江蘇省南京市鹽城市高三數(shù)學(xué)二模試卷word

1、江蘇省南京市、鹽城市2015屆高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分請將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上）1. 函數(shù)的最小正周期為 .2. 已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第 象限.3. 如圖是一個(gè)算法流程圖，如果輸入的值是，則輸出的值是 .4. 某工廠為了了解一批產(chǎn)品的凈重（單位：克）情況，從中隨機(jī)抽測了100件產(chǎn)品的凈重，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間96，106中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100件產(chǎn)品中，凈重在區(qū)間100，104上的產(chǎn)品件數(shù)是 .5. 袋中有大小、質(zhì)地相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一

2、個(gè)球若摸出紅球，得2分，摸出黑球，得1分，則3次摸球所得總分至少是4分的概率是 .6. 如圖，在平面四邊形ABCD中，AC,BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn)，若（），則 .7. 已知平面，直線，給出下列命題：若，則若，則若，則若，則.其中是真命題的是 .（填寫所有真命題的序號(hào)）。8. 如圖，在中，D是BC上的一點(diǎn)。已知，則AB= .9. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，若射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則FM：MN= .10. 記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列也為等差數(shù)列，則= .11. 已知知函數(shù)，則不等式的解集是 .12. 在平面直

3、角坐標(biāo)系中，已知：，為與x負(fù)半軸的交點(diǎn)，過A作的弦AB，記線段AB的中點(diǎn)為M.則直線AB的斜率為 .13. 已知均為銳角，且，則的最大值是 .14. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的所有解的和為 .二、解答題（本大題共6小題，共90分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15（本小題滿分14分）在中，角A、B、C的對邊分別為.已知.(1)若,求的面積；(2)設(shè)向量，且，求 的值。16（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐PABCD中，.（1）求證：平面；(第16題圖)PABCDM（2）若M為線段PA的中點(diǎn)，且過三點(diǎn)的平面與PB交于點(diǎn)N，求PN：PB的值。17（本小題滿分14分）EBGANDMCFOH

4、P(第17題圖)右圖為某倉庫一側(cè)墻面的示意圖，其下部是矩形ABCD，上部是圓AB，該圓弧所在的圓心為O，為了調(diào)節(jié)倉庫內(nèi)的濕度和溫度，現(xiàn)要在墻面上開一個(gè)矩形的通風(fēng)窗EFGH（其中E，F(xiàn)在圓弧AB上，G，H在弦AB上）。過O作，交AB 于M，交EF于N，交圓弧AB于P，已知（單位：m）,記通風(fēng)窗EFGH的面積為S（單位：）（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式： （i）設(shè)，將S表示成的函數(shù)；(ii)設(shè)，將S表示成的函數(shù)；（2）試問通風(fēng)窗的高度MN為多少時(shí)？通風(fēng)窗EFGH的面積S最大？18（本小題滿分16分）xyAOBCDMN(第18題圖)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓E：的離心率為，直線l：與橢圓E相交于

5、A，B兩點(diǎn)，C，D是橢圓E上異于A，B兩點(diǎn)，且直線AC，BD相交于點(diǎn)M，直線AD，BC相交于點(diǎn)N.（1）求的值；（2）求證：直線MN的斜率為定值。19（本小題滿分16分）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)若,求證：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(3)若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值。20（本小題滿分16分）給定一個(gè)數(shù)列，在這個(gè)數(shù)列里，任取項(xiàng)，并且不改變它們在數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列的一個(gè)階子數(shù)列。已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，等差數(shù)列，是數(shù)列的一個(gè)3子階數(shù)列。（1） 求的值；（2） 等差數(shù)列是的一個(gè)階子數(shù)列，且，求證：（3） 等比數(shù)列是的一個(gè)階子數(shù)列，求證：南京市、鹽城市201

6、5屆高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)附加題21、選做題A選修4-1；幾何證明選講如圖，過點(diǎn)A的圓與BC切于點(diǎn)D，且與AB、AC分別交于點(diǎn)E、F.已知AD為BAC的平分線，求證：EF/BCBADECF（第21A題圖）B選修4-2：矩陣與變換已知矩陣，的逆矩陣（1）求a,b的值； （2）求的特征值。C選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知曲線C：，直線l：.設(shè)曲線C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長度。D選修4-5：不行等式選講已知x,y,z都是正數(shù)且xyz=1,求證：(1+x)(1+y)(1+z)822、甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束。除第

