習(xí)題與評(píng)注（2）

1、.芅膂薈羅羄蒈蒄羄肇芁螃羃腿蒆蠆羂芁艿薅羈羈蒄蒁肁肅芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蟻肈肈薁薇蚅膀莄蒃蚄節(jié)蕿螂蚃羂莂蚈螞肄薈薄螁膆莀蒀螀艿膃螈蝿羈荿螄蝿膁膂蝕螈芃蕆薆螇羃芀蒂螆肅蒅螁螅膇羋蚇襖芀蒄薃袃罿芆葿袃肂蒂蒅袂芄蒞螃袁羃薀蠆袀肆莃薅衿膈薈蒁袈芀莁螀羇羀膄蚆羇肂莀薂羆芅膂薈羅羄蒈蒄羄肇芁螃羃腿蒆蠆羂芁艿薅羈羈蒄蒁肁肅芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蟻肈肈薁薇蚅膀莄蒃蚄節(jié)蕿螂蚃羂莂蚈螞肄薈薄螁膆莀蒀螀艿膃螈蝿羈荿螄蝿膁膂蝕螈芃蕆薆螇羃芀蒂螆肅蒅螁螅膇羋蚇襖芀蒄薃袃罿芆葿袃肂蒂蒅袂芄蒞螃袁羃薀蠆袀肆莃薅衿膈薈蒁袈芀莁螀羇羀膄蚆羇肂莀薂羆芅膂薈羅羄蒈蒄羄肇芁螃羃腿蒆蠆羂芁艿薅羈羈蒄蒁肁肅芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蟻肈肈薁薇蚅膀莄蒃

2、蚄節(jié)蕿螂蚃羂莂蚈螞肄薈薄螁膆莀蒀螀艿膃螈蝿羈荿螄蝿膁膂蝕螈芃蕆薆螇羃芀蒂螆肅蒅螁螅膇羋蚇襖芀蒄薃袃罿芆葿袃肂蒂蒅袂芄蒞螃袁羃薀蠆袀肆莃薅衿膈薈蒁袈芀莁螀羇羀膄蚆羇肂莀薂羆芅膂薈羅羄蒈蒄羄肇芁螃羃腿蒆蠆羂芁艿薅羈羈蒄蒁肁肅芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蟻肈肈薁薇蚅膀莄蒃蚄節(jié)蕿螂蚃羂莂蚈螞肄薈薄螁膆莀蒀螀艿膃螈蝿羈 第十五章的習(xí)題與評(píng)注（2）5似真性與可信程度。我們或許有某個(gè)關(guān)于概率的推測(cè)，例如，你可以假定你手頭的骰是理想地公平的，即它的每一面都具有相同的概率1/6。不言而喻，這種假設(shè)是難以相信的?；蛘哒f(shuō)，你也可以假定這粒骰子的每一面具有的概率介乎0.16到0.17之間，這樣或許比較似真。關(guān)于概率的推測(cè)乃是統(tǒng)

3、計(jì)假設(shè)。經(jīng)常出現(xiàn)的情況是我們只有兩種明顯的競(jìng)爭(zhēng)的推測(cè)：“物理的”推測(cè)P和統(tǒng)計(jì)假設(shè)S，參閱§14·9（7）和習(xí)題14·33。在這種情況下，統(tǒng)計(jì)假設(shè)的可信程度PS會(huì)引起我們的極大興趣。統(tǒng)計(jì)假設(shè)S以對(duì)應(yīng)的方式受到統(tǒng)計(jì)的觀測(cè)結(jié)果的考驗(yàn)。設(shè)E表示統(tǒng)計(jì)觀測(cè)將提供某種結(jié)論的預(yù)言。讓我們研究PE/S的可信程度，并且假定這種可信程度具有一個(gè)數(shù)值，該數(shù)值等于根據(jù)統(tǒng)計(jì)假設(shè)S計(jì)算出來(lái)的、E所預(yù)言的那種事件將會(huì)發(fā)生的概率。正如我們?cè)诹?xí)題4中所見(jiàn)到的那樣，某些（完全是自然的）關(guān)于互換性或?qū)ΨQ性的假設(shè)（包括在統(tǒng)計(jì)假設(shè)S之列）甚至于會(huì)迫使我們將可信程度與概率等量齊觀。正如我們?cè)?jīng)在§1

