第8講　立體幾何中的向量方法(二)

1、第8講立體幾何中的向量方法(二)【高考會這樣考】考查用向量方法求異面直線所成的角，直線與平面所成的角、二面角的大小【復習指導】復習中要掌握空間角的類型及各自的范圍，掌握求空間角的向量方法，特別注意兩平面法向量的夾角與二面角的關(guān)系基礎(chǔ)梳理1空間的角(1)異面直線所成的角如圖，已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb.則把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)(2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角(3)二面角的平面角如

2、圖在二面角­l­的棱上任取一點O，以點O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則AOB叫做二面角的平面角2空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角滿足cos |cosm1，m2|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面的夾角滿足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小()如圖，AB、CD是二面角­l­的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，()如圖，n1，n2分別是二面角­l­的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos c

3、osn1，n2或cosn1，n2三種成角(1)異面直線所成的角的范圍是；(2)直線與平面所成角的范圍是；(3)二面角的范圍是0， 易誤警示利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面、的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補，這是利用向量求二面角的難點、易錯點雙基自測1如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，這條斜線與平面所成的角是()A90° B30° C45° D60°2(人教A版教材習題改編)已知兩平面的法向量分別

4、為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為() A45° B135°C45°或135° D90°3(2011·德州月考)已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，則l與所成的角為()A30° B60° C120° D150°4在如圖所示的正方體A1B1C1D1­ABCD中，E是C1D1的中點，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為()A BC. D.5如圖所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，AB

5、C90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_考向一求異面直線所成的角【例1】(2011·上海高考改編)已知ABCD­A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，高AA12，求(1)異面直線BD與AB1所成角的余弦值；(2)四面體AB1D1C的體積【訓練1】 (2011·全國高考)已知正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為_考向二利用向量求直線與平面所成的角【例2】如圖所示，已知點P在正方體ABCD­ABCD的對角線BD上，PDA60°.(1)

6、求DP與CC所成角的大??；(2)求DP與平面AADD所成角的大小【訓練2】 (2010·遼寧)已知三棱錐P­ABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N為AB上一點，AB4AN，M，S分別為PB，BC的中點(1)證明：CMSN；(2)求SN與平面CMN所成角的大小考向三利用向量求二面角【例3】(2011·全國新課標)如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)若PDAD，求二面角A­PB­C的余弦值【訓練3】 如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(1)證明：PC平面BEF；(2)求平面BEF與平面BAP夾角的大小閱卷報告12對法向量夾角與二面角大小關(guān)系認識不清導致失誤【問題診斷】 立體幾何是高考的重點和熱點內(nèi)容，而求空間角是重中之重，利用空間向量求空間角的方法固定，思路簡潔，但在利用平面的法向量求二面角大小時，兩個向量的夾角與二面角相等還是互補是這種解法的難點，也是學生的易錯易誤點【防范措施】 正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補，一個指向內(nèi)另