動能定理stephenkuo

1、 第十三章 動能定理習(xí)題及解答P314 13-1:已知圓盤半徑r=0.5m, mA=3kg, mB=2kg，力偶矩M=4, 繩與盤之間無相對滑動；求：由0至2時,力偶M與物塊重力所作功的總和。解：W=+ (mA mB)g 2r= 109.7JP314 13-4：已知長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA以球鉸鏈O固定，并以等角速度繞鉛直線轉(zhuǎn)動，桿與鉛直線的交角為； 求：桿的動能。解：此桿繞鉛直軸作定軸轉(zhuǎn)動，桿的轉(zhuǎn)動慣量為 Jz= 桿的動能為 T = = P316 13-11: 已知均質(zhì)桿AB的質(zhì)量m=4kg,長l=600mm,均質(zhì)圓盤B的質(zhì)量為6kg，半徑r=100mm,作純滾動。彈簧剛度k=2N/mm

2、,不計套筒A及彈簧的質(zhì)量。連桿在30角無初速釋放；求：（1）當(dāng)AB桿達水平位置而接觸彈簧時，圓盤與連桿的角速度；（2）彈簧的最大壓縮量max 。解：（1）該系統(tǒng)初始靜止，動能為0；AB桿達水平位置時，B點是AB桿的速度瞬心，圓盤的角速度B=0,設(shè)桿的角速度為AB，由動能定理，得 解得連桿的角速度 AB = 4.95 rad/s(2)AB桿達水平位置接觸彈簧時，系統(tǒng)的動能為T1，彈簧達到最大壓縮量max的瞬時，系統(tǒng)再次靜止，動能T2=0,由 T2 - T1 = W12得 解得 max=87.1mmP316 13-12:已知均質(zhì)輪B和C的質(zhì)量均為m2,半徑均為r,輪B上的力偶矩M=常量，物A的質(zhì)量

3、為m1; 求： 物A由靜止上移距離s時的速度和加速度。 解：該系統(tǒng)初動能為零，設(shè)物A移動距離s時速度為，有 式中 ， (a)解得 (b)將式(a)(或式（b）)對時間求一階導(dǎo)數(shù)，注意，解得 P317 13-13: 已知動齒輪半徑為r，質(zhì)量為m1，可看成均質(zhì)園盤；均質(zhì)曲柄OA質(zhì)量為m2；定齒輪半徑為R。OA上的力偶矩M=常量。機構(gòu)位于水平面內(nèi)，初始靜止；求：曲柄轉(zhuǎn)過角時的角速度和角加速度。解：該系統(tǒng)初動能為零，設(shè)曲柄轉(zhuǎn)過角時的角速度為，有 （a）式中 解得 （b）將式(a)(或式（b）)對時間求一階導(dǎo)數(shù)，注意，解得 綜合問題習(xí)題及解答P319 綜-4：已知 邊長b=100mm的正方形均質(zhì)板的質(zhì)量

4、為40kg，在鉛直平面內(nèi)用三根軟繩拉住如圖（a）；求：（1）當(dāng)軟繩FG被剪斷瞬間板的加速度及AD、BE兩繩的張力；（2）當(dāng)AD、BE兩繩位于鉛直位置時，板的加速度和兩繩的張力。解：繩FG被剪斷后方板在自身平面內(nèi)平動；板上各點的速度、加速度都相同，運動軌跡都是圓弧。 （1）剪斷FG瞬間，方板受力與加速度分析如圖（a），A點速度為零，A點速度為零，故A點只有切向加速度，方板運動微分方程為 maccos30o=(FA + FB)cos60om( - acsin30o)=(FA + FB)sin60o-mg JC=-(FA + FB)cos60o+(-FA + FB)sin60o方板平動，角加速度=0

5、 解得 a=ac=g=4.9m/s2 FA=72N, FB=268N(2)設(shè)繩長為l，板由靜止擺至鉛垂位置，由動能定力，有解得 再由圖（b），注意 = 0，得板的運動微分方程 mac=0 manc = (FA + FB)-mg JC=(FB FA) 而 anc=2.626m/s2 得 FA = FB=248.5 NP319 綜-8：已知 均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m=4kg，用兩條繩懸掛與水平位置；求：A繩突然斷開時，B繩的張力F。解：設(shè)桿長為l,A繩斷開瞬時AB桿受力與運動分析如圖（a），平面運動微分方程為macx=0macy=F-mg可取B點為基點，如圖（b），由得 代入運動微分方程求解，得F=9.