4、4·7（5）中談這的，這種可信程度或概率PE/S，可以從兩個(gè)不同的角度加以研討，同樣可能閱§14·8（5）。一方面，PE/S是根據(jù)統(tǒng)計(jì)假設(shè)S計(jì)算出來(lái)的、E所預(yù)言的那樣事件的概率。另一方面，假使這樣的事件果真發(fā)生并被觀測(cè)到了，那么，我們可以認(rèn)為S愈不大似真，PE/S的數(shù)值就愈小。因?yàn)檫@個(gè)緣故，我們稱PE/S為注意到E所預(yù)言的事件確實(shí)發(fā)生了的事實(shí)而估計(jì)出來(lái)的、統(tǒng)計(jì)假設(shè)S的似真性。參閱§14·7（5）或§14·8（5）?，F(xiàn)在，由習(xí)題§14·26（2）可以推斷出。在這個(gè)等式里，PE/S不僅是可信程度，而且是概率，

5、并且具有確定的數(shù)值。但是，PS/E、PS、PE則僅僅是可信程度，并未假設(shè)它們具有確定的數(shù)值。尤其是PS和PS/E都代表同一種統(tǒng)計(jì)假設(shè)S的可信程度，但是，前者是在觀測(cè)到E所預(yù)言的事件之前，后者是在此后。讓我們把這個(gè)等式改定成不太程式化的形式，以強(qiáng)調(diào)指出PE/S中的一個(gè)方面：事件發(fā)生之后的可信程度觀測(cè)到E所預(yù)言的事件時(shí)，我們就有必要作出一個(gè)決定：我們是否應(yīng)該否定統(tǒng)計(jì)假設(shè)S并采納競(jìng)爭(zhēng)的、物理的推測(cè)P，或者說(shuō)我們應(yīng)該做些什么呢？我們的決定必須建立在這最后一種資料的基礎(chǔ)上，因而也就是建立在PS/E，即在觀測(cè)到事件之后的統(tǒng)計(jì)假設(shè)的可信程度上。PE/S的似真性是PS/E這種可信程度的諸因子之一：也許，它乃是

6、一種最重要的因子，因?yàn)樗哂欣檬煜ざ鞔_的方法計(jì)算出來(lái)的數(shù)值，但它仍然只是一個(gè)因子，而不是這種可信程度的完全表示式。似真性是一種有重要意義的指示，但并不是一切。統(tǒng)計(jì)學(xué)家會(huì)慎重地限制自己的似真性計(jì)算，但是，統(tǒng)計(jì)學(xué)家的顧客如果不考慮其他因子，則會(huì)貿(mào)然行事。他應(yīng)當(dāng)認(rèn)真仔細(xì)地衡量在事件發(fā)生之前的統(tǒng)計(jì)假設(shè)S的可信程度；實(shí)際上，我們?cè)谧h論假設(shè)S在何種程度上是“適當(dāng)?shù)摹被颉扒泻蠈?shí)際的”時(shí)候，所指的就是這個(gè)PS；參閱習(xí)題14·33。6拉普拉斯連系歸納法與概率的嘗試。一只袋里裝著未知比例的黑球和白球；連續(xù)地取出并放回m個(gè)白球和n個(gè)黑球。在隨后的m+n次抽取中拿到m個(gè)白球和n個(gè)黑球的概率如何呢？關(guān)于袋

