信號與線性系統(tǒng)

1、信號與線性系統(tǒng)(西北工業(yè)大學(xué)計算機學(xué)院計算機信息工程系 郗潤平)教材信號與線性系統(tǒng) 管致中、夏恭恪著，高等教育出版社 參考書信號與線性系統(tǒng)分析(第四版)，吳大正主編，高等教育出版社，2005.8信號與系統(tǒng)，鄭君里著 高等教育出版社, 2000.5 信號與系統(tǒng)-第2版，徐亞寧, 蘇啟常編著 電子工業(yè)出版社 2007.2信號與系統(tǒng),路林吉, 袁華, 周琳編著 機械工業(yè)出版社 2007.1 信號與線性系統(tǒng)分析教學(xué)指導(dǎo)書(第四版)，高等教育出版社信號與系統(tǒng)要點與解題， 王霞, 馬春排編著 西安交通大學(xué)出版社 2007.2北京交通大學(xué)電子電工教學(xué)網(wǎng)共48學(xué)時，其中

2、授課44學(xué)時（22次）復(fù)習(xí)：2學(xué)時（1次）上課地點：新區(qū)教西A306；時間：1-12周(07.9.3-11.23)，Wed.&Fri.1-2節(jié)；班級：10010506-9第一章 緒論§1.1 引言一、 信息、消息與信號 信息是組成客觀物質(zhì)世界的三大要素，對其處理和傳輸具有非常重要的意義。信息一般以一定的物理形式表現(xiàn)為消息；消息一般不便于直接傳輸，常借助于轉(zhuǎn)換設(shè)備轉(zhuǎn)換為便于傳輸?shù)模ü?、電）信號?任何信息都以消息的形式表現(xiàn)出來，消息也蘊含著大量的信息。消息是信號的具體內(nèi)容，信號則是消息的便于傳送的表現(xiàn)形式。信號是載有信息的隨時間變化的物理量或物理現(xiàn)象，其圖形稱為信號的波形。二、

3、 通信系統(tǒng)的典型構(gòu)成三、相關(guān)理論與學(xué)科信號分析：討論信號的表示、信號的性質(zhì)、信號的基本運算信號處理：對信號的解釋。包括濾波、變換、增強、壓縮、估值與識別等技術(shù)。信號綜合：本課程以通信系統(tǒng)和控制系統(tǒng)的某些問題為背景，研究確定性信號經(jīng)系統(tǒng)傳輸或處理的一般規(guī)律，著重于基本概念和基本分析方法。§1.2 信號的概念廣義地講，信號是隨著時間變化的某種物理量，它可以表示為一個時間函數(shù)。 一、信號的分類1確定信號隨機信號2. 連續(xù)時間信號，在某一時間間隔內(nèi)（定義域內(nèi)），對于任何時間值（除若干個間斷點外），都可給出確定的函數(shù)值，此信號就稱為連續(xù)信號(函數(shù)的定義域時間是連續(xù)的)。有始函數(shù)t<0其值

4、為零。離散時間信號，函數(shù)的定義域時間是離散的。3. 周期性信號，在(，)區(qū)間，每隔一定時間T(或整數(shù)N)按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。非周期性信號，周期信號的周期趨于無窮大，則成為非周期信號4.能量(有限)信號(energy signal)：信號總能量為有限值而信號平均功率為零。功能(有限)信號(power signal)：信號平均功率為有限值而信號總能量為無限大。三、信號的特性時間特性：信號隨時間變化快慢的特性。周期長短，波形變化快慢頻率特性：傅里葉變換 è 頻譜(許多不同頻率的正弦分量)，有效的頻率范圍，即頻帶(frequency band)。§1.3 信號的簡單處理從數(shù)學(xué)

5、意義來說，信號的處理是將信號經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)運算轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪恍盘??？赏ㄟ^算法或?qū)嶓w電路來實現(xiàn)。一、 信號的相加與相乘信號疊加歌聲與背景音樂混合，動畫添加背景，干擾和噪聲疊加到信號中信號相乘常用于調(diào)制解調(diào)、混頻、頻率變換等兩個信號的相加（乘）即為兩個信號的時間函數(shù)相加（乘），在波形上則是同一時刻對應(yīng)函數(shù)值的相加（乘）即，t0t0t0（P7圖1-6，例1-1）二、 信號的延時信號滯后f(t-t0)(圖18)三、 信號的尺度變換與反褶（都是針對時間變量）展縮f(at)a>1波形被壓縮, 1>a>0波形被展寬, a=-1對稱于縱坐標(biāo)軸反褶，a<0時反褶與尺度變換同時存在。(圖1-9

6、，例1-2)例t0 0t§1.4 系統(tǒng)的概念系統(tǒng)是指由若干相互關(guān)聯(lián)，相互作用的單元組成的具有某種特定功能的有機整體。 系統(tǒng)注重輸入輸出間的關(guān)系或者運算功能上。激勵e(t), 響應(yīng)r(t)。系統(tǒng)的功能和特性就是通過由怎樣的激勵產(chǎn)生怎樣的響應(yīng)來體現(xiàn)的。(圖1-11)一、 線性系統(tǒng)由線性元件組成，具有疊加性與齊次性若系統(tǒng)e(t)r(t)有ke(t)kr(t)則稱該系統(tǒng)滿足齊次若系統(tǒng)關(guān)系有e1(t)r1(t)且e2r2(t)時有e1(t)e2(t)r1(t)r2(t)    則稱該系統(tǒng)滿足疊加性一般情況下，符合疊加條件的系統(tǒng)同時也具有齊次性(電系統(tǒng))，但也存在不

7、同時具備兩者的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)含有非線性元件，不具備疊加性與齊次性 零輸入響應(yīng)，外加激勵為零時由初始狀態(tài)單獨作用產(chǎn)生的響應(yīng)，記為rzi(t) 零狀態(tài)響應(yīng)，初始狀態(tài)為零時由外加激勵作用單獨產(chǎn)生的響應(yīng)，記為rzs(t) 系統(tǒng)的全響應(yīng)（分解性）：r(t)=rzi(t)+ rzs(t)如果系統(tǒng)的具有分解性的同時又具有零輸入響應(yīng)線性和零狀態(tài)響應(yīng)線性，則該系統(tǒng)仍視為線性系統(tǒng)。二、時不變系統(tǒng)的性質(zhì)不隨時間變化，其輸出響應(yīng)不隨輸入激勵作用于系統(tǒng)的時間起點而改變。由定常參數(shù)的元件構(gòu)成，如電阻、電容的R、C等均視為是時不變的。時變系統(tǒng)，元件的參數(shù)隨時間變化具有e(t)r(t)有e(t-t0)r(t-t0)時，為時