6、8NP320 綜-10 已知 質(zhì)量為m1的物體上刻有半徑為r的半圓槽，初始靜止；一質(zhì)量為m的小球自A處無初速地沿槽滑下，且m1=3m，部計摩擦；求：小球滑到B處時相對于物體的速度及槽對小球的正壓力。 解：系統(tǒng)受力與運動分析如圖（a），因 ，有 （1）再由動能定理，有 （2）由此兩式解得 研究小球如圖（b），有 ,得 請讀者考慮，如果B點為一般位置，應(yīng)如何求解。P320 綜-12：已知 均質(zhì)滾子A與滑輪B的質(zhì)量均為m1,半徑相等，滾子向下作純滾動，物體C的質(zhì)量為m2;求：滾子質(zhì)心的加速度和系在滾子上的繩子的張力。 解：如圖（a），設(shè)滾子半徑為R，該系統(tǒng)的動能為 將代入，得 該系統(tǒng)所有力的功率為

7、由功率方程 ，解得 再研究輪A如圖（b）有方程 注意到，解得 P321 綜-15：已知 質(zhì)量為m1、長為l的均質(zhì)桿OA繞水平軸O轉(zhuǎn)動，桿的A端鉸接一質(zhì)量為m2半徑為R的均質(zhì)圓盤，初始時OA桿水平。桿和圓盤靜止；求：桿與水平線成角時，桿的角速度和角加速度。解：圓盤受力如圖，由對質(zhì)心的動量矩定理，有得 ，即盤為平動。 系統(tǒng)落至角處，由動能定理，有（a）解出 （b）將式（a）（或式（b）對時間求導(dǎo)，得 由于輪子平動，整體對O軸用動量矩定理求出，再積分求也較方便。P321 綜-16：已知 質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)量為m2的均質(zhì)園柱體O由靜止沿斜面向下純滾動；求 三棱柱的加速度。解 對整體

8、，由于，且初始靜止，有 得 （1）設(shè)圓柱體O的半徑為r，其質(zhì)心由靜止向下滾動了任意距離s時，由動能定理，有 式中，將式（1）代入后整理，得 （2）上式對時間求導(dǎo)數(shù)，且考慮到 =，得 將式（1）代入后整理，解得此題也可先對式（1）求導(dǎo)得ar與ac的關(guān)系式；然后再分別列出圓柱體與三棱柱運動微分方程而聯(lián)立求解。P321 綜-17：已知 質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓柱，于圖示C處由靜止開始沿斜面作純滾動；求：它滾到園弧的角處，對圓弧的正壓力和摩擦力。 解：設(shè)在角處圓柱的角速度為，由動能定理，有 將代入，解得 上式對時間求導(dǎo)，注意到，解得 圓柱受力如圖（b），由質(zhì)心運動定理，有 式中 ，解得 則圓柱對圓弧

9、的正壓力和摩擦力分別為 P322 綜-18：已知 質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)細桿AB由直立位置沿墻和地面無初速滑下，不計摩擦； 求： 細桿在任一位置時的角速度，角加速度和A、B處的反力。 解：細桿質(zhì)心坐標為 將它們對時間求導(dǎo)數(shù)，并注意有 動能為 桿直立時的動能為零，由動能定理，有 解得 上式對時間求導(dǎo)，得 對 、求導(dǎo)，得 由質(zhì)心運動定理，有 解得 第二章 機械能守恒定律部分習(xí)題2-1 處于一斜面上的物體，在沿斜面方向的力F作用下，向上滑動。已知斜面長為5.6 m，頂端的高度為3.2 m，F(xiàn)的大小為100 N，物體的質(zhì)量為12 kg，物體沿斜面向上滑動的距離為4.0 m，物體與斜面之間的摩擦系數(shù)為0

10、.24。求物體在滑動過程中，力F、摩擦力、重力和斜面對物體支撐力各作了多少功？這些力的合力作了多少功？將這些力所作功的代數(shù)和與這些力的合力所作的功進行比較，可以得到什么結(jié)論？圖2-3解 物體受力情形如圖2-3所示。力F所作的功 ；摩擦力 ,摩擦力所作的功；重力所作的功;支撐力N與物體的位移相垂直，不作功，即；這些功的代數(shù)和為.物體所受合力為 ,合力的功為.這表明，物體所受諸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代數(shù)和。2-3 物體在一機械手的推動下沿水平地面作勻加速運動，加速度為0.49 ms-2 。若動力機械的功率有50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物體與地面的摩擦系數(shù)。解 設(shè)機

11、械手的推力為F沿水平方向，地面對物體的摩擦力為f，在這些力的作用下物體的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向上可以列出下面的方程式,在上式兩邊同乘以v，得,上式左邊第一項是推力的功率()。按題意，推力的功率P是摩擦力功率fv的二倍，于是有.由上式得,又有,故可解得.2-4 有一斜面長5.0 m、頂端高3.0 m，今有一機械手將一個質(zhì)量為1000 kg的物體以勻速從斜面底部推到頂部，如果機械手推動物體的方向與斜面成30，斜面與物體的摩擦系數(shù)為0.20，求機械手的推力和它對物體所作的功。解 物體受力情況如圖2-4所示。取x軸沿斜面向上，y軸垂直于斜面向上?？梢粤谐鱿旅娴姆匠?(1),(2).