7、和球這種顯然無(wú)害的問(wèn)題的特例，可以說(shuō)明關(guān)于歸納推理的已歸結(jié)為最簡(jiǎn)單的表示式的基本問(wèn)題。實(shí)際上，我們要研究一種n= n=0的特例。我們由不知其組成的袋中取出m個(gè)球，并且發(fā)現(xiàn)全部的m個(gè)觀測(cè)結(jié)果都與該推測(cè)一致。這位博物學(xué)家擬定補(bǔ)充觀測(cè)。他隨后的m個(gè)觀測(cè)的結(jié)果同樣也與該推測(cè)一致的概率如何？這個(gè)問(wèn)題可以解釋成上述關(guān)于袋和球問(wèn)題的n= n=0的特例。這個(gè)問(wèn)題中存在著一個(gè)含糊不清的難點(diǎn)：袋里白球數(shù)和黑球數(shù)的比例是未知的。然而，如果注意到我們所指出的說(shuō)明，即：這樣一點(diǎn)是主要的博物學(xué)家無(wú)法知道自然界的“內(nèi)部構(gòu)造”，他只了解他所觀測(cè)到的情況，而我們也只知道到眼下為止在若干次抽取中，由袋中拿到了若干個(gè)白球。按照正常

8、的想法，假如我們對(duì)袋里的組成一無(wú)所知，那么，看樣子我們便無(wú)法計(jì)算所求的概率：因?yàn)橐粋€(gè)問(wèn)題缺少了充分的已知條件是無(wú)法解答的。然而，拉普拉斯卻提供了解答一種有爭(zhēng)議的解答。概括地說(shuō)，他是如何成功地獲得該解的呢？為了彌補(bǔ)已知條件的欠缺，拉普拉斯引進(jìn)了一種新原理；這種原理也是有爭(zhēng)議的。拉普拉斯說(shuō)：“如果一個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率是未知的，那么，可以假定它等于0到1之間的所有數(shù)值?！倍姆磳?duì)者則嘲笑說(shuō)：“這是無(wú)知的平均分配。”既然接受拉普拉斯的有爭(zhēng)議的原理，解的推導(dǎo)又是直接的；所以，我們沒(méi)有必要在此來(lái)研究這個(gè)原理。他的結(jié)論是這樣的：假如m次所取出的都只是白球，那么，在隨后的m次中同樣也都只取出白球的概率等于我們

9、稱該法則為“一般連續(xù)規(guī)則”。最熟悉的一個(gè)特例是m=1的情況；假使m次所取出的都只是白球，那么，下一次也取得白球的概率等于我們稱這是“特殊連續(xù)規(guī)則”如果我們把“白球”解釋為“相同性質(zhì)的一致的觀測(cè)結(jié)果”，而把“概率”解釋為“合理的可信程度”，這些法則可以接受嗎？這個(gè)問(wèn)題提得很適當(dāng)，我們就來(lái)討論討論吧。（1）讓我們重新分析一下歸納推理的頭一個(gè)實(shí)例。哥德巴赫猜想斷言：從6=3+3開(kāi)始，任何一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和。§1·3的表已確證對(duì)于到30為止的偶數(shù)而言，該推測(cè)是正確的。既然我們已經(jīng)確信到30為止，推測(cè)是真實(shí)的，那么，我們就有或大或小的信心期望在下一個(gè)特例，即對(duì)32，這推測(cè)也將

10、被證明是正確的?？梢哉J(rèn)為特殊連續(xù)規(guī)則有下述含義：在哥德巴赫猜想在前m個(gè)特列中獲得確證之后，我們有理由期望，它在下在個(gè)特例中將獲得確證的概率是。讓我們認(rèn)真研究一下它的涵義。當(dāng)m增大時(shí)，概率也增大；實(shí)際上，前面已確證的特例愈多，我們就愈有信心期望該推測(cè)將在下一個(gè)特例中獲得確證。假使m趨向，那么，概率就會(huì)趨向1：確證積累得愈多，我們就愈有希望逼近可靠性?，F(xiàn)在，我們研究?jī)煞N概率之間的差數(shù)一種對(duì)應(yīng)于m+1，另一種則對(duì)應(yīng)于上述m個(gè)確證：當(dāng)m增大時(shí)，這個(gè)差就減?。汉翢o(wú)疑問(wèn)，每一個(gè)新的確證都增添我們的信心，但是，當(dāng)這種確產(chǎn)生在越來(lái)越多的、諸如此類(lèi)的確證之的的時(shí)候，它所能增添的就越來(lái)越少了。（確證的類(lèi)似在這種地

