流形上的旋公式證明和數(shù)值模型分析和說明

1、附件1流形上的旋度公式證明和數(shù)值模型 分析和說明楊科中國 成都 610017 E-mail: 摘 要：旋度公式(又稱Stokes公式)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)、物理體系的核心公式之一.傳統(tǒng)的旋度公式證明邏輯體系, 建立了基于空間直角坐標(biāo)系投影法 (簡稱投影法) 的曲面積分與空間環(huán)路積分的公式關(guān)聯(lián),確立了投影法為曲面積分的根本方法. 但是投影法存在諸多明顯的缺陷 (例如計(jì)算過程繁瑣;不適用于不對稱、不規(guī)則曲面等),以致于物理、工程領(lǐng)域的許多重要問題(例如電磁學(xué)領(lǐng)域的Maxwell方程組實(shí)例化和流體力學(xué)領(lǐng)域的任意不規(guī)則控制面積分)的解決途徑, 均建立在直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組求解基礎(chǔ)上. 一個(gè)多世紀(jì)

2、以來的數(shù)學(xué)、物理和工程實(shí)踐已經(jīng)證明, 通過投影法、直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組,難于甚至不能獲得關(guān)于復(fù)雜幾何對象(流形)的解析解、數(shù)值解;傳統(tǒng)的流形微積分學(xué),用外微分形式推導(dǎo)出Green公式, -Gauss公式,Stokes公式,乃至關(guān)于n維空間積分的廣義Stokes公式20,即但是這類用外微分形式推導(dǎo)出的公式只具有抽象的理論意義,并沒有揭示積分的具體實(shí)現(xiàn)過程,更無具體數(shù)值模型可言;本稿件通過建立與具體幾何對象(流形)匹配的個(gè)性化坐標(biāo)系(即有什么樣的幾何形體,就建立什么樣幾何形體的坐標(biāo)系;而不再依賴于已有的少數(shù)幾個(gè)直角坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系、 柱面坐標(biāo)系、廣義球面坐標(biāo)系等),用積分以及和式

3、極限的方法, 證明旋度公式在無窮多個(gè)任意參數(shù)曲面(流形)坐標(biāo)系包括單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系(基于Poincare猜想)和復(fù)連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系(環(huán)面坐標(biāo)系)的存在, 使旋度公式超越傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系框架, 建立基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分與空間環(huán)路積分之間的新公式關(guān)聯(lián), 并且在無限豐富、 絢麗的公式數(shù)值模型運(yùn)算中實(shí)現(xiàn)兩種類型積分相互驗(yàn)證,確立新型的基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型."證明流形上的旋度公式"本身不是唯一目的,"建立基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分與空間環(huán)路積分之間的新公式關(guān)聯(lián),確立新型的基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分方法

4、的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型"是根本目的.本稿件相關(guān)的數(shù)值模型表明, 使用基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分, 能夠獲得關(guān)于復(fù)雜幾何形體 流形,尤其是不對稱、不規(guī)則(非閉合)曲面 的解析積分值或任意精度浮點(diǎn)積分值;實(shí)現(xiàn)任意曲面積分,實(shí)現(xiàn)向量場(電場、磁場、 流體場、引力場等)在任意自由空間區(qū)域(閉合路徑、非閉合曲面)的精確積分計(jì)算, 確立兩種類型積分的邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系, 實(shí)現(xiàn)流形上的旋度公式和工程意義上的流形積分.關(guān)鍵詞:微積分學(xué) 拓?fù)鋵W(xué) 物理學(xué) Poincare猜想 向量場 自由參數(shù)曲面坐標(biāo)系單連通可定向閉合參數(shù)曲面坐標(biāo)系 復(fù)連通可定向閉合參數(shù)曲面坐標(biāo)系 基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分 流形上

5、的旋度公式 證明 數(shù)值模型 和式極限基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分與空間環(huán)路積分之間的新公式關(guān)聯(lián)工程意義上流形積分 解析積分值 任意精度浮點(diǎn)數(shù)積分值中圖分類號(hào)：O17/O412.3目錄引言 證明的前提條件-單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系的建立 (參見 流形上的散度公式證明 引言2)1.1流形上的旋度公式證明 . 31.2 環(huán)面(復(fù)連通可定向閉合曲面)坐標(biāo)系旋度公式證明. 92.流形上的旋度公式數(shù)值模型 .13數(shù)值模型2.1 .13數(shù)值模型2.2 .213. 環(huán)面坐標(biāo)系旋度公式數(shù)值模型.284. 流形上的旋度公式的反例: 關(guān)于Mobius帶的空間環(huán)路積分與和曲面積分 4.1 流形上的旋度公式與Mob

