kz zkx ns F z( )Re ( )mz zmx ns F z 利用留數(shù)定理求圍線積分，令若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個極點(diǎn)zk，那么：留數(shù)的計算公式單階極點(diǎn)的留數(shù)：Re ( )() ( )rrz zrz zs F zzz F z2( ) 1/44(4)(1/4)zX zzzz例1：，求其z反變換Re zIm jz0C41/4211( )(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcRRjzz解：211(

3、 )(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：11( )4nF zcz 當(dāng)時在圍線 內(nèi)只有一階極點(diǎn)14( )Re ( )zx ns F z1141()4 (4)(1/4)nzzzzz415n11( )(1)04nF zcznz 當(dāng)時在圍線 內(nèi)有一階極點(diǎn)和-階極點(diǎn)4( )Re ( )zx ns F z 14441/4nzzzzz 2415ncz=4F(z)而圍線 外只有一階極點(diǎn)，且的分母多項式階次高于分子多項式階次兩次以上244( )(1)(2)1515nnx nu nun Re zIm jz0C41/42( ) 4(4)(1/4)zX zzzz例2：，求其z反變換Re zI

4、m jz0C41/4解： 收斂域是圓的外部 lim( )1X(z)z=zX z 又，即在處收斂( )( )00 x nx nn是一個因果序列，即，( )x n是右邊序列10( )c(4)(1/4)0( )0nznF zz zx n同樣當(dāng)時，由在 外無極點(diǎn)，且分母階次比分子階次高兩階以上，由圍線外極點(diǎn)留數(shù)為 可得0n 當(dāng)時1( )(4)(1/4)nzF zzz144cz 在圍線 內(nèi)有一階極點(diǎn)， Re zIm jz0C41/441/4( )Re ( )Re ( )zzx ns F zs F z111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21( )

5、(44) ( )15nnx nu n考慮：n=0,1時，F(xiàn)(z)在圍線c外也無極點(diǎn)，為何( )0 x n 211( ) 1(1)(1)aX zaazaz例3：，求z反變換21111( )2(1)(1)ncax nzdzjazaz解：221111(1)( )(1)(1)()() cX(z)nnaazF zzazaza zaza其中：為收斂域內(nèi)閉合圍線1( ),X zza a而題中未給出收斂域，根據(jù)的極點(diǎn)有三種可能的收斂域：111) 2) 3) zazaazaRe zIm jz0C1aa11) za收斂域是圓的外部 lim( )0zX z又，( )( )00 x nx nn是因果序列，即，0n 當(dāng)

6、時1( )F zczaa在圍線 內(nèi)有一階極點(diǎn)，1( )Re ( )Re ( )z az ax ns F zs F z122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa zazaa zazannaa( )() ( )nnx naau nRe zIm jz0C1aa2) za0n 當(dāng)時( )F zc在圍線 內(nèi)無極點(diǎn)( )0 x n 故0n 當(dāng)時( )0F zcnz 在 內(nèi)有- 階極點(diǎn)1,cza a在 外有一階極點(diǎn)且分母階次比分子高兩階以上1( )Re ( )Re ( )z az ax ns F zs F z ()nnnnaaaa ( )() (1)nnx naaun

7、 Re zIm jz0C1aa0n 當(dāng)時( )F zcza在 內(nèi)有一階極點(diǎn)( )Re ( )nz ax ns F za0n 當(dāng)時( )0F zczanz在 內(nèi)有一階極點(diǎn)和- 階極點(diǎn)1,cza在 外有一階極點(diǎn)且分母階次比分子高兩階以上1( )Re ( )nz ax ns F za ( )( )(1)nnnx na u na una 13) aza2、部分分式展開法X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：12( )( )( )( )( )( )KB zX zXzXzXzA z( )( )x nIZT X z12( )( )( )KIZT XzIZT XzIZT Xz對各部分分式求z反變換：01(

8、 )( )( )1MiiiNiiib zB zX zA za z11011( )11MNMrrnkknknkkkiACX zB zz zz z( )Re1,2,kkz zX zAskMrz用留數(shù)定理求系數(shù)：1125( ) 2316zX zzzz例：，求z反變換Re zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 112255516623zzzX zzzzzzz解： 1252323X zAAzzzzz 12252123zzX zAReszzzz 1123X zzzz 1111231 21 3zzX zzzzz23z11( )1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a un

9、zaaz 1112z2( )nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun 3、冪級數(shù)展開法長除法）把X(z)展開成冪級數(shù)( )( )nnX zx n z1012( 1)(0)(1)(2)xzxzxzxz級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質(zhì)，在展開成相應(yīng)的z的冪級數(shù) 將X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 負(fù)冪級數(shù) 降冪排列 左邊序列 正冪級數(shù) 升冪排列xzRxzR解：由Roc判定x(n)是因果序列，用長除法展成z的負(fù)冪級數(shù)11( ) (1)X zzaaz例：，求z反變換122330( )1nnnX zaza za

10、za z ( )( )nx na u n11112222223333111 azazazaza za za za za z122331aza za z11( ) (1)X zzaaz例：，求z反變換122331( )nnnX za za za za z -( )(1)nx na un 解：由Roc判定x(n)是左邊序列，用長除法展成z的正冪級數(shù)111122221 11 aza za za za za z12233a za za z2( ) 1/44(4)(1/4)zX zzz z例：，求z反變換解：X(z)的Roc為環(huán)狀，故x(n)是雙邊序列 極點(diǎn)z=1/4對應(yīng)右邊序列，極點(diǎn)z=4對應(yīng)左邊序列 先把X(z)展成部分分式161( )1515(4)()41/41/4X zzzzzz