8、不變系統(tǒng)(響應(yīng)隨激勵延遲一相同時間而形狀不變。線性時不變系統(tǒng)k1e1 (t-t1)+ k2e2 (t-t2)k1r1(t-t1)+ k2r2(t-t2)三、連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)前者傳輸和處理連續(xù)信號，即系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)在連續(xù)時間的一切值上都有確定的意義后者激勵和響應(yīng)信號是不連續(xù)的離散序列?；旌舷到y(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)都可以是線性的或非線性的，同時也可以是時不變或時變的。四、因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)，符合因果關(guān)系的系統(tǒng)，其響應(yīng)不能先于激勵r(t)=e(t+1)，在t=0時的輸出與-到t=1時為止的激勵有關(guān)，為非因果系統(tǒng)。同理r(t)=e(t-1) 與-到t=-1時為止的激勵有關(guān)，

9、為因果系統(tǒng)五、其它分類 集總參數(shù)和分布參數(shù)系統(tǒng)：參數(shù)是集總的或分布的集中參數(shù)系統(tǒng)可用有限個狀態(tài)描述。數(shù)學(xué)模型為常微分方程（或常微分方程組）的系統(tǒng)。(分布參數(shù)系統(tǒng))狀態(tài)變化不能只用有限個參數(shù)而必須用場(一維或多維空間變量的函數(shù))來描述的系統(tǒng) 有源和無源系統(tǒng)：系統(tǒng)中是否含源 即時和動態(tài)系統(tǒng)：是否記憶元器件本課程主要研究線性時不變的、集總參數(shù)的（簡寫為LTI）連續(xù)時間和離散時間系統(tǒng)。§1.5 線性時不變系統(tǒng)的分析系統(tǒng)分析: 給定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)去研究系統(tǒng)的特性；從已給的系統(tǒng)激勵和響應(yīng)去分析系統(tǒng)的特性。線性時不變系統(tǒng)許多實用的系統(tǒng)具有線性時不變的特性系統(tǒng)理論中，只有線性時不變系統(tǒng)已經(jīng)建立了一

10、套完整的分析方法易于綜合實現(xiàn)對電阻u=Ri; 對電容。有源元件：理想電壓/流源和各種理想受控源理想運算單元：乘法器、積分器、加法器、延時器等(圖1-14)-e(t)1RCuc(t)框圖描述系統(tǒng)示例如右圖所示, 加法器的輸出為RCuc (t)在線性連續(xù)時間系統(tǒng)中，線性時不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程。系統(tǒng)方程根據(jù)選取變量的觀點和方法不同：輸入-輸出方程；狀態(tài)方程。古典求解微分方程(時域)、拉普拉斯變換(變換域)、卷積(時域)線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線形差分方程Z變換(變換域)、卷積(時域)§1.6 非電系統(tǒng)的分析線性系統(tǒng)的分析方法可應(yīng)用到其它非電的學(xué)科中。一、機械系統(tǒng)與電系

11、統(tǒng)對應(yīng)阻尼相當(dāng)于電阻：, 慣性與電慣性：，彈簧與電容器：，或 (圖1-16)二、熱系統(tǒng)與電系統(tǒng)熱能與電荷，Ct稱為熱容量，它與物體的比熱和質(zhì)量有關(guān)。溫度與電壓，Gt稱為熱傳導(dǎo)，它與導(dǎo)熱率、導(dǎo)熱物體的截面及長度有關(guān)。三、其它簡單模型，當(dāng)t=0時，P(0)=P0則求解P(t)=P0ekt一般還與其它因素有關(guān)(如食物、醫(yī)療衛(wèi)生等生活條件及控制生育的措施，還有社會意識等)。P19習(xí)題：1.1, 1.2 (b)、(c), 1.3 (2)、(5)，1.5 (3)、(7)，1.6，1.7, 1.8 (4)，1.9，1.11第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析線性連續(xù)時間系統(tǒng)分析，歸結(jié)為建立并求解線性微分議程。本章

12、將在用經(jīng)典法求解微分方程的基礎(chǔ)上，討論零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)的求解。在引入系統(tǒng)的沖激響應(yīng)后，零狀態(tài)響應(yīng)等于沖激響應(yīng)與激勵的卷積積分。2.1 引言時域分析法(time-domain method)：不經(jīng)過任何變換，所涉及函數(shù)的變量均為時間t變換域分析法(transform domain method) ：將時間變量變換成其它變量,如：傅里葉變換頻域分析法(frequency-domain method)對RLC串聯(lián)電路(P23 雙耦合電路à四階微分方程)對于n階線性系統(tǒng)，可用輸入-輸出方程描述常系數(shù)線性微分方程的解：解=（齊次方程的解）通解 +（非齊次方程的解）特解對應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)來說：

13、響應(yīng)=自然響應(yīng)（自由響應(yīng)）+ 受迫響應(yīng)，1、2為該微分議程特征方程的根，C1、C2為待定系數(shù)。二階微分方程的特解由方程右邊形式確定，如右邊為Aet時，特解形式Bet(1或2)或Btet(=1或2)零輸入響應(yīng)(zero-state reponse)和零狀態(tài)響(zero-state reponse)零輸入響應(yīng)是系統(tǒng)在無輸入激勵的情況下僅由初始條件引起的響應(yīng)。(齊次求解)零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)在初始儲能或稱為狀態(tài)為零的情況下，僅由外加激勵源引起的響應(yīng)。全響應(yīng)由這兩個響應(yīng)疊加可得到。(求解初始條件為零的非齊次方程：直接法、變換域和疊加積分法)疊加積分法(superposition integral meth

14、od)求解非齊次方程。激勵分解為簡單函數(shù)，求取簡單激勵的系統(tǒng)響應(yīng)，疊加得到總的零狀態(tài)響應(yīng)。卷積積分(convolution integral) 激勵響應(yīng)由一系列脈沖函數(shù)響應(yīng)之和，t無限小時。P26圖2-3(a) 杜阿梅爾積分(Duhamel integral) 系統(tǒng)由一系列階梯函數(shù)的響應(yīng)總和。P26圖2-3(b)§2.2 系統(tǒng)方程的算子表示法一、算子的定義二、算子的運算可進行代數(shù)運算 (p+a)(p+b)x=p2+(a+b)p+abx抵消三、=>，H(p)稱作轉(zhuǎn)移算子§2.3 系統(tǒng)的零入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是當(dāng)系統(tǒng)沒有外加激勵信號時的響應(yīng)。求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，就要求解

