勾股定理最短距離問題

1、螞蟻爬行的最短路徑正方體4.如圖,一只螞蟻從正方體的底面A 點處沿著表面爬行到點上面的B 點處,它爬行的最短路線是( A .A P B B .A Q BC .A R BD .A S B 解:根據(jù)兩點之間線段最短可知選A .故選A .2. 如圖,邊長為1的正方體中,一只螞蟻從頂點A 出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B 的最短距離是 . 解:如圖將正方體展開,根據(jù)“兩點之間,線段最短”知,線段AB 即為最短路線. AB= 51222=+. 8. 正方體盒子的棱長為2,BC 的中點為M ,一只螞蟻從A 點爬行到M 點的最短距離為 . 解:將正方體展開,連接M 、D1, 根據(jù)兩點之間線段最短,MD=MC

2、+CD=1+2=3,第6題第7題MD 1= 132322212=+=+DD MD . 5.如圖,點A 的正方體左側(cè)面的中心,點B 是正方體的一個頂點,正方體的棱長為2,一螞蟻從點A 沿其表面爬到點B 的最短路程是( 解:如圖,AB= (1012122=+.故選C . 9.如圖所示一棱長為3cm 的正方體,把所有的面均分成3×3個小正方形.其邊長都為1cm ,假設一只螞蟻每秒爬行2cm ,則它從下底面點A 沿表面爬行至側(cè)面的B 點,最少要用2.5秒鐘. 解:因為爬行路徑不唯一,故分情況分別計算,進行大、小比較,再從各個路線中確定最短的路線.(1展開前面右面由勾股定理得AB= cm ;

3、(2展開底面右面由勾股定理得AB= =5cm ; 所以最短路徑長為5cm ,用時最少:5÷2=2.5秒.A B A 11C D 1C 114長方體10.(2009恩施州如圖,長方體的長為15 ,寬為10,高為20,點B 離點C 的距離為5 ,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A 爬到點B ,需要爬行的最短距離是 。解:將長方體展開,連接A 、B ,根據(jù)兩點之間線段最短,AB= =25.11. 如圖,一只螞蟻從實心長方體的頂點A 出發(fā),沿長方體的表面爬到對角頂點C 1處(三條棱長如圖所示,問怎樣走路線最短?最短路線長為 .解:正面和上面沿A 1B 1展開如圖,連接AC 1,ABC 1是

4、直角三角形,AC 1=( 5342142222212=+=+=+BC AB18.(2011荊州如圖,長方體的底面邊長分別為2cm 和4cm ,高為5cm .若一只螞蟻從P 點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q 點,則螞奴爬行的最短路徑長為 cm . 解:PA=2×(4+2=12,QA=5PQ=13.故答案為:13.19.如圖,一塊長方體磚寬AN=5cm ,長ND=10cm ,CD 上的點B 距地面的高BD=8cm ,地面上A 處的一只螞蟻到B 處吃食,需要爬行的最短路徑是多少? 解:如圖1,在磚的側(cè)面展開圖2上,連接AB ,則AB 的長即為A 處到B 處的最短路程. 解:在Rt ABD

5、中,因為AD=AN+ND=5+10=15,BD=8,所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172.所以AB=17cm .故螞蟻爬行的最短路徑為17cm .49、如圖,長方體盒子(無蓋的長、寬、高分別12cm ,8cm,30cm.(1在AB 中點C 處有一滴蜜糖,一只小蟲從D 處爬到C 處去吃,有無數(shù)種走法,則最短路程是多少?(2此長方體盒子(有蓋能放入木棒的最大長度是多少?A BC D .3012.如圖所示:有一個長、寬都是2米,高為3米的長方體紙盒,一只小螞蟻從A點爬到B 點,那么這只螞蟻爬行的最短路徑為米。 解:由題意得, 路徑一:AB= = ; 路徑二:AB= =5;