6、ius帶. .32 4.2 Mobius帶的空間環(huán)路積分與和曲面積分?jǐn)?shù)值模型1.39 4.3 Mobius帶的空間環(huán)路積分與和曲面積分?jǐn)?shù)值模型2.43總結(jié) . 47參考書籍. 481.1流形上的旋度公式證明:旋度公式 設(shè)光滑或分片光滑的有向曲面S的正向邊界L+為光滑或分段光滑的閉合曲線. 如果函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)構(gòu)成向量場A在有向曲面S上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 (1)其中rotA為向量場A的旋度,n為有向曲面S的單位外法向量證明:定義任意單連通、可定向閉合曲面S的參數(shù)表達(dá)式:/不是”任意曲面S”的參數(shù)表達(dá)式,而是”任意單連通、可定向閉合曲面S”的參數(shù)表達(dá)式/詳

7、見”流形上的散度公式證明 引言2 證明的前提條件”說明a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u) (2)/在嚴(yán)格意義上, 參數(shù)表達(dá)式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)是任意單連通、可定向閉合曲面S在”直角坐標(biāo)系”和”任意單連通、可定向閉合曲面S坐標(biāo)系”之間的轉(zhuǎn)換式其中a,b,c為非零常數(shù)或一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)表達(dá)式, 單連通、可定向閉合曲面S決定a,b,c的取值; 設(shè)定參數(shù)u,v的變化范圍0,/n -,0,2,其中n為任意常數(shù),并且n 1;為任意常數(shù)或連續(xù)函數(shù)表達(dá)式,并且/n-<,使曲面S非閉合. (參見 Poin

8、care 猜想:"任何與n維球面同倫的n維閉合流形必定同胚于n維球面")18/Poincare猜想在旋度公式涉及的三維歐氏空間,其對應(yīng)的判斷為"任何單連通、可定向2維閉合流形必定同胚于2維球面"/待定系數(shù)a,b,c均不是由"任意的正弦與余弦函數(shù)"構(gòu)成, a,b,c的取值必須服從于參數(shù)曲面S的”單連通、可定向閉合”的拓?fù)鋵W(xué)屬性; 詳見”流形上的散度公式證明 引言2 證明的前提條件”說明 /開曲面的拓?fù)鋵W(xué)分類還沒有實(shí)現(xiàn),也只能通過閉合曲面參數(shù)變化范圍缺損的方式（即u0,Pi/n - theta,v0,2*Pi）描述非閉合曲面定義邊界曲線L

9、的參數(shù)表達(dá)式: cos(v), sin(v), (3)/由于在參數(shù)表達(dá)式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)中,待定系數(shù)a,b,c不可再次被解析 (即不可再識(shí)別其內(nèi)含變量u和v), 不能象在”球面/環(huán)面坐標(biāo)系旋度公式證明”或”流形上的旋度公式數(shù)值模型”中那樣-將變量u的邊界值帶入曲面S的參數(shù)表達(dá)式,直接獲得邊界曲線L參數(shù)表達(dá)式-而只能設(shè)定對曲面a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)具有依存關(guān)系的邊界曲線 cos(v), sin(v), 其中,為依存于a,b,c的常數(shù)(0,0)或一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)表達(dá)式; 因?yàn)閰?shù)v的變

10、化范圍為0,2,邊界曲線L閉合.(即 cos(v), sin(v), v0,2 構(gòu)成依存于曲面S的一維單連通閉合流形或若干一維單連通閉合流形的組合)18/將 cos(v), sin(v),轉(zhuǎn)化為 cos(v), sin(v)實(shí)際上就是獲得空間閉合曲線L在平面的投影; 參見”流形上的Green公式證明和數(shù)值模型 引言 證明的前提條件-(平面)單連通閉合參數(shù)曲線坐標(biāo)系的建立”說明 向量場A在邊界曲線L的環(huán)路積分: (4)/ 相對于由具體的、千變?nèi)f化的三元函數(shù)構(gòu)成的具體空間向量場,抽象空間向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是一種均衡、對稱的抽象數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu);在流形上的旋度公式證明

11、中,客觀上需要一種均衡、對稱的抽象可定向非閉合曲面(包括其邊界曲線)表達(dá)式與抽象空間向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)及其旋度匹配;Poincare猜想為抽象單連通可定向非閉合曲面表達(dá)式( 即a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u), u0,Pi/ntheta,v0,2*Pi)的實(shí)現(xiàn)提供了理論依據(jù)/ 在傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系Stokes公式證明中,則是”抽象可定向非閉合曲面:z= f(x,y) 的正向邊界曲線”和”抽象空間向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)”積分(參見高等數(shù)學(xué)(第六版)(下冊) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等教

12、育版 2007 P175-177)/因?yàn)槌橄笙蛄繄鯬(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)具有普遍性和同質(zhì)性, 以抽象函數(shù)P(x,y,z) 或Q(x,y,z), 或R(x,y,z)的變量x(或y或z)的內(nèi)含子變量v為自變量積分,其積分結(jié)果仍然可以表述為P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z). 也就是說,以變量x,y,z的內(nèi)含子變量v為自變量積分,不會(huì)改變抽象函數(shù)P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)本身的結(jié)構(gòu).因?yàn)槿绱?抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)能夠在積分以后保持原形. (參見附件3,”流形上的旋度公式和式

