03常見的圓周運(yùn)動(dòng)問題

1、03第三節(jié)常見的圓周運(yùn)動(dòng)問題2V nR、考點(diǎn)聚焦10.勻速率圓周運(yùn)動(dòng).線速度和角速度.周期.圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度二、知識(shí)掃描1 .變速圓周運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：1速度大小變化一一有 切向加速度、速度方向改變一一有 向心加速度.故合加速度不一定指向 圓心.圓心.2合外力不全部提供作為向心力，合外力不指向2 .遵守的動(dòng)力學(xué)規(guī)律2一 、，一V ,c1向心加速度：a=或a= 3 2r2力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系:F向ma向2 v m 一R2 一 一R m/R m4 f R3 .處理圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)咨詢題般步驟1確定研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，畫出運(yùn)動(dòng)草圖2標(biāo)出量和需求的物理量3建立坐標(biāo)系，通常選取質(zhì)點(diǎn)所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一條軸

2、與半徑重合4用牛頓第二定律和平穩(wěn)條件建立方程求解.4.實(shí)例：典型的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)是豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)1如圖4-3-1和4-3-2所示，沒有物體支撐的小球，在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)通過最高點(diǎn)臨界條件是繩子或軌道對(duì)小球沒有力的作用，在最高點(diǎn)v= jRg.小球能通過最高點(diǎn)的條件是在最高點(diǎn)vjRg.小球不能通過最高點(diǎn)的條件是在最高點(diǎn)vjRg.圖 4-3-1圖 4-3-2圖 4-3-32如圖4-3-3所示，球過最高點(diǎn)時(shí)，輕質(zhì)桿對(duì)小球的彈力情形是小球在最高點(diǎn)v=0時(shí),是支持力.小球在最高點(diǎn)0v ,Rg時(shí),是拉力.三、好題精析例1.飛行員駕機(jī)在豎直平面內(nèi)作圓環(huán)特技飛行，假設(shè)圓環(huán)半徑為1000m,100m/s,求

3、飛行在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)飛行員對(duì)座椅的壓力是自身重量的多少倍.解析如圖4-3-4所示，飛至最低點(diǎn)時(shí)飛行員受向下的重力 向心力即Fni=Ti-mg；在最高點(diǎn)時(shí)，飛行員受向下的重力mg和向上的支持力飛行速度為g=10m/s2Ti,合力是mg和向下的壓力 T2,合力產(chǎn)生向心力即Fn2=T2+mg.兩個(gè)向心力大小相等且Fn= Fn1=Fn2=mv2/r那么此題有解:因?yàn)橄蛐牧n= mv2/r在最低點(diǎn)：T1-mg = mv2/r 解得：T1/mg=v2/rg+1=2 在最tWj點(diǎn)： T 2+ mg= mv2/r 解得：T2/mg=v2/rg-1=0那么 Ti=mv2/r+mg2,那么 T2=mv/r-m

4、g即飛機(jī)飛至最低點(diǎn)時(shí)，飛行員對(duì)座椅的壓力是自身重量的兩倍， 飛至最高點(diǎn)時(shí)，飛行員對(duì)座椅無壓力.點(diǎn)評(píng)豎直面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在列動(dòng)力學(xué)方程時(shí)， 要按照牛頓第二定律列方程的步驟進(jìn)行，受力分析是關(guān)鍵，列方程只要在法線方向上用牛頓第二定律.公式F=mV2/R是牛頓第二定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，向心力確實(shí)是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力的法向分力.例2.如圖4-3-5所示，半徑為 R,內(nèi)徑專門小的光滑半圓管豎直放置，兩個(gè)質(zhì)量均為小球A、B以不同速率進(jìn)入管內(nèi)， A通過最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)管壁上部的壓力為 3mg, B通過最 高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)管壁下部的壓力為 0. 75mg.求A、B兩球落地點(diǎn)間的距離.解析兩個(gè)小球

5、在最高點(diǎn)時(shí)，受重力和管壁的作用力，這 兩個(gè)力的合力作為向心力，離開軌道后兩球均做平拋運(yùn) 動(dòng)，A、B兩球落地點(diǎn)間的距離等于它們平拋運(yùn)動(dòng)的水平 位移之差.2對(duì) A 球：3mg+mg=mARva= 4gRCO圖 4-3-52Vb 對(duì) B 球：mg 0. 75mg=m R1 q vB= : 44RSA=vAt=vA : =4RgSB=VBt=VBJ4R =R2 分.1. SA - SB=3R g點(diǎn)評(píng)豎直面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)往往與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來進(jìn)行考查，此題是與平拋運(yùn)動(dòng)例3. 一小球質(zhì)量為 m,用長為 下方L/2處釘有一顆釘子，如圖相結(jié)合，解這類題時(shí)一定要先分析出物體的運(yùn)動(dòng)模型， 將它轉(zhuǎn)化成假設(shè)干個(gè)

6、比較熟悉的咨詢 題，一個(gè)一個(gè)咨詢題求解，從而使難題轉(zhuǎn)化為基此題.此題中還要注意豎直面內(nèi)的非勻速圓 周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)的兩個(gè)模型：輕桿模型和輕繩模型，它們的區(qū)不在于在最高點(diǎn)時(shí)提供的力有 所不同，輕桿可提供拉力和支持力，而輕繩只能提供拉力；此題屬于輕桿模型.L的懸繩不可伸長，質(zhì)量不計(jì)固定于 O點(diǎn)，在O點(diǎn)正4-3-6所示，將懸線沿水平方向拉直無初速開釋后，當(dāng)懸線L圖 4-3-6碰到釘子后的瞬時(shí)A.小球線速度沒有變化B.小球的角速度突然增大到原先的2倍C.小球的向心加速度突然增大到原先的2倍D.懸線對(duì)小球的拉力突然增大到原先的2倍解析在小球通過最低點(diǎn)的瞬時(shí)，水平方向上不受外力作用，沿切 線方向小球的加速度