11、方是主要的；參閱§12·2）現(xiàn)在，讓我們轉(zhuǎn)變到一般性連續(xù)規(guī)則上來(lái)?？梢哉J(rèn)為它有下述的涵義：當(dāng)哥德巴赫猜想在前面的m個(gè)特例中獲得確證之后，我們有理由期望，它在隨后的m個(gè)特例中獲得確證的概率是。假如我們保持m不變，而使m增大，那么，這個(gè)概率將減?。簩?shí)際上，我們根據(jù)以往的觀測(cè)結(jié)果而試圖預(yù)言的將來(lái)情況愈遙遠(yuǎn)，我們對(duì)預(yù)言所具有的信心也就愈小。如果m無(wú)限增大，那么，概率將趨向0。事實(shí)上，所有m值的確證，就是意味著哥德巴赫猜想是真實(shí)可信的。顯而易見(jiàn)，根據(jù)給定的m個(gè)觀測(cè)的結(jié)果，我們無(wú)法斷定推測(cè)為真?？磥?lái)，由這個(gè)法則可以得出一個(gè)更加有力的斷言：根據(jù)m個(gè)觀測(cè)結(jié)果，我們甚至無(wú)法認(rèn)為不同于零的概率

12、是由于哥德巴赫猜想造成的，這樣有力的確證可以指示正確的方向。（2）到現(xiàn)在為止，連續(xù)規(guī)則看來(lái)是很可以接受的。但我們還要更具體地研究一下。我們將認(rèn)m具有數(shù)值，同時(shí)也不忽略經(jīng)常的情勢(shì)。研討特殊連續(xù)則就足夠下。我試驗(yàn)過(guò)偶數(shù)6、8、10、24，并且發(fā)現(xiàn)其中的各個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和。法則表明：我應(yīng)當(dāng)以11/12的概率期望26是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。在外國(guó)的一個(gè)城市里，由于我?guī)缀醪欢媚莾旱恼Z(yǔ)言，我呆在飯館里的時(shí)候常感到十分忐忑不安。然而，到過(guò)十回之后，我就不太感到緊張了，因此，我第十一回上飯館時(shí)就完全放心了，規(guī)則表明：下一次上飯館我不會(huì)中毒的概率等于11/12。一個(gè)男孩今年10歲。法則表明：活過(guò)十個(gè)年頭之后

13、，他有11/12的概率再活上一年。這個(gè)男孩的祖父已經(jīng)70歲了。規(guī)則表明：他有71/71的概率再活一年。這些應(yīng)用似乎都很愚蠢，但是，沒(méi)有什么比拉普拉斯本人所作的應(yīng)用更為荒唐的了。他說(shuō)：“假如把時(shí)間上溯五千年，或者說(shuō)上溯1826213天，同時(shí)注意到太陽(yáng)總是在晝夜交替的時(shí)間內(nèi)升上起的，那么，就有1/1826214的可能肯定太陽(yáng)明天也必定升起?！辈谎远?，我是留神不同挪威同事打這樣的賭的，他也許會(huì)為我們倆安排一次往北極圈某地的空中旅行的。然而，規(guī)則還會(huì)做出比這更荒謬絕倫的事件。我們把它應(yīng)用于m=0的特例：規(guī)則的推民導(dǎo)對(duì)于這個(gè)特例而言，也跟對(duì)其他特例而言一樣有效。但是，對(duì)于m=0而言，規(guī)則斷言：任意一種