15、齊次方程一、一階系統(tǒng)(P30) 初始條件為t=t0時，r(t)=r(t0), 則此時有r(t)=r(t0)e(t-t0) 試證明之。二、二階系統(tǒng)三、n階系統(tǒng)四、例題例二：P32例2-1 P33例2-2(自習(xí))§2.4 奇異函數(shù)奇異函數(shù)：函數(shù)或其各階導(dǎo)數(shù)都有一個或多不間斷點(不連續(xù))，在間斷點上的導(dǎo)數(shù)用一般方法不好確定。如階跌函數(shù)(step function)和沖激函數(shù)(inpulse function)。一、階跌函數(shù)函數(shù)與階躍函數(shù)相乘二、單位沖激函數(shù)(亦稱狄拉克函數(shù)或函數(shù))非理想直流源加到電容器上的電壓uc(t)在一定時間范圍內(nèi)按線性規(guī)律逐漸增大到穩(wěn)定值。uc(t)呈現(xiàn)一矩形脈沖形狀

16、。沖激函數(shù)是對于強度甚大而作用時間甚短的物理量的理想模型。如抽殺乒乓球。廣義函數(shù)（分配函數(shù)） 函數(shù)其它性質(zhì)：三、沖激偶對單位沖激函數(shù)求導(dǎo)當(dāng)t從負(fù)值趨于零時，它是一強度為無限大正沖激函數(shù)；當(dāng)從正值趨于零時，它是一強度為無限大的負(fù)沖激函數(shù)。四、斜變函數(shù)單位斜變函數(shù)斜變函數(shù)AR(t)乘數(shù)A表示函數(shù)的斜率§2.5 信號的脈沖分解信號在時域分析中的分解,就是把信號的時間函數(shù)用若干個奇異函數(shù)之和來表示。一、周期性脈沖信號表示為奇異函數(shù)之和1. 矩形脈沖分解：f(t)=f1(t)+f2(t)=A(t)-A(t-)有始周期矩形脈沖可以表示為2. 有始周期鋸齒形脈沖信號可以表示為二、任意函數(shù)表示為階躍

17、函數(shù)的積分3.任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)的積分§2.6 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)是系統(tǒng)的重要特性，特別是沖激響應(yīng)在系統(tǒng)分析中具有十分重要的意義。給定一零狀態(tài)系統(tǒng)，把代表電壓源或電流源的階躍函數(shù)或沖激函數(shù)作為激勵源加于此系統(tǒng)的輸入處，然后要解得系統(tǒng)輸出處表示電壓或電流的響應(yīng)函數(shù)。一、激勵函數(shù)與響應(yīng)函數(shù)之間的關(guān)系 1. 線性時不變系統(tǒng) 2. 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)關(guān)系在線性系統(tǒng)的分析中，沖激響應(yīng)是更重要的，并且階躍響應(yīng)可以通過把沖激響應(yīng)進行積分得到，所以后面只討論沖激響應(yīng)的求法。二、系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)可以由系統(tǒng)的微分方程來計算。零輸入響應(yīng)法將(t)的作用轉(zhuǎn)化為t=0+

18、時的初始狀態(tài)，求該初始狀態(tài)作用下的零輸入響應(yīng)，即可得h(t)。三、例題例2-3 RC串聯(lián)電路初始狀態(tài)為零，受激于單位沖激電壓源，如圖所示，求響應(yīng)電流及響應(yīng)電壓。電容上的響應(yīng)電壓例2-4設(shè)系統(tǒng)的微分方程為, 試求此系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：二重根，n>m, 例2-5設(shè)系統(tǒng)的微分方程為, 試求此系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。例設(shè)系統(tǒng)的微分方程為, 試求此系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：§2.7疊加積分利用各沖激分量響應(yīng)疊加求零狀態(tài)響應(yīng)。任意激勵函數(shù)可以用若干個沖激之和來近似地代表。0t當(dāng)t無限趨小時，t成為d，kt成為，則上式轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)對激勵函數(shù)的響應(yīng)。上式稱為卷積積分，簡稱卷積。它們是在時域中利用疊加積分由沖激

19、響應(yīng)求解系統(tǒng)對于激勵函數(shù)e(t)的零狀態(tài)響應(yīng)積分公式。疊加積分利用了線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，且沖激響應(yīng)是時不變的，即上式只適用于線性時不變性系統(tǒng)疊加積分可以推廣用于線性時變系統(tǒng)，則系統(tǒng)的響應(yīng)為 例2-6 P54解：（結(jié)果見圖2-22）§2.8 卷積及其性質(zhì)一、卷積的定義卷積的一般式子為:具體應(yīng)用時，積分上下限受被積函數(shù)的定義域影響。二、卷積的圖解法 卷積圖解法是借助于圖形計算卷積積分的一種基本計算方法。 與解析法相比，圖解法使人更容易理解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的物理意義和積分上下限的確定。 從幾何意義來說，卷積積分是相乘曲線下的面積。 采用圖解法可以使枯燥的數(shù)學(xué)符號生動活潑起來，圖形化直觀地表示

20、出卷積的幾何意義。圖解法的一般步驟：變量置換à反折à平移à相乘à積分見P57圖2-24P58例2-7求:圖解法：當(dāng)<-1時，f(t)=0當(dāng)1>>-1時，f(t)=2(t-1)當(dāng)3>>1時，f(t)=當(dāng)>3時，f(t)=0解析法：三、卷積性質(zhì)對兩函數(shù)卷積的結(jié)果微/積分，等于先對其中任一函數(shù)微/積分后再卷積。由56知u(t)與v(t) 卷積的結(jié)果等于先對其中任一函數(shù)求導(dǎo)數(shù)對另一函數(shù)求積分后的結(jié)果卷積。7.互相關(guān)函數(shù)èP65例2-8 例2-9求矩形脈沖f1(t)與指數(shù)函數(shù)f2(t)的卷積§2.9 線性系統(tǒng)