13、極限證明”部分)/ “積分值為零”有明確的數(shù)學(xué)、物理意義:在數(shù)學(xué)意義上,積分值為零是邏輯推導(dǎo)的必然結(jié)果,反映了積分諸元素之間的邏輯均衡狀態(tài);在物理意義上,積分值為零意味著”抽象向量場” 在 ”抽象空間閉合曲線(路徑)”上的環(huán)流量恒為靜止、待定的零;如果積分值為某一正數(shù)、負(fù)數(shù)或者某一表達(dá)式,則意味著”抽象向量場” 在 ”抽象空間閉合曲線(路徑)” 上始終存在正向、反向的流量或者某個(gè)未知的值,這將是不可解釋的現(xiàn)象根據(jù)曲面參數(shù)表達(dá)式(2),定義并計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取曲面S的切平面法向量: =(5)從(5)式分別提取i,j,k項(xiàng)系數(shù),獲得曲面S的切平面法向量:, (6)計(jì)算向量場 A 的旋度,并將其從

14、直角坐標(biāo)形式(7)轉(zhuǎn)變?yōu)閰?shù)曲面 S坐標(biāo)形式(8): (7) = (8) /在空間直角坐標(biāo)系,抽象向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的旋度為在本證明的邏輯推導(dǎo)中,需要將其引入抽象單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系.抽象向量場旋度的六個(gè)組成單元,為抽象微分函數(shù)結(jié)構(gòu),而其微分變量x,y,z皆含有子變量u,v.空間直角坐標(biāo)系與抽象單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系之間的曲面參數(shù)轉(zhuǎn)換式為x = a sin(u)cos(v), y = b sin(u) sin(v), z = c cos(u)-與微分函數(shù) (,),(,),(,) 的三個(gè)微分變量, 對應(yīng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換微分函數(shù)分別為 , 和 .“微分函

15、數(shù), 與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換微分函數(shù)的乘積” (即兩種微分函數(shù)的乘積) 構(gòu)成了抽象單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系的旋度./ 是”鏈?zhǔn)角髮?dǎo)”還是”坐標(biāo)轉(zhuǎn)換”? / 如果是”鏈?zhǔn)角髮?dǎo)”,根據(jù)”同鏈相乘,分鏈相加”的原則應(yīng)為:/ 不論是”鏈?zhǔn)角髮?dǎo)”還是求”散度”或者”旋度”, 解決的是抽象向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)”如何求導(dǎo)” 、”求導(dǎo)方式”的問題;而這里是要將抽象向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)旋度求導(dǎo)的結(jié)果從一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到另一個(gè)坐標(biāo)系的問題;兩個(gè)”問題”的性質(zhì)和層次都是不同的,這里是”相乘”而不是”相加”,這是由坐標(biāo)的空間屬性決定的旋度(8)與曲面S的

16、切平面法向量(6)的空間點(diǎn)積對變量u,v的積分: (9) =/因?yàn)槌橄笙蛄繄龅男?,包含的四個(gè)微分函數(shù)單元,具有普遍性和同質(zhì)性,在上述公式推導(dǎo)中,以變量x(或y或z)的內(nèi)含子變量u(或v)為自變量積分, 其積分性質(zhì)可以被理解為對 ”四個(gè)旋度的微分函數(shù)單元 即,、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換微分函數(shù)二者的乘積” 與 ”切平面法向量” 的 ”空間點(diǎn)積” 的積分.以變量x,y,z的內(nèi)含子變量u(或v)為自變量積分,不會(huì)改變抽象向量場旋度的四個(gè)微分函數(shù)單元本身的結(jié)構(gòu). 抽象向量場旋度及其微分函數(shù)單元,或,或,或能夠在積分以后保持原形;而與其三個(gè)微分變量,對應(yīng)的三個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換微分函數(shù),即: , 和 則可以在積分以后被改變.

17、(參見附件3,”流形上的旋度公式和式極限證明”部分)即(4)式=(9)式:亦可表述為 (1), 證畢1.2環(huán)面(復(fù)連通可定向閉合曲面)坐標(biāo)系旋度公式證明:旋度公式 設(shè)光滑或分片光滑的有向曲面S的正向邊界L+為光滑或分段光滑的閉合曲線. 如果函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 構(gòu)成向量場A 在有向曲面S上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 (1)其中rotA為向量場A的旋度,n為有向曲面S的單位外法向量證明:定義環(huán)面S的參數(shù)表達(dá)式:(2+cos(u)cos(v),(2+cos(u)sin(v),sin(u) (2)設(shè)定參數(shù)u,v的變化范圍0,2/n - ,0,2,其中n為任意常數(shù),并且n