14、沒(méi)有任何確證的推測(cè)具有1/2的概率。每個(gè)人都能舉出說(shuō)明這種斷言的荒誕不經(jīng)的一些實(shí)例來(lái)。（順便說(shuō)說(shuō)，這樣的斷言也是自相矛盾的。）（3）我們的討論是冗長(zhǎng)的。倘若我們敘述得更謹(jǐn)慎些，這個(gè)討論將會(huì)更冗長(zhǎng)，而且還可以一直繼續(xù)進(jìn)行下去，但是，它歸結(jié)起來(lái)就是這樣的：假如我們回避開(kāi)放數(shù)值，連續(xù)規(guī)則看來(lái)是明智的；但是，假如我們要牽年到數(shù)值上，那么，它無(wú)疑地會(huì)顯得荒誕不經(jīng)?；蛟S，它包藏著這樣的寓意：在把概率演算運(yùn)用到似真推理的過(guò)程中，原則上應(yīng)避免數(shù)值。我們?cè)诒菊碌乃刑乩?，所支持的恰正是這個(gè)觀點(diǎn)。7為什么不進(jìn)行定理的討論？本章發(fā)揮了一個(gè)論題：應(yīng)該把概率計(jì)算運(yùn)用到似真推理中去，但只能是在定性上運(yùn)用。然而有一種要把

15、它在數(shù)量上運(yùn)用的強(qiáng)大誘惑力，因此，我們要研究若干與此有關(guān)的問(wèn)題。（1）不能比較的。有某些論據(jù)是有助于證明哥德巴赫猜想的正確性的；見(jiàn)§1·2、§1·3。還有某些論據(jù)是有助于證明古代的斯堪的納維亞人早在哥倫布之前數(shù)百年，就已經(jīng)登上了美洲大陸的。哪些論據(jù)比較有力量？其實(shí)，這看來(lái)只是一種非常愚蠢的問(wèn)題。比較這樣兩種完全風(fēng)馬牛不相及的情況究竟出于何種目的呢？什么人必須去比較它們呢？為了具有評(píng)估這些論據(jù)的業(yè)務(wù)知識(shí)，你務(wù)必成為一位專(zhuān)門(mén)家才行。前者的論據(jù)應(yīng)當(dāng)由一位數(shù)學(xué)家、數(shù)論方面的專(zhuān)家來(lái)評(píng)估。而后者的論據(jù)則必須由一位歷史學(xué)家、斯堪的納維亞古代史的專(zhuān)家來(lái)評(píng)估。要找到一個(gè)既

16、是這個(gè)領(lǐng)域的專(zhuān)家，又是另一個(gè)領(lǐng)域的專(zhuān)家的人，是沒(méi)有什么指望的。無(wú)論如何，我們提的這個(gè)顯然是愚蠢的問(wèn)題指示了一種可能性。有可能出現(xiàn)這樣的情況，即沒(méi)有任何合乎情理的解決方法可以表明哪些論據(jù)更力。這種可能性是如此重要，以致值得有一個(gè)專(zhuān)門(mén)術(shù)語(yǔ)表述。假使沒(méi)有一種合理的方法可以判定E1或E2，哪一種論據(jù)更有力，那么，我們就說(shuō)E1與E2是不能比較的。在上一章，我們可以找到若干實(shí)例，那些實(shí)例比我們這里開(kāi)頭所舉的這個(gè)例子，能夠更明顯、更有說(shuō)服力地使人認(rèn)識(shí)到有些論據(jù)與其他論據(jù)也許是不能比較的。見(jiàn)§4·8。（2）可比較的。在指出有些論據(jù)可能是不能比較的之后，現(xiàn)在，讓我們?cè)賮?lái)研究一些顯然是可比較的

17、情況。設(shè)E1表示由于確證了到1000為止的所有偶數(shù)而產(chǎn)生的、有利于哥德巴赫猜想的論據(jù)（§1·2）。設(shè)E2表示由于確證了到2000為止的所有偶數(shù)而產(chǎn)生的、有利于該推測(cè)的論據(jù)。顯而易見(jiàn)，論據(jù)E2比論據(jù)E1更為有力?，F(xiàn)在，我們改變一下符號(hào)的涵義，設(shè)E1表示有利于證明古代斯堪的納維亞人早在哥倫布之前登上美洲大陸的現(xiàn)存證據(jù)。設(shè)E2表示這樣一些可能已經(jīng)變成E1的證據(jù)；假設(shè)有人在拉布拉多半島的海岸某處發(fā)現(xiàn)了一塊墓地，墓里埋藏的盾與劍，跟某處收藏的自海盜強(qiáng)掠時(shí)代以來(lái)的盾與劍有相似之點(diǎn)。顯而易見(jiàn)，證據(jù)E2比證據(jù)E1更為有力。讓我們?cè)傺芯恳环N略微更微妙些的情況?，F(xiàn)在，設(shè)E1表示由于確證了推測(cè)A