21、響應(yīng)的時域求解 y(t)=yx(t)+yf(t)零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng) 強迫響應(yīng)1.指數(shù)函數(shù)信號激勵下的系統(tǒng)響應(yīng)指數(shù)函數(shù)具有通過網(wǎng)絡(luò)后仍能保持原指數(shù)函數(shù)形式的特點。一些典型信號或者是指數(shù)函數(shù)的特例，或者是由指數(shù)函數(shù)組成。例如階躍函數(shù)可以看作指數(shù)函數(shù)的衰減因數(shù)為零時的特殊情況；正弦函數(shù)是由兩個指數(shù)函數(shù)組成的。系統(tǒng)響應(yīng)中隨時間增長而趨于零的部分稱為瞬態(tài)響應(yīng)分量，隨著時間增長而趨于穩(wěn)定的部分稱為穩(wěn)態(tài)分量。例題2-10 (P70) 穩(wěn)定系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)必然是自然響應(yīng)的一部分，零狀態(tài)響應(yīng)中又可分為自然響應(yīng)和受迫響應(yīng)兩部分。零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)中的自然響應(yīng)兩部分合起來構(gòu)成總的自然響應(yīng)，對真實系統(tǒng)

22、而言它必是瞬態(tài)響應(yīng)。受迫響應(yīng)中隨時間增長而衰減的消失部分也是瞬態(tài)響應(yīng)，隨時間增長仍繼續(xù)存在并趨于穩(wěn)定響應(yīng)的部分則是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。(P71)2.矩形脈沖信號激勵下RC電路的響應(yīng)矩形脈沖作用于RC電路，是最常見的電路工作情況之一。系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)特性的影響，系統(tǒng)的時域特性由系統(tǒng)在特定信號激勵下的響應(yīng)來表示，通常就是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。一般的沖激響應(yīng)由若干個單邊指數(shù)函數(shù)組成，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)就是微分方程的階數(shù)。這些指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)由其自然頻率規(guī)定。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，或為負(fù)實數(shù)，或者兩個均具負(fù)實部且為共軛復(fù)數(shù)對。前者后者P72P73微分電路，積分電路RL電路類似于RC電路本章小結(jié)一、經(jīng)典法求解微分方程二、零輸入響應(yīng)和零

23、狀態(tài)響應(yīng)三、沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)1.沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系2.沖激響應(yīng)四、卷積積分1. 定義. 性質(zhì)(1) 交換律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(4) 微分性質(zhì)(5) 積分性質(zhì)(6) 微分積分性質(zhì)(7) 時移性3計算卷積的四種方法（1）查表法；（2）圖解法；（3）解析法；（4）數(shù)值計算法。P78 習(xí)題2.4 (1)，2.5 (1)，2.6, 2.7 (4), 2.8 (c)(e)(f), 2.10 (2)(4)(6), 2.12, 2.15 (2)(5), 2.17(b)(e), 2.18(3),2.20 (2)(4), 2.21, 2.22, 2.23, 2.25, 2.27, 2.28第三章

24、 連續(xù)信號的正交分解根據(jù)什么原則來選擇信號分量的單元函數(shù)，怎么的一個函數(shù)集能完全地表示各種各樣的復(fù)雜信號？信號的分解在某種意義上與適量的分解有相似之處。信號空間，正交函數(shù)集。三角函數(shù)集，即傅里葉級數(shù)正交函數(shù)集與信號分解所以垂直投影有一個特性，即用垂直投影去代替原矢量所造成的誤差向量的?；蚰５钠椒奖扔闷渌队暗男?。=> => 由此解得 一個平面矢量可以用一個二維的正交矢量集來代表。A=Ax+Ay或者|Ax|=A·Ux Ux·Ux= Uy·Uy=1|Ay|=A·Uy Ux·Uy=0N維正交矢量空間類似信號常以時間函數(shù)表示，所以信號分量與

25、分解就是時間函數(shù)的分量與分解。在一定時間內(nèi)t1tt2，用函數(shù)f1(t)在另一函數(shù)f2(t)中的分量c12f2(t)來近似代替f1(t)，將有一定的誤差(t)。   (t)=f1(t)-c12f2(t)選擇c12的準(zhǔn)則亦也使近似誤差(t)的方均值最小，即使：則，它是在最小方均誤差的意義上代表二函數(shù)f1(x)和f2(x)的相互關(guān)聯(lián)程度。當(dāng)c12=0時，=0，此時f1(x)和f2(x)正交。為了更好地說明兩個信號間相似的程度，從功率的角度，引入了相關(guān)系數(shù)的概念P90-91相關(guān)的概念主要用討論隨機信號的統(tǒng)計特性。代表信號的函數(shù)可以表示為該函數(shù)在一正交函數(shù)集中的分量之和。在區(qū)間t1，

26、t2內(nèi)相互正交的n個函數(shù)g1(t)，gn(t)組成一個n維的正交信號空間，即： 任何一個函數(shù)f(t)在區(qū)間t1，t2內(nèi)可近似地用n維正交信號空間中的各正交分量來表示，即：在使該近似式的方均誤差最小的條件下，可得 (把矢量點積換成函數(shù)相乘的積分)如果一正交函數(shù)集可以精確（無誤差）地表示任一函數(shù)，則稱該正交函數(shù)集為完備的正交函數(shù)集。 一般說，完備正交函數(shù)集中將包含有無限多個相互正交的函數(shù)。此時，函數(shù)f(t)可以精確地而不是近似地表示為一個包含無限多個相互正交的函數(shù)的無窮級數(shù)。(傅里葉級數(shù)所中的正弦余弦函數(shù))非正交的矢量集可能是完備的或者不完備的，同樣，非正交的函數(shù)集也可能是完備的或者不完備的。正交

27、和完備是兩個獨立的概念。3.復(fù)變函數(shù)的分解復(fù)變函數(shù)即指函數(shù)的自變量及函數(shù)值都是復(fù)數(shù)的函數(shù)。復(fù)變函數(shù)的分解與實函數(shù)的分解相似，只有以下幾點不同：1）函數(shù)f1(t)、f2(t)、都是復(fù)變函數(shù)，正交函數(shù)集g1(t)，gr(t)，都是復(fù)變函數(shù)。分量系數(shù)C1，Cr，是復(fù)數(shù)。2) 方均差表達式3）分量系數(shù)變?yōu)橛缮鲜交蝾愃频牡玫椒至肯禂?shù)4）正交函數(shù)集的正交條件5）若復(fù)正交函數(shù)集g1(t),g2(t),gr(t),是完備的，則任意函數(shù)f(t)(實或復(fù))可以分解為(系數(shù)c與函數(shù)f(t)均為復(fù)數(shù)形式)實變函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的復(fù)數(shù)虛部為0的特殊情況§3.3 信號表示為傅立葉級數(shù)一、三角傅立葉級數(shù)f(t)在(t