12、(3)圖2-4根據(jù)已知條件, .由式(2)得.將上式代入式(3)，得.將上式代入式(1)得,由此解得.推力F所作的功為.圖2-52-5 有心力是力的方向指向某固定點(稱為力心)、力的大小只決定于受力物體到力心的距離的一種力，萬有引力就是一種有心力。現(xiàn)有一物體受到有心力 的作用(其中m和 a都是大于零的常量)，從rP 到達rQ，求此有心力所作的功，其中rP和rQ是以力心為坐標原點時物體的位置矢量。解 根據(jù)題意，畫出物體在有心力場中運動的示意圖，即圖2-5，物體在運動過程中的任意點C處，在有心力f的作用下作位移元dl，力所作的元功為, 所以，在物體從點P (位置矢量為rP)到達點Q (位置矢量為r

13、Q)的過程中，f所作的總功為. 2-6 馬拉著質(zhì)量為100 kg的雪撬以2.0 ms-1 的勻速率上山，山的坡度為0.05(即每100 m升高5 m)，雪撬與雪地之間的摩擦系數(shù)為0.10。求馬拉雪撬的功率。解 設(shè)山坡的傾角為a，則.可列出下面的方程式,.式中m、F、f和N分別是雪橇的質(zhì)量、馬的拉力、地面對雪橇的摩擦力和地面對雪橇的支撐力。從以上方程式可解得,.于是可以求得馬拉雪橇的功率為.2-7 機車的功率為2.0106 W，在滿功率運行的情況下，在100 s內(nèi)將列車由靜止加速到20 ms-1 。若忽略摩擦力，試求：(1)列車的質(zhì)量；(2)列車的速率與時間的關(guān)系；(3)機車的拉力與時間的關(guān)系；

14、(4)列車所經(jīng)過的路程。解 (1)將牛頓第二定律寫為下面的形式, (1)用速度v點乘上式兩邊，得.式中Fv = P，是機車的功率，為一定值。對上式積分,即可得,將已知數(shù)據(jù)代入上式，可求得列車的質(zhì)量，為.(2)利用上面所得到的方程式,就可以求得速度與時間的關(guān)系，為. (2)(3)由式(2)得,將上式代入式(1)，得,由上式可以得到機車的拉力與時間的關(guān)系.(4)列車在這100秒內(nèi)作復(fù)雜運動，因為加速度也在隨時間變化。列車所經(jīng)過的路程可以用第一章的位移公式(1-11)來求解。對于直線運動，上式可化為標量式，故有.2-8 質(zhì)量為m的固體球在空氣中運動將受到空氣對它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小與球

15、相對于空氣的運動速率成正比，黏性阻力的方向與球的運動方向相反，即可表示為f = -b v，其中b是常量。已知球被約束在水平方向上，在空氣的黏性阻力作用下作減速運動，初始時刻t0 ，球的速度為v0 ，試求：(1) t時刻球的運動速度v；(2)在從t0 到t的時間內(nèi)，黏性阻力所作的功A。解 (1)根據(jù)已知條件，可以作下面的運算,式中.于是可以得到下面的關(guān)系,對上式積分可得. (1)當(dāng)t = t0時，v = v0，代入上式可得.將上式代入式(1)，得. (2)(2)在從t0 到t的時間內(nèi)，黏性阻力所作的功可以由下面的運算中得出.2-9 一個質(zhì)量為30 g的子彈以500 ms-1 的速率沿水平方向射入

16、沙袋內(nèi)，并到達深度為20 cm處，求沙袋對子彈的平均阻力。解 根據(jù)動能定理，平均阻力所作的功應(yīng)等于子彈動能的增量，即,所以.2-10 以200 N的水平推力推一個原來靜止的小車，使它沿水平路面行駛了5.0 m。若小車的質(zhì)量為100 kg，小車運動時的摩擦系數(shù)為0.10，試用牛頓運動定律和動能定理兩種方法求小車的末速。解 設(shè)水平推力為F，摩擦力為f，行駛距離為s，小車的末速為v。(1)用牛頓運動定律求小車的末速v：列出下面的方程式,.兩式聯(lián)立求解，解得,將已知數(shù)值代入上式，得到小車的末速為.(2)用動能定理求小車的末速v：根據(jù)動能定理可以列出下面的方程式,其中摩擦力可以表示為.由以上兩式可解得,