18、中的一種推論B而產(chǎn)生的、有利于推測(cè)A的論據(jù)。而在推論B獲得確證以后，有人發(fā)現(xiàn)B本身是難予置信的。（這種看法很可能是完全準(zhǔn)確無(wú)誤的：因?yàn)楦鶕?jù)簡(jiǎn)單而明顯合適的統(tǒng)計(jì)假設(shè)計(jì)算出來(lái)的B的概率可能是非常小的。）這種看法使有利于推測(cè)A的論據(jù)E1變成為論據(jù)E2。論據(jù)E2比論據(jù)E1有力。（在§12·3里，我們已經(jīng)談過(guò)這一點(diǎn)，也可能不太明朗罷了。）在這三個(gè)實(shí)例中，我們都是通過(guò)補(bǔ)充某種適當(dāng)?shù)挠^測(cè)結(jié)果，而由論據(jù)E1獲得E2的。不過(guò)，假如E1與E2之間并無(wú)這樣的簡(jiǎn)單關(guān)系，那么，我們?cè)跄芘卸ê畏N論據(jù)更有力呢？這個(gè)問(wèn)題使得有些論據(jù)可能是不能比較的之可能性更加明顯。（3）可比較的，但仍然不是定量的。在上述

19、要點(diǎn)（2）中，我們遇到了可以合理地認(rèn)為E2比較E1更為有力的情況。但是，究竟更有力到什么程度呢？我認(rèn)為，以上任何一種特例都無(wú)法對(duì)這個(gè)問(wèn)題作出合理的回答。因此，我們?nèi)匀煌Ａ粼诙ㄐ缘乃缴?。?）如何觀察出來(lái)？在§4中，我們是從用符號(hào)PA來(lái)表示推測(cè)A的可信程度著手的。在本章的最后幾節(jié)，我們?cè)鴩L試不賦予PA任何確定的數(shù)值，而處理自己的問(wèn)題：這里就包含有本書(shū)所支持的“定性”觀點(diǎn)?！岸俊钡挠^點(diǎn)內(nèi)容在于：當(dāng)概率演算運(yùn)用于有關(guān)推測(cè)A的似真推理時(shí)，每次都要賦予PA確定的數(shù)值。論證的全部困難都落在那些要保護(hù)將概率定性應(yīng)用于似真推理的人們身上。對(duì)于他們所要示的也只是做出一組非平凡的推測(cè)A，這些推測(cè)的可

20、信程度PA可以借助于明確的方法計(jì)算出來(lái)，至少在若干特例中，這種方法可以得出能接受的結(jié)論。至今還沒(méi)有任何提出一種計(jì)算非平凡的情形下的可信程度的明確而令人信服的方法。假如我們清楚地想象了一些具體的、（我們已經(jīng)做出的）可信程度的正確估計(jì)在其中具有重要意義的情勢(shì)，那么，我們將不難理解，每次賦予要信程度以一定的數(shù)值都有似乎干出蠢事的很大危險(xiǎn)性具有確定數(shù)值的可信程度是可比較的：兩個(gè)數(shù)字或者相等，或者其中一個(gè)比較大些。然而，經(jīng)過(guò)（1）和（2）的討論以后，我們很難設(shè)想任何兩種推測(cè)按照可信程度都是可比較的。舉兩種我們引出討論的實(shí)例為證，如哥德巴赫猜想和所提到的涉及發(fā)現(xiàn)美洲的歷史推測(cè)。我們倘若賦予它們的可信程度以