28、1,t1+T)區(qū)間內(nèi)的三角傅里葉級數(shù)表示式注：要將一周期信號分解為諧波分量，這一周期信號的函數(shù)應(yīng)滿足狄利克雷條件。例矩方波的傅立葉表示P97二、指數(shù)傅立葉級數(shù)由指數(shù)函數(shù)的正交性，可得指數(shù)傅立葉級數(shù)P99由歐拉公式也可以說明：i) 在指數(shù)Fourier級數(shù)中出現(xiàn)-n，并不表示出現(xiàn)負(fù)頻率，只是將n次諧波表示（或分成）兩個指數(shù)項后的一種數(shù)學(xué)表示形式。ii) 指數(shù)正交集中包含有ejn和e-jn，它們符合正交條件；但三角正交集中則不包含cos(-nt)和 sin(-nt)，因為cos(nt)和cos(-nt)或sin(nt)和sin(-nt)不符合正交條件。(P100)三、函數(shù)的奇偶性質(zhì)及其與諧波分量的

29、關(guān)系 奇函數(shù) f(t)=-f(-t), 偶函數(shù)f(t)=f(-t),余弦cos(t)和sin(t)分別是周期性的偶函數(shù)和奇函數(shù)(P101)偶函數(shù)和奇函數(shù)并不都是周期性的偶函數(shù)關(guān)于縱軸對稱，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱兩個偶函數(shù)相乘或兩個奇函數(shù)相乘都是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)和一個奇函數(shù)相乘所的函數(shù)是奇函數(shù)。 任何一個函數(shù)f(t)可分解為偶部fe(t)與奇部fo(t)之和，即f(t)=fe(t)+fo(t)，而           fe(t)=f(t)+f(-t) /2   

30、0;       fo(t)=f(t)-f(-t)/2將信號分解為奇偶分量有時對求解信號的傅立葉級數(shù)會帶來方便。P103 奇諧函數(shù)f(t+T/2) = -f(t)，不包含直流分量和偶次諧波，只包含奇次諧波。常有半周期是正值，半周期是負(fù)值，而正負(fù)兩半周期的波形完全相同(沿橫軸反褶)見圖3-8所示P104 偶諧函數(shù)f(t+T/2) = f(t)，不包含奇次諧波，只包含偶次諧波和直流分量。見圖3-8所示P105§3.4 周期信號的頻譜頻譜圖振幅頻譜圖，相位頻譜圖頻譜An是按2/的周期歸零,每周期內(nèi)有T/條譜線周期信號頻譜特點：離散

31、頻譜，諧波性，收斂性P104§3.5 傅立葉變換與非周期信號的頻譜, 當(dāng)Tà時非周期信號f(t)的三角函數(shù)形式為密度函數(shù)的模量對頻率作出的連續(xù)曲線代表信號的振幅頻譜，密度函數(shù)的相角對頻率作出的連結(jié)曲線則是信號的相位頻譜。（P114）與周期信號的頻譜一樣，非周期信號的密度函數(shù)也具有收斂性，但不具有離散性與諧波性。 狄氏條件是對非周期函數(shù)進行傅立葉變換的充分條件。例P115單個矩形脈沖信號（門函數(shù)）§3.6 常見信號的傅立葉變換<略>§3.7 周期信號的傅立葉變換(自學(xué))§3.8 傅立葉變換的性質(zhì)1. 線性性質(zhì)2. 延時特性3

32、. 移頻特性4. 尺度變換特性5. 奇偶特性6. 對稱特性7. 微分特性（證明）8. 積分特性9. 頻域的微分積分特性10. 卷積定理（證明）§3.9 Parserval定理與能量頻譜一、功率信號的功率譜 在電路理論中我們討論過，非正弦周期信號的電流或電壓的有效值等于該信號所含各諧波分量的平方和的平方根。換言之，一個周期信號的方均值等于該信號在完備正交函數(shù)集中各分量的方均值之和，或者說周期信號的功率等于信號在完備正交函數(shù)集中的各分量功率之和。這就是著名的Parseval定理。 設(shè)g1(t)，g2(t),，gn(t)，為完備正交函數(shù)集。    &

33、#160;f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+cngn(t)+     t1<t<t1+T則信號功率(方均值) 三角Fourier是個特例 總功率等于各角頻率分量的功率之和。二、能量的能量譜對能量信號來講，信號總能量為    雷利定理：對于非周期信號，在時域中求得的信號能量與頻域中求得的信號能量相等。  由于該信號能限量有限，但頻率無限，所以它在各頻率分量上的能量是窮小量，對于無窮小量是不能討論其意義的，為了表示能量在頻率上的分布，仿照FT的引用，定義一個能量（密度）頻譜函數(shù)：，即能量譜

34、的形狀與幅譜平方的形狀相同，但與相位譜無關(guān)。某角頻率處的單位頻帶中的信號能量。并且§3.10 沃爾什函數(shù)另一種完備正交函數(shù)集。(自選自學(xué))P157 習(xí)題3.2, 3.4-5-6, 3.8, 3.10,3.14 (1) (3), 3.15(2)，3.16(1),3.17 (b) (c), 3.21 (1) (3)(5)(6), 3.23（淺藍色為選做題）第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析傅里葉變換對系統(tǒng)分析是有用的，對信號的分析和處理更為有用: 在系統(tǒng)分析中的最大優(yōu)點是將時域中的微分方程轉(zhuǎn)化成頻域的代數(shù)方程從而簡化了運算; 在信號分析和處理中，其最大的優(yōu)點在于能解出信號能量在多個頻率上的

35、分量。傅里葉變換也存在一些不足：（1）只能處理和分析滿足狄利克雷條件的函數(shù)。（2）傅里葉反變換的積分的求解有困難。本章引入的拉普拉斯變換分析法: 一方面可從數(shù)學(xué)中積分變換的觀點直接定義;另一方面從信號分析觀點可看成是傅里葉變換在復(fù)頻域中的推廣,具有更為明確的物理意義。 因而拉普拉斯變換分析法常稱為復(fù)頻域分析法。拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法都是建立在線性非時變系統(tǒng)的齊次性可疊加性基礎(chǔ)上的。只是信號分解的基本單元函數(shù)不同。由此可見，拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法有許多類似之處，事實上，傅里葉變換可看作拉普拉斯變換在=0時的特例。拉普拉斯變換分析法是一個重要而有效的方法。（1）運算簡捷