18、1;為任意常數(shù)或連續(xù)函數(shù)(以v為自變量的三角函數(shù))表達(dá)式,并且2/n-< 2,使環(huán)面S非閉合.將變量u的兩邊界值帶入環(huán)面S的參數(shù)表達(dá)式,獲得邊界曲線L1,L2參數(shù)表達(dá)式:L1: (3)L2: (4)因?yàn)閰?shù)v的變化范圍為0,2,邊界曲線L1,L2閉合. 向量場A在邊界曲線L1,L2的環(huán)路積分: (5)根據(jù)環(huán)面參數(shù)表達(dá)式(2),定義并計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取環(huán)面S的切平面法向量(6): =從(6)式分別提取i,j,k項(xiàng)系數(shù),獲得環(huán)面S的切平面法向量: (7) 計(jì)算向量場A的旋度,并將其從直角坐標(biāo)形式(8)轉(zhuǎn)變?yōu)榄h(huán)面坐標(biāo)形式(9): (8) (9) 旋度(9)與環(huán)面S的切平面法向量(7)的空間點(diǎn)

19、積對變量u,v的積分:(10)= 即(5)式=(10)式:=亦可表述為 (1), 證畢2.流形上的旋度公式數(shù)值模型:數(shù)值模型2.1:已知: 單連通、可定向非閉合曲面(不規(guī)則、不對稱)的參數(shù)表達(dá)式 (1)其中,u0,v0,2; 以及積分向量場 (2)計(jì)算并驗(yàn)證流形上的旋度公式圖1 單連通、可定向非閉合曲面（1）不規(guī)則、不對稱解: 第一部分,自由空間環(huán)路積分實(shí)現(xiàn):將變量u的右邊界值帶(即)入目標(biāo)曲面參數(shù)表達(dá)式(1),獲得目標(biāo)曲面的邊界曲線參數(shù)表達(dá)式(3):/ 與”公式證明” 設(shè)定對抽象單連通、可定向非閉合參數(shù)曲面a*sin(u)cos(v), b*sin(u)sin(v),c*cos(u)具有依存

20、關(guān)系的邊界曲線 cos(v), sin(v),不同,在”數(shù)值模型”中可以直接將變量u的邊界值帶入具體單連通、可定向非閉合參數(shù)曲面(1)的參數(shù)表達(dá)式,直接獲得邊界曲線參數(shù)表達(dá)式圖2 單連通、可定向非閉合曲面(1)的邊界曲線(3)將邊界曲線表達(dá)式(3)帶入積分向量場(2); 并且實(shí)現(xiàn)向量場(2)在邊界曲線(3)的環(huán)路積分(4):第二部分,自由(非閉合)曲面積分實(shí)現(xiàn):根據(jù)曲面參數(shù)表達(dá)式(1),定義并計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取曲面的切平面法向量: = (5)從(5)式分別提取i,j,k項(xiàng)系數(shù),獲得曲面(1)的切平面法向量(6):/ 不同幾何拓?fù)湫螤畹那?有不同的切平面法向量計(jì)算向量場(2)的旋度(7):

21、(7)將目標(biāo)曲面參數(shù)表達(dá)式(1)帶入旋度(7);并且實(shí)現(xiàn)旋度(7)與曲面切平面法向量(6)的空間點(diǎn)積對曲面參數(shù)u,v的積分(8):/ 與”公式證明”中涉及的抽象旋度函數(shù)不同,在”數(shù)值模型”中可以直接將目標(biāo)曲面參數(shù)表達(dá)式(1) 帶入具體旋度(7), 繼之以”具體旋度(7)與切平面法向量(6)的空間點(diǎn)積”,進(jìn)行曲面積分積分向量場在目標(biāo)曲面的邊界環(huán)路積分精確值(4),等于該向量場的旋度在目標(biāo)曲面的曲面積分精確值(8),流形上的旋度公式運(yùn)算并驗(yàn)證完畢數(shù)值模型2.2:已知: 單連通、可定向非閉合曲面(不規(guī)則、不對稱)的參數(shù)表達(dá)式(1):其中,u0,v0,2; 以及積分向量場 (2)計(jì)算并驗(yàn)證流形上的旋度

22、公式圖3 單連通、可定向非閉合曲面（1）不規(guī)則、不對稱解: 第一部分,自由空間環(huán)路積分實(shí)現(xiàn):將變量u的右邊界值(即)帶入目標(biāo)曲面參數(shù)表達(dá)式(1),獲得目標(biāo)曲面的邊界曲線參數(shù)表達(dá)式(3):圖4 單連通、可定向非閉合曲面(1)的邊界曲線(3)將邊界曲線表達(dá)式(3)帶入積分向量場(2); 并且實(shí)現(xiàn)向量場(2)在邊界曲線(3)的環(huán)路積分(4): = /由于被積分表達(dá)式出現(xiàn)cos(cos(.),sin(sin(.)之類結(jié)構(gòu),積分結(jié)果沒有以初等函數(shù)式表達(dá)的解析值,而只有任意精度浮點(diǎn)數(shù)值第二部分,自由(非閉合)曲面積分實(shí)現(xiàn):根據(jù)曲面參數(shù)表達(dá)式(1),定義并計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取曲面的切平面法向量(5): =從