21、數(shù)值，那么，有利于其中之一的論據(jù)的力量就有可能與另一種有利于另一推測(cè)的論據(jù)的力量進(jìn)行比較，不過(guò)，這樣的對(duì)比看來(lái)是徒勞無(wú)益的、荒謬絕論的。（5）是否值得？還有另外一個(gè)與上述討論無(wú)關(guān)的問(wèn)題，也應(yīng)當(dāng)加以研究。似真論據(jù)的份量可能是極其重要的，但這種重要性是有條件的、短暫的：是否值得使數(shù)值同如此短命的東西密切聯(lián)系起來(lái)呢？假如根據(jù)搜集在原理第一版中的各種事實(shí)判定，牛頓萬(wàn)有引力定律的可信程度如何呢？我們暫且想象存在一種可以用數(shù)量估計(jì)這種可信程度的方法。但是，我們絕不可想象這種評(píng)估會(huì)是輕而易舉的：鑒于事件的繁雜及其相互關(guān)系，評(píng)估務(wù)必精細(xì)，而計(jì)算一定理冗長(zhǎng)的。是否值得干這種事呢？對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，由于牛頓的發(fā)現(xiàn)的歷

22、史的和哲學(xué)的重要性，可能值得這樣做。但是，對(duì)于牛頓以及他的同時(shí)代人而言，則未必值得這樣做。因?yàn)樵谶@樣條件下，他們不必去計(jì)算該定律的可信程度。浪費(fèi)十年光陰去計(jì)算這種只有一秒鐘效力的可信程度，看來(lái)實(shí)在是荒唐透頂。8無(wú)窮小的可信程度？某一種數(shù)論推測(cè)（例如，哥德巴赫猜想；參閱§1·2、§1·3）的新特例獲得了確證。這樣的確證應(yīng)視為增大了論據(jù)的份量或提高了該推測(cè)的可信程度。但是，這樣的確證不管數(shù)量有多少，也無(wú)法證明推測(cè)。我們甚至可能感覺(jué)到無(wú)論多少確證都無(wú)法明顯地使推測(cè)接近于證明。（參閱習(xí)題4（5）、6（1）。）這種感覺(jué)也許在暗示我們應(yīng)該把無(wú)窮小引進(jìn)概率演算中來(lái)?，F(xiàn)

23、代數(shù)學(xué)可以把無(wú)窮小解釋得一清二楚，我們研討“形式冪級(jí)數(shù)”所表示的a、b、的“量值”，a0、a1、a2、為實(shí)數(shù)，是未知數(shù)，無(wú)須注意它的收劍性。這種量值的代數(shù)是存在的；還有一些規(guī)則（根據(jù)收斂的冪級(jí)數(shù)理論所熟悉的），按照這些規(guī)則，這樣的形式冪級(jí)數(shù)可以加、減、乘；假如a00，那么，甚至可以除以a。當(dāng)所有的a0、a1、a2、都等于零時(shí)，我們則稱a為“零值”或0。如果它們的差是0，兩種值就相等。當(dāng)所有的a1、a2、a3都等于零時(shí)，a的值就等于a0這個(gè)數(shù)。假使在序列a0、a1、a2中，第一個(gè)不等于零的數(shù)字是正數(shù)，我們就說(shuō)a是正數(shù)。我們根據(jù)這個(gè)定義不難推導(dǎo)出兩個(gè)基本法則：或者a=0，或者0是正數(shù)，或者-a是正