36、，且對系統(tǒng)微分方程進行變換時，能夠自動記入初始條件。（2）基于拉普拉斯變換的復(fù)頻域轉(zhuǎn)移函數(shù)的零、極點分析是系統(tǒng)綜合所依賴的基礎(chǔ)之一。本章主要內(nèi)容：（1）拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)定義和物理意義（2）拉普拉斯變換的收斂域（3）拉普拉斯反變換（4）用拉普拉斯變換求解系統(tǒng)響應(yīng)（5）系統(tǒng)函數(shù)§5.2 拉普拉斯變換一、數(shù)學(xué)定義1. 雙邊拉普拉斯變換 由第三章已知，當(dāng)函數(shù)f(t)滿足狄利克雷條件時，便存在一對傅里葉變換式：稱為雙邊拉普拉斯變換或象函數(shù)； 稱為雙邊拉普拉斯反變換或原函數(shù)稱為雙邊拉普拉斯變換的收斂域（ROC）；2.單邊拉普拉斯變換 二、物理意義   雙、單邊L.

37、T都可看作是F.T在復(fù)頻域中的推廣。從數(shù)學(xué)形式上看，L.T為將F.T中的j換成s的結(jié)果。從物理概念上講，F(xiàn).T將函數(shù)分解為許多形如ejt或cos(t)的單元函數(shù)之和。每一對正負(fù)分量構(gòu)成一等幅正弦振蕩，振幅為無窮小量。 L.T將函數(shù)分解為形如est或et cos(t)指數(shù)分量之和，每一對正負(fù)的指數(shù)分量構(gòu)成一個變幅的正弦振蕩，振幅也為無窮小量。s稱為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)稱為復(fù)頻譜。F.T中構(gòu)成角頻率軸，L.T中s構(gòu)成復(fù)頻平面。s上的一點對應(yīng)的f(t)分量如圖示： 說明：（1）實軸上頻率點（=0，est=et）(A1A2和B1B2)：對應(yīng)一隨時間按指數(shù)規(guī)律變化的指數(shù)函數(shù)。>0，為單調(diào)增長指數(shù)；&l

38、t;0為單調(diào)衰減指數(shù)。|越大，增長/衰減速率越大；（2）虛軸上頻率點（=0，est=ejt）(C1C1*和C2C2*)：兩個正負(fù)值對應(yīng)一等幅正弦振蕩cost。s離軸越遠，即|越大，則振蕩頻率越高； （3）復(fù)平面上點（s=+j，est=et+jt）：     >0，s落在右半平面上(D1D1*和D2D2*)：對應(yīng)一增幅正弦振蕩，s離越遠，振蕩頻率越高；離j軸越遠，幅值增長速率越大；     <0，s落在左半平面上(E1E1*和E2E2*)：兩正負(fù)的est對應(yīng)一減幅正弦振蕩。s點離實軸越

39、遠振蕩頻率越大，離虛軸越遠幅值減少越快。    即在左半平面est收斂，在右半平面est發(fā)散。由上可以看出，復(fù)平面S上的每一對共軛對稱點或?qū)嵼S上的每一點都唯一地對應(yīng)于一個確定的時間函數(shù)(模式)。 (前面講過)，L.T為F.T的復(fù)頻域推廣。反過來說F.T為L.T在s=j，即=0時的特殊情況。求F.T反變換時，廣義積分只能沿著虛軸求取，而L.T的則可在收斂區(qū)內(nèi)沿任何路徑求取。通過取定值，則積分沿與j平行且相距的直線進行。用復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理得知，ILT的求取比IFT的求取要簡單容易的多。 §5.3 拉普拉斯變換的收斂域RoC(Region of C

40、onvergence)由前面的討論可知，連續(xù)時間信號f(t)的拉普拉斯變換（以下簡稱拉氏變換）式F(s)是否存在，取決于f(t)乘以衰減因子以后是否絕對可積，即：因此，在s平面上，使絕對可積的區(qū)域稱為L.T的絕對收斂域簡稱收斂域?；蚍Q為L.T存在的充分條件。單邊拉普拉斯變換的收斂域從可以看出，要使單邊拉普拉斯變換存在，通常要求f(t)是指數(shù)階函數(shù)且具有分段連續(xù)的性質(zhì)。也就是，存在一個常數(shù)0，使得在>0范圍內(nèi)，對于所有大于定值T的時間t有界，且當(dāng)t趨于時，其極限值為0。即：根據(jù)0的值可以將s平面分為兩個區(qū)域。通過0的垂直線是收斂區(qū)的邊界，稱為收斂邊界或收斂軸，0稱為收斂坐標(biāo)，s平面上收斂軸

41、之右的部分即為收斂區(qū)。§5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 當(dāng)A=1時為單位沖激函數(shù)的LT變換。§5.5 拉普拉斯反變換在使用Laplace變換分析系統(tǒng)時，最后為求得系統(tǒng)的時域響應(yīng)，必須求拉普拉斯反變換，即求原函數(shù)。 原函數(shù)的基本求法：查表并利用拉普拉斯變換的性質(zhì)；部分分式展開法及留數(shù)法三種。一、部分分式展開法；多項式的拉普拉斯反變換為沖激函數(shù)(t)及其各階導(dǎo)數(shù)。下面著重討論將真分式分解成部分分式的兩種情況。1）m<n，當(dāng)D(s)=(s-s1)(s-sn)=0無重根時，其中或者例5-1(P218),5-2(P219)2）m<n，當(dāng)D(s)=(s-s1)p (s-sp

42、+1)(s-sn)=0有p重根時 例 5-3(P221),5-4(P221-222)二、留數(shù)法(圍線積分法) 例 5-5(P224-225)三、零極點F(s)=0的s值稱為函數(shù)F(s)的零點；F(s)=的s值稱為函數(shù)F(s)的極點。如果在s平面上，用代表極點位置，用表示零點位置，將F(s)的全部零極點繪出，即得函數(shù)F(s)的零、極點分布圖。或簡稱函數(shù)F(s)的極零圖。 極零圖表示了F(s)的特性，由零、極點在復(fù)平面所處的位置，可以確定相應(yīng)的時間函數(shù)及其波形。(如書上P226-227表5-2所示)。極點的分布只能說明f(t)所具有的時間函數(shù)的模式，不能決定每一時間函數(shù)的大小，其大小要由部分分式的