7、五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)分別求甲隊(duì)以3：0，3：1，3：2獲勝的概率；（2）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為3:2，則勝利方得2分、對方得1分.求甲隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望。23、（本小題滿分10分）已知，定義（1）記 ，求的值；（2）記 ，求所有可能值的集合。南京市、鹽城市2015屆高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1p 2一 32 455 5 6 7 8 9 1050 11(1，2) 12 2 13 141000015（本小題滿分14分）

8、在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c已知cosC（1）若×，求ABC的面積；（2）設(shè)向量x(2sin，)，y(cosB，cos)，且xy，求sin(BA)的值解：（1）由·，得abcosC 又因?yàn)閏osC，所以ab 2分又C為ABC的內(nèi)角，所以sinC 4分所以ABC的面積SabsinC3 6分（2）因?yàn)閤/y，所以2sincoscosB，即sinBcosB 8分因?yàn)閏osB0，所以tanB因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，所以B 10分所以AC，所以AC 所以sin(BA)sin(A)sin(C)sinCcosC×× 14分16（本小題滿分14分）如圖，

9、在四棱錐PABCD中， ADCDAB， ABDC，ADCD，PC平面ABCD（1）求證：BC平面PAC；(第16題圖)PABCDM（2）若M為線段PA的中點(diǎn)，且過C，D，M三點(diǎn)的平面與PB交于點(diǎn)N，求PN：PB的值證明：（1）連結(jié)AC不妨設(shè)AD1因?yàn)锳DCDAB，所以CD1，AB2因?yàn)?#208;ADC90°，所以AC，ÐCAB45°在ABC中，由余弦定理得BC，所以AC2BC2AB2所以BCAC 3分因?yàn)镻C平面ABCD，BCÌ平面ABCD，所以BCPC 5分因?yàn)镻CÌ平面PAC，ACÌ平面PAC，PCACC，所以BC平面PAC 7

10、分(第16題圖)PABCDMN（2）如圖，因?yàn)锳BDC，CDÌ平面CDMN，ABË平面CDMN，所以AB平面CDMN 9分因?yàn)锳BÌ平面PAB，平面PAB平面CDMNMN，所以ABMN 12分在PAB中，因?yàn)镸為線段PA的中點(diǎn)，所以N為線段PB的中點(diǎn)，即PN：PB的值為 14分17（本小題滿分14分）EBGANDMCFOHP(第17題圖)右圖為某倉庫一側(cè)墻面的示意圖，其下部是一個(gè)矩形ABCD，上部是圓弧AB，該圓弧所在圓的圓心為O為了調(diào)節(jié)倉庫內(nèi)的濕度和溫度，現(xiàn)要在墻面上開一個(gè)矩形的通風(fēng)窗EFGH(其中E，F(xiàn)在圓弧AB上， G，H在弦AB上)過O作OPAB，交AB于

11、M，交EF于N，交圓弧AB于P已知OP10，MP6.5（單位：m），記通風(fēng)窗EFGH的面積為S（單位：m2） （1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：(i)設(shè)POF (rad)，將S表示成的函數(shù)；(ii)設(shè)MNx (m)，將S表示成x的函數(shù)； （2）試問通風(fēng)窗的高度MN為多少時(shí)，通風(fēng)窗EFGH的面積S最大？解：（1）由題意知，OFOP10，MP6.5，故OM3.5(i)在RtONF中，NFOFsin10sin，ONOFcos10cos在矩形EFGH中，EF2MF20sin，F(xiàn)GONOM10cos3.5，故SEF×FG20sin(10cos3.5)10sin(20cos7)即所求函數(shù)關(guān)系是S1

12、0sin(20cos7)，00，其中cos0 4分(ii)因?yàn)镸Nx，OM3.5，所以O(shè)Nx3.5在RtONF中，NF在矩形EFGH中，EF2NF，F(xiàn)GMNx，故SEF×FGx即所求函數(shù)關(guān)系是Sx，0x6.5 8分（2）方法一：選擇(i)中的函數(shù)模型：令f()sin(20cos7)，則f ()cos(20cos7)sin(20sin)40cos27cos20 10分由f ()40cos27cos200，解得cos，或cos 因?yàn)?0，所以coscos0，所以cos 設(shè)cos，且為銳角，則當(dāng)(0，)時(shí)，f ()0 ，f()是增函數(shù)；當(dāng)(，0)時(shí)，f ()0 ，f()是減函數(shù)， 所以當(dāng)，