23、(5)式分別提取i,j,k項(xiàng)系數(shù),獲得曲面(1)的切平面法向量(6):/ 不同幾何拓?fù)湫螤畹那?有不同的切平面法向量計(jì)算向量場(2)的旋度(7): (7)將目標(biāo)曲面參數(shù)表達(dá)式(1)帶入旋度(7);并且實(shí)現(xiàn)旋度(7)與曲面切平面法向量(6)的空間點(diǎn)積對曲面參數(shù)u,v的積分(8):/ 與”公式證明”中涉及的抽象旋度函數(shù)不同,在”數(shù)值模型”中可以直接將目標(biāo)曲面參數(shù)表達(dá)式(1) 帶入具體旋度(7), 繼之以”具體旋度(7)與切平面法向量(6)的空間點(diǎn)積”,進(jìn)行曲面積分 = /由于積分變量u的右積分限為三角函數(shù)表達(dá)式,將其帶入被積分表達(dá)式以后,將出現(xiàn)cos(cos(.),sin(sin(.)之類結(jié)構(gòu),

24、積分結(jié)果沒有以初等函數(shù)式表達(dá)的解析值,而只有任意精度浮點(diǎn)數(shù)值積分向量場在目標(biāo)曲面的邊界環(huán)路積分值(任意精度浮點(diǎn)數(shù)值)(4),等于該向量場的旋度在目標(biāo)曲面的曲面積分值(任意精度浮點(diǎn)數(shù)值)(8),流形上的旋度公式運(yùn)算并驗(yàn)證完畢3.環(huán)面坐標(biāo)系旋度公式數(shù)值模型已知: 環(huán)面(復(fù)連通可定向非閉合曲面)的參數(shù)表達(dá)式 (1)其中,u,v;以及積分向量場 (2)計(jì)算并驗(yàn)證環(huán)面坐標(biāo)系旋度公式.圖5 非閉合環(huán)面及其邊界曲線CL1和CL2;積分向量場(紅箭簇)及其旋度(藍(lán)箭簇)解: 第一部分,非閉合環(huán)面空間環(huán)路積分實(shí)現(xiàn):將變量 u 的左邊界值 (即Pi/5) 帶入環(huán)面的參數(shù)表達(dá)式, 獲得邊界曲線CL1 參數(shù)表達(dá)式 (

25、3):(3)將變量 u 的右邊界值 (即2Pi) 帶入環(huán)面的參數(shù)表達(dá)式, 獲得邊界曲線 CL2 參數(shù)表達(dá)式(4): (4)將邊界曲線表達(dá)式(3)帶入積分向量場(2); 并且實(shí)現(xiàn)向量場(2)在邊界曲線(3)的曲線積分(5): V1 = (5)將邊界曲線表達(dá)式(4)帶入積分向量場(2); 并且實(shí)現(xiàn)向量場(2)在邊界曲線(4)的曲線積分(6): V2 = (32)向量場 P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 對閉合邊界曲線 CL1,CL2 的環(huán)路積分 (7):V1 V2 = 第二部分,非閉合環(huán)面曲面積分實(shí)現(xiàn):根據(jù)環(huán)面參數(shù)表達(dá)式(1),定義并計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取環(huán)面的切平面法向量(

26、8): = (8) 從(8)式分別提取i,j,k項(xiàng)系數(shù),獲得Mobius帶(1)的切平面法向量(9):(9)計(jì)算向量場(2)的旋度(10): (10)將環(huán)面參數(shù)表達(dá)式(1)帶入旋度(10);并且實(shí)現(xiàn)旋度(10)與曲面切平面法向量(9)的空間點(diǎn)積對曲面參數(shù)u,v的積分 (11):= 積分向量場在非閉合環(huán)面的邊界環(huán)路積分精確值(7), 等于該向量場的旋度在非閉合環(huán)面的曲面積分精確值(11),環(huán)面坐標(biāo)系旋度公式運(yùn)算并驗(yàn)證完畢.4.流形上的旋度公式的反例-關(guān)于Mobius帶的空間環(huán)路積分和曲面積分4.1流形上的旋度公式與Mobius帶 眾所周知,Mobius帶是典型的不可定向非閉合曲面;如果將Mobi

27、us帶用”流形上的旋度公式證明”的邏輯方法推導(dǎo)演繹,將會(huì)出現(xiàn)怎樣的情況?旋度公式 設(shè)光滑或分片光滑的有向曲面S的正向邊界L+為光滑或分段光滑的閉合曲線. 如果函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 構(gòu)成向量場A 在有向曲面S上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 (1)其中rotA為向量場A的旋度,n為有向曲面S的單位外法向量證明(反例):定義Mobius帶的參數(shù)表達(dá)式:(3 + v cos(u/2) cos(u),(3 + v cos(u/2) sin(u), v sin(u/2) (2)設(shè)定參數(shù)變化范圍,u0,2,v-1,1,如圖: 圖6 Mobius帶(具有不可定向,非閉合的幾何拓?fù)鋵?/p>