43、系數(shù)來決定。§5.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，則1. 線性性質(zhì)2. 尺度變換特性，3. 延時特性4. 頻率平移5. 時域微分特性（證明略）6. 時域積分特性7. 復(fù)頻域的微分與積分特性8. 對參變量微分與積分9. 初值定理10. 終值定理11. 卷積定理（證明）拉普拉斯變換的基本性質(zhì)見教材表5-3 (P 238-239)課堂練習(xí)以上(8)-(9)為教材上例題 5-9(P237) 5-10(P237-238)§5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法一、 由方程求響應(yīng) 利用拉氏變換求線性系統(tǒng)的響應(yīng)時，需要首先對描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程進行拉氏變換，得到一個s域的代數(shù)方程，

44、由于在變換中自動地引入了系統(tǒng)起始狀態(tài)的作用，因而求出響應(yīng)的象函數(shù)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，再經(jīng)過拉氏反變換可以很方便地得到零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的時域解。二、由電路求響應(yīng)s域等效電路（1）元件s域運算阻抗: R，L，C R，sL, 1/sC 信號象函數(shù): i(t)，u(t) I(s)，U(s)a) 電阻元件的s域電路模型電阻元件的時域電路模型如圖5-8（a）所示，其時域的伏安關(guān)系為： 對上式取拉氏變換，得 b) 電容元件的s域電路模型 電容元件的時域電路模型如圖5-9（a）所示，其時域的伏安關(guān)系為： 對兩邊分別求L.T，得 電容元件的時域伏安關(guān)系還可以表示為 對兩邊分別求L.T，得

45、 c) 電感元件的s域電路模型 電感元件的時域電路模型如圖5-10（a）所示，其時域的伏安關(guān)系為 對兩邊分別求L.T，得 電感元件的時域伏安關(guān)系還可以表示為 對兩邊分別求L.T，得（2）有了s域電路元件模型，就可以得到一般電路的s域模型。應(yīng)用電路分析中的基本分析方法（節(jié)點法、網(wǎng)孔法等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），列出復(fù)頻域的代數(shù)方程，并進行求解得到響應(yīng)的象函數(shù)，對所求的響應(yīng)象函數(shù)進行拉氏反變換，即得出響應(yīng)的時域解。例5-11 圖5-11中，已知e(t)=10(t)，C=1F，R12=1/5，R2=1 ，L=1/2H，初始條件uC(0)=5V，iL(0)=4A，方向如圖，試求響應(yīng)電流i1

46、(t)。3.系統(tǒng)函數(shù)H(s) 由時域零狀態(tài)響應(yīng)r(t)=e(t)*h(t)可得R(s)=E(s)H(s)。 引入系統(tǒng)函數(shù)（又稱系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)）：系統(tǒng)函數(shù)按所研究的激勵和響應(yīng)是否屬于同一端口，可以分為兩大類。策動動點(輸入)函數(shù)：激勵和響應(yīng)屬于同一端口按照激勵和響應(yīng)是電壓或電流，有四種類型系統(tǒng)函數(shù)激勵及端口響應(yīng)及端口系統(tǒng)函數(shù)電流I1(s)電壓U2(s)阻抗轉(zhuǎn)移函數(shù)電壓U1(s)電流I2(s)阻抗導(dǎo)納函數(shù)電壓U1(s)電壓U2(s)電壓傳輸函數(shù)電流I1(s)電流I2(s)電流傳輸函數(shù)例題5-14(P249)，5-15(P250)答案中出現(xiàn)沖激函數(shù)(t)，這是由于電容上電壓產(chǎn)生突變引起。，§

47、5.10 線性系統(tǒng)的模擬是指數(shù)學(xué)意義上的模擬，就是說用來模擬的裝置和原系統(tǒng)在輸入輸出的關(guān)系上可以用同樣的微分方程來描寫。系統(tǒng)模擬由幾種基本的運算器組合起來的圖表示。基本運算器有三種：加法器、標(biāo)量乘法器和積分器。P277 習(xí)題 5.3 (3)(5)(7), 5.12 (1), 5.13（1）(3)，5.14 (3), 5.15 (1), 5.18第六章 連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)函數(shù)的定義 H(s)代表了系統(tǒng)的特征，是連接輸入與輸出關(guān)系的橋梁H(s)是系統(tǒng)時域特性與頻域、復(fù)頻域特性間聯(lián)系的橋梁。H(s)是系統(tǒng)分析與系統(tǒng)綜合的橋梁。二、系統(tǒng)函數(shù)的求解ü 根據(jù)H(s)的定義，對系統(tǒng)的微

48、分方程取拉氏變換，并求得H(s)=R(s)/E(s)。ü 根據(jù)系統(tǒng)時域沖激響應(yīng)h(t)，求其拉氏變換，即H(s)=Lh(t)。根據(jù)s域電路模型，應(yīng)用電路分析的理論方法，求出響應(yīng)ü 象函數(shù)和激勵象函數(shù)的比。ü 根據(jù)系統(tǒng)模擬框圖，求出輸入象函數(shù)與輸出象函數(shù)的比。（不要求）§6.2 系統(tǒng)函數(shù)的表示系統(tǒng)函數(shù)的一般形式是一個分式，其分子分母都是復(fù)變量s的多項式，即這種形式，很難看出系統(tǒng)的特性，所以常用圖示法來表示，常用的圖示法有頻率特性曲線、復(fù)軌跡和極零圖。一、頻率特性 在H(s)中，令=0可得H(j)。它隨著 （頻率）變化的特性稱為頻率特性。 H(j)仍然是復(fù)變

49、函數(shù)，可以將其寫成： 頻率特性常用|H(j)|、()相對于自變量的變化曲線來表示。二、復(fù)軌跡復(fù)變量s在復(fù)平面上沿虛軸j變化。對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)H(j)的變化構(gòu)成一條曲線，稱為系統(tǒng)的復(fù)軌跡。即：一般復(fù)軌跡指=0時H(s)形成的軌跡。當(dāng)0，0時，變化，H(s)亦形成一軌跡（幅度-相角曲線）。當(dāng)變化時，復(fù)軌跡形成一曲線族。 從-0：復(fù)軌跡按順時針方向轉(zhuǎn)一圈。從-0：復(fù)軌跡按順時針方向又轉(zhuǎn)一圈。 也就是說：在-+變化，則復(fù)軌跡由原點開始，按順時針方向轉(zhuǎn)兩圈。 三、極零圖一個實際系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)必定是復(fù)變量s的實有理函數(shù)。分母多項式為零時方程的根P1、P2、Pn為H(s)的極點；分子多項式為零時方程