6、路徑三:AB= = ; >5,5米為最短路徑.13.如圖,直四棱柱側(cè)棱長為4cm,底面是長為5cm寬為3cm的長方形.一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B.求:(1螞蟻經(jīng)過的最短路程;(2螞蟻沿著棱爬行(不能重復爬行同一條棱的最長路程. 解:(1AB的長就為最短路線. 然后根據(jù)若螞蟻沿側(cè)面爬行,則經(jīng)過的路程為(cm; 若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行,則經(jīng)過的路程為(cm, 或(cm 所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是cm.(25cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最長路程是30cm.15.如圖,長方體的長、寬、高分別為6cm,8cm,4cm.一只螞蟻沿著長方體的表面從點A

7、爬到點B.則螞蟻爬行的最短路徑的長是。 解:第一種情況:把我們所看到的前面和上面組成一個平面,則這個長方形的長和寬分別是12cm和6cm, 則所走的最短線段是=6 cm;第二種情況:把我們看到的左面與上面組成一個長方形,則這個長方形的長和寬分別是10cm和8cm, 所以走的最短線段是= cm;第三種情況:把我們所看到的前面和右面組成一個長方形,則這個長方形的長和寬分別是14cm和4cm, 所以走的最短線段是=2 cm;三種情況比較而言,第二種情況最短.51.圓柱形坡璃容器,高18cm,底面周長為60cm,在外側(cè)距下底1cm點S處有一蜘蛛,與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點F處有

8、一蒼蠅,試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度。 16.如圖是一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為20cm、3cm、2cm.A和B是這個臺階上兩個相對的端點,點A處有一只螞蟻,想到點B處去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為cm 解:三級臺階平面展開圖為長方形,長為20cm,寬為(2+3×3cm,則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長.可設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xcm,由勾股定理得:x2=202+(2+3×32=252,解得x=25.故答案為25.17.如圖,是一個三級臺階,它的每一級的長、寬和高分別等于5cm,3cm和

9、1cm,A和B是這個臺階的兩個相對的端點,A 點上有一只螞蟻,想到B 點去吃可口的食物.請你想一想,這只螞蟻從A 點出發(fā),沿著臺階面爬到B 點,最短線路是 cm 。 解:將臺階展開,如下圖, 因為AC=3×3+1×3=12,BC=5,所以AB 2=AC 2+BC 2=169,所以AB=13(cm ,所以螞蟻爬行的最短線路為13cm .答:螞蟻爬行的最短線路為13cm .圓柱21.有一圓柱體如圖,高4cm ,底面半徑5cm ,A 處有一螞蟻,若螞蟻欲爬行到C 處,求螞蟻爬行的最短距離 . 解:AC 的長就是螞蟻爬行的最短距離.C ,D 分別是BE ,AF 的中點.AF=25=

10、10.AD=5.AC= 22CD AD +16cm .故答案為:16cm . 22.有一圓形油罐底面圓的周長為24m ,高為6m ,一只老鼠從距底面1m 的A 處爬行到對角B 處吃食物,它爬行的最短路線長為 .解:AB=1312522=+m第2題 第3題5 .解:因為圓柱底面圓的周長為2×6=12,高為5,所以將側(cè)面展開為一長為12,寬為5的矩形,根據(jù)勾股定理,對角線長為=13. 故螞蟻爬行的最短距離為13.24.如圖,一圓柱體的底面周長為24cm ,高AB 為9cm ,BC 是上底面的直徑.一只螞蟻從點A 出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C ,則螞蟻爬行的最短路程是 解:如圖所示:由于

11、圓柱體的底面周長為24cm, 則AD=24×21=12cm .又因為CD=AB=9cm , 所以AC= =15cm . 故螞蟻從點A 出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C 的最短路程是15cm .故答案為:15.25.(2006荊州有一圓柱體高為10cm,底面圓的半徑為4cm,AA1,BB1為相對的兩條母線.在AA1上有一個蜘蛛Q,QA=3cm;在BB1上有一只蒼蠅P,PB1=2cm,蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點吃蒼蠅,最短的路徑是cm.(結(jié)果用帶和根號的式子表示 解:QA=3,PB1=2,即可把PQ放到一個直角邊是4和5的直角三角形中,根據(jù)勾股定理得: QP=最短路線問題通常是以“平面內(nèi)連結(jié)