13、即cos時(shí)，f()取到最大值，此時(shí)S有最大值即MN10cos3.54.5m時(shí)，通風(fēng)窗的面積最大 14分方法二：選擇(ii)中的函數(shù)模型：因?yàn)镾 ，令f(x)x2(35128x4x2)，則f (x)2x(2x9)(4x39) 10分 因?yàn)楫?dāng)0x時(shí) ，f (x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f (x)0，f(x)單調(diào)遞減， 所以當(dāng)x時(shí)，f(x)取到最大值，此時(shí)S有最大值 即MNx4.5m時(shí)，通風(fēng)窗的面積最大 14分18（本小題滿分16分）xyAOBCDMN(第18題圖)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：1(ab0) 的離心率為，直線l：yx與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，AB2C，D是橢圓E上異于

14、A，B的任意兩點(diǎn)，且直線AC，BD相交于點(diǎn)M，直線AD，BC相交于點(diǎn)N （1）求a，b的值；（2）求證：直線MN的斜率為定值解：（1）因?yàn)閑，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2 2分故橢圓方程為1由題意，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第三象限由解得A(b，b)又AB2，所以O(shè)A，即b2b25，解得b23故a，b 5分（2）方法一：由（1）知，橢圓E的方程為 1，從而A(2，1)，B(2，1)當(dāng)CA，CB，DA，DB斜率都存在時(shí)，設(shè)直線CA，DA的斜率分別為k1，k2，C(x0，y0)，顯然k1k2從而k1 ·kCB· 所以kCB 8分同理kDB 于是直線AD的方程為

15、y1k2(x2)，直線BC的方程為y1(x2)由解得 從而點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，) 用k2代k1，k1代k2得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，) 11分所以kMN 1即直線MN的斜率為定值1 14分當(dāng)CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設(shè)直線CA的斜率不存在，從而C(2，1)仍然設(shè)DA的斜率為k2，由知kDB此時(shí)CA：x2，DB：y1(x2)，它們交點(diǎn)M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它們交點(diǎn)N(2，1)，從而kMN1也成立由可知，直線MN的斜率為定值1 16分方法二：由（1）知，橢圓E的方程為 1，從而A(2，1)，B(2，1)當(dāng)CA，CB，

16、DA，DB斜率都存在時(shí)，設(shè)直線CA，DA的斜率分別為k1，k2顯然k1k2直線AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x1，y1)，則2·x1，從而x1 所以C(，)又B(2，1)，所以kBC 8分所以直線BC的方程為y1(x2)又直線AD的方程為y1k2(x2)由解得 從而點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，) 用k2代k1，k1代k2得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，) 11分所以kMN 1即直線MN的斜率為定值1 14分當(dāng)CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設(shè)直線C

17、A的斜率不存在，從而C(2，1)仍然設(shè)DA的斜率為k2，則由知kDB此時(shí)CA：x2，DB：y1(x2)，它們交點(diǎn)M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它們交點(diǎn)N(2，1)，從而kMN1也成立由可知，直線MN的斜率為定值1 16分19（本小題滿分16分）已知函數(shù)f(x)1lnx，其中k為常數(shù)（1）若k0，求曲線yf(x)在點(diǎn) (1，f(1)處的切線方程；（2）若k5，求證：f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（3）若k為整數(shù)，且當(dāng)x2時(shí)，f(x)0恒成立，求k的最大值（參考數(shù)據(jù)ln82.08，ln92.20，ln102.30）解：（1）當(dāng)k0時(shí)，f(x)1lnx因?yàn)閒 ¢(x)，從而f

18、 ¢(1)1又f (1)1，所以曲線yf(x)在點(diǎn) (1，f(1)處的切線方程y1x1，即xy0 3分（2）當(dāng)k5時(shí)，f(x)lnx4因?yàn)閒 ¢(x)，從而當(dāng)x(0，10)，f (x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(10，)時(shí)，f (x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x10時(shí)，f(x)有極小值 5分因f(10)ln1030，f(1)60，所以f(x)在(1，10)之間有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)閒(e4)440，所以f(x)在(10，e4)之間有一個(gè)零點(diǎn)從而f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 8分（3）方法一：由題意知，1+lnx0對x(2，)恒成立，即k對x(2，)恒成立令h(x)，則h¢(x