50、的根Z1、Z2、Zn為H(s)的零點。把系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極、零點繪在s平面上，就成為極點零點分布圖，簡稱極零圖。一般用“×”表示極點，“O”表示零點。當(dāng)一個系統(tǒng)函數(shù)的極點、零點以及因數(shù)H0全部確定后，這個系統(tǒng)函數(shù)也就完全確定了。這種表示法都來源于同一系統(tǒng)函數(shù)，所以它們之間必然存在著相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。§6.3 系統(tǒng)函數(shù)的極零點分布與系統(tǒng)時域特性的關(guān)系系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指當(dāng)系統(tǒng)的激勵是有限的，系統(tǒng)的響應(yīng)也是有限的，而不隨時間無限增長的系統(tǒng)特性。 無獨立源的系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。如前章所述，系統(tǒng)函數(shù)的極點對應(yīng)系統(tǒng)的自然響應(yīng)模式。自然頻率也常稱為特征根。=+j為k階極點時，自然響應(yīng)為：(Ak

51、tk-1+A1)etU(t)。<0時，上式為減幅振蕩，有界。>0時，上式為增幅振蕩，無界。=0時，k=1對應(yīng)于等幅正弦振蕩，有界； k>1時，無界。如結(jié)論：穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的極點不能在平面的右半面內(nèi)，如果在j軸上（包括S=0和S=）有極點，則只能是單階的，進而要求分子多項式冪次不能高于分母1次。對零點無過多要求，只需對稱于實軸即可。   §6.4 系統(tǒng)函數(shù)的極零點分布與系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系對于響應(yīng)中各個頻率分量的幅度和相位，極零點的作用是同等重要的。Al、Bk為矢量之模，l、k表示矢量與實軸方向間夾角。 常見的兩種轉(zhuǎn)移函數(shù)1. 全通函數(shù): 穩(wěn)定系

52、統(tǒng)極點在左半平面，若其零點在s平面上以虛軸為對稱軸與極點成鏡象對稱，則這種網(wǎng)絡(luò)函數(shù)叫全通函數(shù)。 這時，H(S)的極零點階數(shù)相同。      由前面講的|H(j)|的矢量表示法，知|H(j)|極零點的模完全相同，所以|H(j)|=H0。      該網(wǎng)絡(luò)不產(chǎn)生幅值失真，只進行相位校正。極點和零點具有p1=p2*=-z2=-z1*關(guān)系，如P299圖6-10所示。2. 最小相移函數(shù)      在頻率變化過程中，系

53、統(tǒng)函數(shù)的相移最?。ㄔ谀撤N定義下），有這種相移特性的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。一般說來，這種函數(shù)除全部極點在S域左半平面外，全部零點也落在左半平面內(nèi)。如P300圖6-11所示。§6.5 波特圖系統(tǒng)函數(shù)模量的對數(shù)值和相位大小相對于對數(shù)尺度頻率所作出的頻率特性曲線就稱為波特圖(自學(xué))§6.6 系統(tǒng)的穩(wěn)定性在§6.3中說明穩(wěn)定性的含義是當(dāng)激勵為有限時，當(dāng)t時，系統(tǒng)的響應(yīng)是有限的，不隨時間增大而趨于無限大?？梢姛o源系統(tǒng)一定是穩(wěn)定系統(tǒng)。但工程上常用的有源反饋系統(tǒng)，則可能不穩(wěn)定。判定一個系統(tǒng)穩(wěn)定與否，是系統(tǒng)設(shè)計者首先要考慮的問題。 一、系統(tǒng)的穩(wěn)定及其條件  

54、      有界激勵有界響應(yīng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。即這就是穩(wěn)定條件。進一步： 即對于穩(wěn)定系統(tǒng)，它的沖激響應(yīng)必須是絕對可積的，也就是：        上式不僅是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，也是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。           為了符合絕對可積的條件，當(dāng)t時，沖激響應(yīng)應(yīng)趨于0，即     在t未趨于無限的一般情況，沖激響應(yīng)h(t)中，除了在

55、t=0處可能有孤立的沖擊函數(shù)外，都應(yīng)是有限的。即  其中M是有限的正實數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)符合上述條件時，稱它是漸近穩(wěn)定的。就是說：    時域中系統(tǒng)的沖激響應(yīng)絕對可積是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（滿足該條件的系統(tǒng)稱為漸近穩(wěn)定系統(tǒng)）。理想無耗系統(tǒng)，有振蕩但非發(fā)散型振蕩，所以稱臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。   復(fù)頻域條件：所有極點落在左半面內(nèi)（漸近穩(wěn)定）。若極點在虛軸j上（包括S=0，S=），則只能是單階的（臨界穩(wěn)定）。   穩(wěn)定系統(tǒng)必須遵從因果律。   通常判定系統(tǒng)穩(wěn)定與否仍采用復(fù)頻域極點條件。二、羅斯-霍維茨（Ro

56、uth-Hurwitz）判據(jù)代數(shù)判據(jù)穩(wěn)定性復(fù)頻域判據(jù)為：系統(tǒng)的極點落在左半平面內(nèi)或者一階虛軸及S=0、S=的極點；或者說系統(tǒng)的特征方程的特征根都有負(fù)實部。1) 必要條件   設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：   則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有如下結(jié)論：    方程各系數(shù)符號有異，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。    方程各非零系數(shù)符號相同，但有缺項（一些系數(shù)為0），則系統(tǒng)不漸近穩(wěn)定。這兩個結(jié)論的依據(jù)為：    各根實部為負(fù)值各系數(shù)同號不為零；    各根實部為非負(fù)值各不為

57、零系數(shù)同號。 這些條件概括起來就是：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為特征方程的全部系數(shù)同號且無缺項。注意：這僅為必要條件，即不滿足該條件必定不穩(wěn)定，但若滿足則不一定穩(wěn)定。這時要用到RouthHurwitz判據(jù)來判斷。2) Routh-Hurwitz判據(jù)        第一步：首先把該式的所有系數(shù)按照奇偶順序排成兩行：依此類推排列到a0為止 第二步：以前兩行為基礎(chǔ)，計算下面各行，從而構(gòu)成如下的數(shù)值表，稱為羅斯霍維茨陣列。 該陣列中，頭兩行即第一步所排 ，即下面各行按如下公式計算：第三步：就羅斯霍維茨數(shù)列，根據(jù)羅斯-霍維茨定理來決定方程是否有實部為正的根，從而判別有關(guān)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。