12、兩點的線中,線段最短”為原則引申出來的.人們在生產(chǎn)、生活實踐中,常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題.下面簡單談一下初中數(shù)學中遇到的最短路線問題。對于數(shù)學中的最短路線問題可以分為兩大類:第一類為在同一平面內(nèi);第二類為空間幾何體中的最短路線問題,對于平面內(nèi)的最短路線問題可先畫出方案圖,然后確定最短距離及路徑圖。.求三點距離相等時,一點到兩點的距離最短設計方案例1.為改善白銀市民吃水質(zhì)量,市政府決定從新建的A水廠向B、C供水站供水。已知A、B、C之間的距離相等,為了節(jié)約成本降低造價,請你設計一種最優(yōu)方案,使鋪設的輸水管道最短,在圖中用實線畫出你所設計方案的線路圖。解析:可根據(jù)三點所構(gòu)成

13、的三角形形狀及三線合一的性質(zhì),可求最短路線及設計圖。(1可設計AB+AC路徑;(2可設計AD+BD+CD路徑;(3可設計AE+EB+EC路徑。通過計算比較驗證等確定最優(yōu)化的設計方案為(3。求一點,使它與其余兩點之和最小的方案設計例2.為了改善農(nóng)民生活水平,提高生產(chǎn),如圖,A、B是兩個農(nóng)場,直線m是一條小河,現(xiàn)準備在河岸某處修建一提灌點,準備給兩農(nóng)場澆水,如何修建,使得提灌點與兩農(nóng)場的距離之和最小,請你在圖中畫出設計方案圖。解析:兩點之間線段最短,可利用軸對稱性質(zhì),從而可將求兩條線段之和的最小值問題轉(zhuǎn)化為求一條線段長的問題。 應用:已知三角形ABC中,A=20度,AB=AC=20cm,M、N分別

14、為AB、AC上兩點,求BN+MN+MC的最小值。求圓上點,使這點與圓外點的距離最小的方案設計例3.已知圓形花壇以及花壇外一居民區(qū),要在花壇與居民區(qū)之間修建一條小道在圓形花壇上選擇一點,使其與居民區(qū)之間的距離最小。解析:在此問題中可根據(jù)圓上最遠點與最近點和點的關系可得最優(yōu)設計方案。應用:一點到圓上的點的最大距離為9,最短距離為1,則圓的半徑為多少?關于立體圖形表面的最短路徑問題,又稱“繞線問題”是幾何中很富趣味性的一類向題.它牽涉的知識面廣,溝通了平面幾何、立體幾何以及平面三角的聯(lián)系,能訓練學生的空間想象能力。而且,也很富有技巧性.在此討論幾個問題,僅供參考。在圓柱中,可將其側(cè)面展開求出最短路程

15、。在長方體(正方體中,求最短路程例5.在長方體盒子的A點有一昆蟲,在B點有它最喜歡吃的食物,沿盒子表面爬行,如何爬行使得所爬路程最短,如果長方體的長、寬、高分別為a、b、c.則最短路程為多少.解析:將其中含有一點的面展開,與含另一點的面在同一平面內(nèi)即可,主要可以分為三種情形:（1） 將右側(cè)面展開與下底面在同一平面內(nèi)，可得其路程為：s1= （2） 將前表面展開與上表面在同一平面內(nèi)，可得其路程為：s2= （3） 將上表面展開與左側(cè)面在同一平面內(nèi)，可得其路程為：s3= 然后比較 s1、s2、s3的大小，即可得到最短路程. 應用：一只蜘蛛在一塊長方體木塊的一個頂點 A 處，一只蒼蠅在這個長方體和蜘蛛相對的頂點 C1處。 蜘蛛急于捉住蒼蠅，沿著長方體的表面向上爬，它要從 A 點爬到 C1點，它應沿著怎樣的路線爬行，才能在 最短的時間內(nèi)捉住蒼蠅？ 。在圓錐中，求最短路徑問題 例6在某雜技表演中，有一形似圓錐的道具，雜技演員從 A 點出發(fā)，在其表面繞一周又回到 A 點， 如果繞行所走的路程最短，畫出設計方案圖。 解析：將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)同一平面內(nèi)的問題可求出最優(yōu)設計方案 應用：如圖，一直圓錐的母線長為 QA=8，底面圓的半徑 r=2，若一只小螞蟻從 A 點出發(fā)， 繞圓錐的側(cè)面