28、性)將變量v的左邊界值(即-1)帶入Mobius 帶的參數(shù)表達(dá)式(2), 獲得邊界曲線CL1參數(shù)表達(dá)式(3): (3)將變量v的右邊界值 (即1)帶入 Mobius 帶的參數(shù)表達(dá)式(2), 獲得邊界曲線CL2參數(shù)表達(dá)式(4): (4) 圖7 Mobius帶及其邊界曲線CL1和CL2 圖8 Mobius帶的邊界曲線CL1和CL2拼接,呈閉合狀態(tài) 抽象向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)對邊界曲線CL1曲線積分(5):V1 = 2P(x,y,z) (5)抽象向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)對邊界曲線CL2曲線積分(6): V2 = -2P(x,y,z

29、) (6)向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 對拼接閉合邊界曲線CL1,CL2的環(huán)路積分(7):V1 V2 = 4P(x,y,z) (7)根據(jù)Mobius帶參數(shù)表達(dá)式(2), 定義并計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣, 獲取Mobius帶的切平面法向量(8): = (8) 從(8)式分別提取i,j,k項(xiàng)系數(shù),獲得Mobius帶的切平面法向量: (9)計(jì)算向量場A的旋度,并將其從直角坐標(biāo)形式(10)轉(zhuǎn)變?yōu)镸obius帶坐標(biāo)形式(11): (10) =旋度(11)與Mobius帶的切平面法向量(9)的空間點(diǎn)積對變量u,v的積分:(12) = (12) 即(7)式(12)式用”流形上的旋度公式證

30、明”的邏輯方法推導(dǎo)演繹,Mobius帶的曲面積分與其邊界曲線的環(huán)路積分在邏輯上不相等證明(反例)完畢.4.2關(guān)于Mobius帶的空間環(huán)路積分和曲面積分?jǐn)?shù)值模型1已知: Mobius帶(不可定向非閉合曲面)的參數(shù)表達(dá)式(3 + v cos(u/2)cos(u),(3 + v cos(u/2)sin(u), v sin(u/2) (1)其中,u0,2,v-1,1;以及積分向量場 (2)計(jì)算并驗(yàn)證流形上的旋度公式(反例).圖9 Mobius帶及其邊界曲線CL1和CL2;積分向量場(紅箭簇)及其旋度(藍(lán)箭簇)解: 第一部分,Mobius帶空間環(huán)路積分實(shí)現(xiàn):將變量v的左邊界值(即-1)帶入Mobius

31、帶的參數(shù)表達(dá)式, 獲得邊界曲線CL1參數(shù)表達(dá)式(3): (3)將變量v的右邊界值(即1)帶入 Mobius 帶的參數(shù)表達(dá)式, 獲得邊界曲線CL2參數(shù)表達(dá)式(4): (4)將邊界曲線表達(dá)式(3)帶入積分向量場(2); 并且實(shí)現(xiàn)向量場(2)在邊界曲線(3)的曲線積分(5): V1 = (5)將邊界曲線表達(dá)式(4)帶入積分向量場(2); 并且實(shí)現(xiàn)向量場(2)在邊界曲線(4)的曲線積分(6): V2 = (6)向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 對拼接閉合邊界曲線CL1,CL2的環(huán)路積分(7):V1 V2 = (7)第二部分,Mobius帶曲面積分實(shí)現(xiàn):根據(jù) Mobius 帶參

32、數(shù)表達(dá)式(1),定義并計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取 Mobius 帶的切平面法向量(8): = (8) 從(8)式分別提取i,j,k項(xiàng)系數(shù),獲得Mobius帶(1)的切平面法向量(9):計(jì)算向量場(2)的旋度(10): = (10)將Mobius帶參數(shù)表達(dá)式(1)帶入旋度(10);并且實(shí)現(xiàn)旋度(10)與曲面切平面法向量(9)的空間點(diǎn)積對曲面參數(shù)u,v的積分(11):= (11)積分向量場在Mobius帶的邊界環(huán)路積分精確值(7),等于該向量場的旋度在Mobius帶的曲面積分精確值(11),流形上的旋度公式(反例)運(yùn)算并驗(yàn)證完畢.4.3關(guān)于Mobius帶的空間環(huán)路積分和曲面積分?jǐn)?shù)值模型2已知: Mobi

33、us帶(不可定向非閉合曲面)的參數(shù)表達(dá)式(3 + v cos(u/2)cos(u),(3 + v cos(u/2)sin(u), v sin(u/2) (1)其中,u0,2,v-1,1;以及積分向量場 (2)計(jì)算并驗(yàn)證流形上的旋度公式(反例)圖10 Mobius帶及其邊界曲線CL1和CL2;積分向量場(紅箭簇)及其旋度(藍(lán)箭簇)解: 第一部分,Mobius帶空間環(huán)路積分實(shí)現(xiàn):將變量v的左邊界值(即-1)帶入Mobius 帶的參數(shù)表達(dá)式, 獲得邊界曲線CL1參數(shù)表達(dá)式(3): (3)將變量v的右邊界值(即1)帶入 Mobius 帶的參數(shù)表達(dá)式, 獲得邊界曲線CL2參數(shù)表達(dá)式(4): (4)將邊界