17、將已知數(shù)值代入上式，得小車的末速為.2-11 質(zhì)量m = 100 g的小球被系在長度l = 50.0 cm繩子的一端，繩子的另一端固定在點O，如圖2-6所示。若將小球拉到P處，繩子正好呈水平狀，然后將小球釋放。求小球運動到繩子與水平方向成q = 60 的點Q時，小球的速率v、繩子的張力T和小球從P到Q的過程中重力所作的功A。解 取Q點的勢能為零，則有圖2-6,即,于是求得小球到達Q點時的速率為.設(shè)小球到達Q點時繩子的張力為T，則沿軌道法向可以列出下面的方程式,由此可解的.在小球從P到Q的過程中的任意一點上，沿軌道切向作位移元ds，重力所作元功可表示為,式中q是沿軌道切向所作位移元ds與豎直方向

18、的夾角。小球從P到Q的過程中重力所作的總功可以由對上式的積分求得.2-12 一輛重量為19.6103 N的汽車，由靜止開始向山上行駛，山的坡度為0.20，汽車開出100 m后的速率達到36 kmh-1 ，如果摩擦系數(shù)為0.10，求汽車牽引力所作的功。解 設(shè)汽車的牽引力為F，沿山坡向上，摩擦力為f，山坡的傾角為a。將汽車自身看為一個系統(tǒng)，根據(jù)功能原理可以列出下面的方程式, (1),.根據(jù)已知條件，可以得出 ， ，汽車的質(zhì)量 以及 。從方程(1)可以解得.汽車牽引力所作的功為,將數(shù)值代入，得.2-13 質(zhì)量為1000 kg的汽車以36 kmh-1 的速率勻速行駛，摩擦系數(shù)為0.10。求在下面三種情

19、況下發(fā)動機的功率：(1)在水平路面上行駛；(2)沿坡度為0.20的路面向上行駛；(3)沿坡度為0.20的路面向下行駛。解 (1)設(shè)發(fā)動機的牽引力為F1 ，路面的摩擦力為f。因為汽車在水平路面上行駛，故可列出下面的方程式,.解得.所以發(fā)動機的功率為.(2)設(shè)汽車沿斜面向上行駛時發(fā)動機的牽引力為F2，可列出下面的方程式,.解得.發(fā)動機的功率為.(3)汽車沿斜面向下行駛時發(fā)動機的牽引力為F3，其方向與汽車行駛的方向相反。所列的運動方程為,所以,這時發(fā)動機的功率為.2-14 一個物體先沿著與水平方向成15角的斜面由靜止下滑，然后繼續(xù)在水平面上滑動。如果物體在水平面上滑行的距離與在斜面上滑行的距離相等，

20、試求物體與路面之間的摩擦系數(shù)。解 設(shè)物體在水平面上滑行的距離和在斜面上滑行的距離都是l，斜面的傾角a = 15，物體與地球組成的系統(tǒng)是我們研究的對象。物體所受重力是保守內(nèi)力，支撐力N不作功，物體所受摩擦力是非保守內(nèi)力，作負功。以平面為零勢能面，根據(jù)功能原理可以列出下面的方程式,其中 , , 將它們代入上式，可得,所以.圖2-72-15 有一個勁度系數(shù)為1200 Nm-1 的彈簧被外力壓縮了5.6 cm，當(dāng)外力撤除時將一個質(zhì)量為0.42 kg的物體彈出，使物體沿光滑的曲面上滑，如圖2-7所示。求物體所能到達的最大高度h。解 將物體、彈簧和地球劃歸一個系統(tǒng)，并作為我們的研究對象。這個系統(tǒng)沒有外力的

21、作用，同時由于曲面光滑，物體運動也沒有摩擦力，即沒有非保守內(nèi)力的作用，故系統(tǒng)的機械能守恒。彈簧被壓縮狀態(tài)的彈力勢能應(yīng)等于物體達到最大高度h時的重力勢能，即,.2-16 如圖2-8所示，一個質(zhì)量為m = 1.0 kg的木塊，在水平桌面上以v = 3.0 ms-1 的速率與一個輕彈簧相碰，并將彈簧從平衡位置壓縮了x = 50 cm。如果木塊與桌面之間的摩擦系數(shù)為m = 0.25，求彈簧的勁度系數(shù)k。圖2-8解 以木塊和彈簧作為研究對象，在木塊壓縮彈簧的過程中，系統(tǒng)所受外力中有重力和摩擦力，重力不作功，只有摩擦力作功。根據(jù)功能原理，可列出下面的方程,其中 , 代入上式，并解出彈簧的勁度系數(shù)，得.2-17 一個勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定，另一端懸掛一個質(zhì)量為m的小球，這時平衡位置在點A，如圖2-1所示?，F(xiàn)用手把小球沿豎直方向拉伸Dx并達到點B的位置，由靜止釋放后小球向上運動，試求小球第一次經(jīng)過點A時的速率。解 此題的解答和相應(yīng)的圖2-1，見前面例題分析中的例題2-1。2-18 一個物體從半徑為R的固定不動的光滑球體的頂點滑下，問物體離開球面時它下落