19、)設(shè)v(x)x2lnx4，則v¢(x)當(dāng)x(2，)時(shí)，v¢(x)0，所以v(x)在(2，)為增函數(shù)因?yàn)関(8)82ln8442ln80，v(9)52ln90，所以存在x0(8，9)，v(x0)0，即x02lnx040 當(dāng)x(2，x0)時(shí)，h¢(x)0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(x0，)時(shí)，h¢(x)0，h(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xx0時(shí)，h(x)的最小值h(x0)因?yàn)閘nx0，所以h(x0)(4，4.5) 故所求的整數(shù)k的最大值為4 16分方法二：由題意知，1+lnx0對x(2，)恒成立f(x)1+lnx，f ¢(x) 當(dāng)2k2，即k1時(shí)，f

20、2;(x)0對x(2，)恒成立，所以f(x)在(2，)上單調(diào)遞增而f(2)1ln20成立，所以滿足要求當(dāng)2k2，即k1時(shí)，當(dāng)x(2，2k)時(shí)，f (x)0， f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(2k，)，f (x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x2k時(shí)，f(x)有最小值f(2k)2ln2kk從而f(x)0在x(2，)恒成立，等價(jià)于2ln2kk0令g(k)2ln2kk，則g¢(k)0，從而g(k) 在(1，)為減函數(shù)因?yàn)間(4)ln820，g(5)ln1030 ，所以使2ln2kk0成立的最大正整數(shù)k4綜合，知所求的整數(shù)k的最大值為4 16分20（本小題滿分16分）給定一個(gè)數(shù)列an，在這個(gè)數(shù)列里，任取

21、m(m3，mN*)項(xiàng)，并且不改變它們在數(shù)列an中的先后次序，得到的數(shù)列稱為數(shù)列an的一個(gè)m階子數(shù)列已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an (nN*，a為常數(shù))，等差數(shù)列a2，a3，a6是數(shù)列an的一個(gè)3階子數(shù)列 （1）求a的值；（2）等差數(shù)列b1，b2，bm是an的一個(gè)m (m3，mN*) 階子數(shù)列，且b1 (k為常數(shù)，kN*，k2)，求證：mk1； （3）等比數(shù)列c1，c2，cm是an的一個(gè)m (m3，mN*) 階子數(shù)列，求證：c1c2cm2 解：（1）因?yàn)閍2，a3，a6成等差數(shù)列，所以a2a3a3a6又因?yàn)閍2，a3， a6，代入得，解得a0 3分（2）設(shè)等差數(shù)列b1，b2，bm的公差為d因?yàn)閎1

22、，所以b2，從而db2b1 6分所以bmb1(m1)d又因?yàn)閎m0，所以0即m1k1所以mk2又因?yàn)閙，kN*，所以mk1 9分（3）設(shè)c1 (tN*)，等比數(shù)列c1，c2，cm的公比為q因?yàn)閏2，所以q 從而cnc1qn1（1nm，nN*） 所以c1c2cm1 13分設(shè)函數(shù)f(x)x，（m3，mN*）當(dāng)x(0，)時(shí)，函數(shù)f(x)x為單調(diào)增函數(shù)因?yàn)楫?dāng)tN*，所以12 所以f()2即 c1c2cm2 16分南京市、鹽城市2015屆高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)附加題參考答案A選修41：幾何證明選講BADECF（第21A題圖）如圖，過點(diǎn)A的圓與BC切于點(diǎn)D，且與AB、AC分別交于點(diǎn)E、F已知AD為BA

23、C的平分線，求證：EFBC證明：如圖，連接EDBADECF（第21A題圖）因?yàn)閳A與BC切于D，所以BDEBAD 4分因?yàn)锳D平分BAC，所以BADDAC又DACDEF，所以BDEDEF所以EFBC 10分B選修42：矩陣與變換已知矩陣A， A的逆矩陣A1 （1）求a，b的值；（2）求A的特征值解：（1）因?yàn)锳 A1 所以 解得a1，b 5分（2）由（1）得A，則A的特征多項(xiàng)式f()(3)( 1)令f()0，解得A的特征值11，23 10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：(s為參數(shù)），直線l：（t為參數(shù)）設(shè)C與l交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長度解：由消去s得曲線C的普通方程為yx2；由消去t得直線l的普通方程為y3x2 5分聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，即解得交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，1)，(2，4)所以線段AB的長度為 10分D選