34、曲線表達(dá)式(3)帶入積分向量場(2); 并且實(shí)現(xiàn)向量場(2)在邊界曲線(3)的曲線積分(5): V1 = (5)將邊界曲線表達(dá)式(4)帶入積分向量場(2); 并且實(shí)現(xiàn)向量場(2)在邊界曲線(4)的曲線積分(6): V2 = (6)向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 對拼接閉合邊界曲線CL1,CL2的環(huán)路積分(7):V1 V2 = (7)第二部分,Mobius帶曲面積分實(shí)現(xiàn):根據(jù) Mobius 帶參數(shù)表達(dá)式(1),定義并計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取 Mobius 帶的切平面法向量(8): = (8) 從(8)式分別提取i,j,k項(xiàng)系數(shù),獲得Mobius帶(1)的切平面法向量(9)

35、:計(jì)算向量場(2)的旋度(10): = (10)將Mobius帶參數(shù)表達(dá)式(1)帶入旋度(10);并且實(shí)現(xiàn)旋度(10)與曲面切平面法向量(9)的空間點(diǎn)積對曲面參數(shù)u,v的積分(11):= (11)積分向量場在Mobius帶的邊界環(huán)路積分精確值(7),不等于該向量場的旋度在Mobius帶的曲面積分精確值(11),流形上的旋度公式(反例)運(yùn)算并驗(yàn)證完畢.實(shí)際數(shù)據(jù)表明,在流形上的旋度公式(Mobius帶反例)證明中,涉及抽象向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 運(yùn)算,Mobius帶的曲面積分與其邊界環(huán)路積分在邏輯上不等; 在流形上的旋度公式 (Mobius帶反例)數(shù)值模型中,

36、因具體向量場的不同取值,Mobius帶的曲面積分與其邊界環(huán)路積分或者相等,或者不等.總結(jié)傳統(tǒng)的旋度公式證明邏輯體系, 建立了基于空間直角坐標(biāo)系投影法 (簡稱投影法)的曲面積分與空間環(huán)路積分的公式關(guān)聯(lián),確立了投影法為曲面積分的根本方法. 但是投影法存在諸多明顯的缺陷 (例如計(jì)算過程繁瑣,不適用于不對稱、不規(guī)則曲面等),以致于物理、工程領(lǐng)域的許多重要問題 (例如電磁學(xué)領(lǐng)域的 Maxwell方程組實(shí)例化和流體力學(xué)領(lǐng)域的任意不規(guī)則控制面積分)的解決途徑, 均建立在直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組求解基礎(chǔ)上.一個(gè)多世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)、物理和工程實(shí)踐已經(jīng)證明,通過投影法、直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程

37、組, 難于甚至不能獲得關(guān)于復(fù)雜幾何對象 (流形) 的解析解、數(shù)值解;傳統(tǒng)的流形微積分學(xué), 用外微分形式推導(dǎo)出Green公式, -Gauss公式,Stokes公式,乃至關(guān)于n維空間積分的廣義Stokes公式20,即但是這類用外微分形式推導(dǎo)出的公式只具有抽象的理論意義,并沒有揭示積分的具體實(shí)現(xiàn)過程,更無具體數(shù)值模型可言;建立與具體幾何對象(流形)匹配的個(gè)性化坐標(biāo)系(即有什么樣的幾何形體,就建立什么樣幾何形體的坐標(biāo)系;而不再依賴于已有的少數(shù)幾個(gè)直角坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、廣義球面坐標(biāo)系等),證明旋度公式在無窮多個(gè)任意參數(shù)曲面(流形)坐標(biāo)系包括單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系(基于Poincare猜

38、想)和復(fù)連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系(環(huán)面坐標(biāo)系)的存在, 使散度公式超越傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系框架, 建立基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分與空間環(huán)路積分之間的新公式關(guān)聯(lián), 并且在無限豐富、絢麗的公式數(shù)值模型運(yùn)算中實(shí)現(xiàn)兩種類型積分相互驗(yàn)證, 確立新型的基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型."證明流形上的旋度公式" 本身不是唯一目的,"建立基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分與空間環(huán)路積分之間的新公式關(guān)聯(lián), 確立新型的基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型"是根本目的.本稿件相關(guān)的數(shù)值模型表明, 通過參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分, 能

39、夠獲得關(guān)于復(fù)雜幾何形體(流形)尤其是不對稱、不規(guī)則(非閉合)曲面的解析積分值或任意精度浮點(diǎn)積分值;實(shí)現(xiàn)任意曲面積分、任意空間環(huán)路積分(甚至實(shí)現(xiàn)積分區(qū)間的藝術(shù)化);尋找向量場(電場、磁場、流體場、引力場等)在任意自由空間區(qū)域(非閉合曲面,閉合路徑)的積分計(jì)算途徑和關(guān)聯(lián)關(guān)系,尋找微積分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和工程計(jì)算三者的直接銜接點(diǎn), 實(shí)現(xiàn)流形上的旋度公式和工程意義上的流形積分, 實(shí)現(xiàn)更廣大、更自由的物理、數(shù)學(xué)探索和工程實(shí)踐.參考書籍:1基礎(chǔ)物理述評教程潘根 科學(xué)版 2002.1 (P363-364,P385,P401)2費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(第2卷) The Feynman Lectures on Physic