24、數(shù)，這三種可能性都是相互排斥的。兩個(gè)正數(shù)值的和與積是正數(shù)。假如a-b是正數(shù)，我們就說(shuō)a>b。由這些規(guī)定可以推斷出：雖然是正數(shù)，但是任何正數(shù)都大于（也就是說(shuō)大于形式冪級(jí)數(shù)0+0.3+）。因此，是“真實(shí)的”無(wú)窮小。我們現(xiàn)在可以研討一下概率計(jì)算的某種形式，在這種形式中，概率（或者可信程度）并不一定必須是數(shù)字，而可以是量值a，即剛才所述的那種服從約束條件的量值。根據(jù)這樣的計(jì)算，在1000000或其他任意數(shù)量的確證之后，哥德巴赫猜想的可信程度仍然是無(wú)窮小，即是a0=0的a值。我不想對(duì)這方面的展望妄加評(píng)論。無(wú)論如何，它為從另一個(gè)角度來(lái)研究非數(shù)值的可信程度創(chuàng)造了機(jī)會(huì)。9容許法則。我希望讀者有自己的主見(jiàn)

25、。因此，直到本章的最末一條評(píng)注之前，我都未發(fā)表自己對(duì)有批評(píng)性的問(wèn)題的看法。我指的是本章第一節(jié)所提的那個(gè)問(wèn)題：對(duì)于似真推理而言，是否存在著任何一種法則呢？顯而易見(jiàn)，似真推理并沒(méi)有證明推理那種類(lèi)型的法則。假設(shè)有人向我們提出一個(gè)證明。如果這種證明分成為相當(dāng)細(xì)的步驟，那么，每個(gè)步驟的正確性就可以利用形式邏輯的法則加以檢驗(yàn)。如果全部步驟都符合該法則的話，那么，證明就是真實(shí)可信的；但是，如果有一個(gè)步驟違犯了法則，那么，這證明就不可信了。因此，證明邏輯的法則乃是有決定性意義的：它們能夠判定所提出的證明推理是否是必須的。我們所收集的這些似真推理模式對(duì)此是無(wú)能為力的。假設(shè)有人向我們提出一種似真推論。它的各個(gè)步驟

26、的目的都是使某個(gè)推測(cè)變得更加似真，并且，依照所采用的某個(gè)模式，這個(gè)步驟的目的達(dá)到了。即使是細(xì)心地觀察過(guò)整個(gè)論證的每一步驟之后，我們也不應(yīng)該在任何一種確定的程度上信賴該推測(cè)。不過(guò)，法則是多種多樣的。邏輯法則與訴訟法是迥然不同的。法庭應(yīng)當(dāng)聽(tīng)取所有有關(guān)方面的意見(jiàn)，但是，它不必注意與案件無(wú)關(guān)的內(nèi)容。因此，法庭必須具有排除一切與訟案無(wú)關(guān)的內(nèi)容的權(quán)力，而這種權(quán)力是受“容許法則”控制的。假使沒(méi)有這一類(lèi)法規(guī)，那么，也就不可能執(zhí)行任何有組織的審判職能：法庭勢(shì)必?zé)o法約束胡攪蠻纏的律師（或辯護(hù)人），而后者則可能利用一些既不誠(chéng)實(shí)又與訟案無(wú)關(guān)的問(wèn)題搞得持不贊同意見(jiàn)的見(jiàn)證人、對(duì)方、陪審員和法官都感到精疲力竭，或者無(wú)限延長(zhǎng)訴訟程序。上述幾章所收集的似真推理的模式，可以看成為在科學(xué)討論中的容許法則。即使某推測(cè)之中的某些推論獲得了確證，你無(wú)論如何也不應(yīng)賦予該推測(cè)以確定程度的信任。不過(guò)，假如是在討論該推測(cè)，那么，列舉這樣的確證無(wú)疑是容許的，并且，認(rèn)真研究這樣的確證也是正當(dāng)而合理的。我們這些模式也發(fā)現(xiàn)了涉及能對(duì)論據(jù)的份量產(chǎn)生合理影響的一些確證的不同情況（如類(lèi)比，或缺少與以前的確證類(lèi)比等等）。容許討論這樣的情況，是正當(dāng)而合理的。作者在收集這些模式的時(shí)候，意圖就是要記下在科學(xué)討論中容許的、符合優(yōu)秀學(xué)者或科學(xué)家的習(xí)慣的、共同的情況，其目的在于合理地影響所討論的推測(cè)的可信程度。在有陪審的法院里，法庭的權(quán)力是由陪審員們與首席法