40、s by Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. SandsPearson Education 1989 上海世紀(jì)出版股份有限公司/上海科學(xué)技術(shù)版 2005.6 第1版 2009.10 第6次印刷 (P36-38,P213-229,P230-242,P259-289)3電磁學(xué) 高等教育版 2001.1 (P172-175)4電動(dòng)力學(xué)及其計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)科學(xué)版 2007.8 (P1-47)5場論 原子能版 2006.10 (2008.8 重印) (P13-17)6流體力學(xué) 冶金工業(yè)版 2010.2(P37-39)7應(yīng)用流體力學(xué) 清華大學(xué)版 2

41、006.3 (P46)8工程流體力學(xué) 人民交通版 2010.1(P88-96)9多維氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)(第2版)北京航空航天大學(xué)版 2008.6 (P15)10數(shù)學(xué)分析簡明教程(下冊) 前蘇聯(lián) . 高等教育版 1956.8 (P650-653)11工程數(shù)學(xué): 矢量分析與場論謝樹藝 高等教育版 1978.12 第1版 1985.3 第2版 2002.3 第23次印刷 (P53-57,P85,P90-91)12微積分(下冊) 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 高等教育版 2002.1 (P239-246)13高等數(shù)學(xué) 多元微積分及其教學(xué)軟件上海市教委 組編 上海交通大學(xué) 同濟(jì)大學(xué) 華東理工大學(xué) 上海大學(xué) 編 科學(xué)版

42、 1999.6 (P403-412) 14工科微積分(下冊) 丁曉慶 科學(xué)版 2002.9 (P319-321)15高等數(shù)學(xué)(第六版)(下冊) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等教育版 1978.10 第1版 2007.6 第6版 2009.8 第9次印刷 (P175-177,P178-179)16托馬斯微積分(第10版) Thomass Calculus(Tenth Edition) 高等教育版 2003.8 (P1137-1145)17微積分 M.R.Spiegel Schaums Outline of Theory and Problems of Advanced CalculusMcGraw-Hil

43、l Companies, Inc Copyright 1963, 37thPrinting, 1998 科學(xué)版 2002.1 (P192-195) 18龐加萊猜想暨幾何化猜想的完全證明A complete proof of the Poincare and geometrization conjectures-Application of the Hamilton-Perelman theory of the RICCI flow . . 朱熹平 曹懷東 Asian J. MathJune 2006, P165-49219流形上的微積分 M.Spivak 人民郵電版 2006.1 (P114-

44、143)20Maple指令參考手冊 國防工業(yè)版 2002.1Proof and Numerical Models ofCurl Theorem at ManifoldAnalysis and ExplanationYangkeChina Chengdu 610017E-mail: Abstract:Curl Theorem( i.e. Stokes Theorem) is one of the hard core in modern mathematical and physical system. The logic system of Curl Theorems traditional p

45、roof, established formular association between Surface Integral (Based on projective method in 3-Dimensional Cartesian coordinates) and Space Closed Curve Integral, radicated that projective method in 3-dimensional Cartesian coordinates (shortened form as projective method) was primary method of sur

46、face integral. But projective method possesses many obvious defects (e.g. complicated and tedious calculating course, be disable to calculate on asymmetrical、irregular surfaces etc.), so that resolvents of many important questions in physics、engineering field (e.g. instantiation of Maxwell's equ

47、ations in electromagnetism and integral at discretional irregular control surface in hydrodynamics) are built on solving partial differential equations in Cartesian coordinates or other coordinates. For more than a century, countless mathematical、physical and engineering practices have proved: Depen

48、d on projective method、 partial differential equations in Cartesian coordinates or other coordinates, it is difficult or disable to obtain analytical solution or numerical solution about complicated geometric objects (Manifold) ;Traditional manifold calculus deducts out Green Theorem、 - Gauss Theore

49、m and Stokes Theorem by exterior differential form, and even generalized Stokes Theorem about n-dimensional space integral 20, viz.But these theorems (deducted by exterior differential form), scantly possess abstract academic meaning, and cant reveal idiographic course of integrals, leave alone idio

50、graphic numerical models;In this manuscript, constitute individual coordinates that matches with idiographic geometric object Manifold (Viz. What idiographic geometric shape, what coordinates of idiographic geometric shape; no longer rely on a few existent coordinates: Cartesian coordinates、Spherica

51、l coordinates、Cylindrical coordinates and generalized spherical coordinates etc.), by methods of integral and finite sums limits, prove the presence of Curl Theorem in countless free parametrized surface Manifold coordinates Include simply connected orientable closed surface coordinates (Bases on Po

52、incare conjecture) and multiple connected orientable closed surface (Torus) coordinates, enable Curl Theorem surpass traditional architecture of 3-Dimensional Cartesian coordinates, establish new formular association between surface integral (Bases on parameterized dot product method) and spacial closed curve integral, and realize mutual validation between two types of integral in infinitely plentiful a