7、等于零，因而小球的線速度可不能發(fā)生變化，故A正確；在線速度不變的情形下，小球的半徑突然減小到原先的一半，由v=wr可知角速度增大為原先的 2倍，故B正確；由a=v2/r,可知向心加速度突然增大到原先的2倍，故C正確；在最低點(diǎn)，F(xiàn)-mg=ma,能夠看出 D不正確.點(diǎn)評(píng)此題中要分析出懸線碰到釘子前后的瞬時(shí)物理量的變化情形，咨詢題就專門好解了， 因而，要依照題目的條件分析物理過程后再選用公式，不能隨意照套公式.例4.在質(zhì)量為 M的電動(dòng)機(jī)上，裝有質(zhì)量為 m的偏心輪，偏心輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為3,當(dāng)偏心輪重心在轉(zhuǎn)軸正上方時(shí)， 電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力剛好為零；那么偏心輪重心離轉(zhuǎn)軸的距離多大？在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，電動(dòng)機(jī)對(duì)地

8、面的最大壓力多大？解析設(shè)偏心輪的重心距轉(zhuǎn)軸 r ,偏心輪等效為用一長為 r的細(xì)桿 固定質(zhì)量為m (輪的質(zhì)量)的質(zhì)點(diǎn)，繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖 4-3-7,輪的重 心在正上方時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力剛好為零，那么現(xiàn)在偏心輪對(duì) 電動(dòng)機(jī)向上的作用力大小等于電動(dòng)機(jī)的重力，即：F = M g依照牛頓第三定律，現(xiàn)在軸對(duì)偏心輪的作用力向下，大小為F = M g ,其向心力為：F+mg=mco 2r由得偏心輪重心到轉(zhuǎn)軸的距離為:r=(M+m)g/(m 2)當(dāng)偏心輪的重心轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力最大.對(duì)偏心輪有：F-mg=m 32r對(duì)電動(dòng)機(jī)，設(shè)它所受支持力為Fn, FN=F+Mg由、解得 FN=2(M+m)g由牛

9、頓第三定律得，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的最大壓力為2(M+m)g點(diǎn)評(píng)此題中電動(dòng)機(jī)和偏心輪組成為一個(gè)系統(tǒng)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面剛好無壓力，是偏心輪運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，因而把它們隔離開來進(jìn)行研究思路比較清晰； 先以電動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象， 再以偏心輪為 研究對(duì)象，分不列方程，再利用牛頓第二定律把它們聯(lián)系起來即可求解； 另外還要找出最高 點(diǎn)和最低點(diǎn)這兩個(gè)臨界狀態(tài).例5.在一根長為L的不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿中點(diǎn)和末端各連一質(zhì)量為m的小球B和C,如圖4-3-8所示，桿能夠在豎直平面內(nèi)繞固定點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿拉到某位置放開，末端C球擺到最低位置時(shí)，桿BC受到的拉力剛好等于 C球重的2倍.求：g=10m/s21C球通過最低點(diǎn)時(shí)的線速度；2桿AB段現(xiàn)在受

10、到的拉力.解析1C球通過最低點(diǎn)時(shí)，受力如圖且作圓周運(yùn)動(dòng)F 向=TBc-mg2 vC 即 2mg-mg= m L得c球通過最低點(diǎn)時(shí)的線速度為：vC= jgL2以最低點(diǎn)B球?yàn)檠芯繉?duì)象，其受力如圖4-3-9所示，B球圓周運(yùn)動(dòng)的 F向=TAB-mg-2mgvB口 1即 Tab-3mg= m, 且 vb= vcL/22得桿AB段現(xiàn)在受到的拉力為：Tab=3. 5mg點(diǎn)評(píng)此題涉及到兩個(gè)物體，按常規(guī)要分不研究各個(gè)物體，分不列 出方程，現(xiàn)在還不能求解，必須還要找到兩個(gè)物體聯(lián)系的量再列一 個(gè)方程才能求解，因而，找到兩個(gè)物體物理量間的聯(lián)系是解題的關(guān) 鍵；此題中兩球固定在一輕桿上，它們的角速度相同是個(gè)隱含條件.四、

11、變式遷移1. 一圓柱形飛船的橫截面半徑為r,使這飛船繞中心軸 O自轉(zhuǎn)，從而給飛船內(nèi)的物體提供了 人工重力，如圖 4-3-10所示；假設(shè)飛船繞中心軸O自轉(zhuǎn)的角速度為3,那么 人工重力中的重力加速度 g的值與離開轉(zhuǎn)軸A. gkVTb. g = kL C. g ：2.在用高級(jí)瀝青鋪設(shè)的高速公路上，汽車的設(shè)計(jì)時(shí)速是108km/h .汽車在這種路面上行駛時(shí)，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.6倍.假如汽車在這種高速路的水平彎道上拐彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？假如高速路上設(shè)計(jì)了圓弧拱 橋做立交橋，要使汽車能夠安全通過圓弧拱橋，那個(gè)圓弧拱橋的半徑至少是多少？取 g=10m/s

12、2五、能力突破1 .質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，假設(shè)經(jīng)最高點(diǎn)不脫離轉(zhuǎn)道的臨界速度為v,那么當(dāng)小球以2V速度通過最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)壍赖膲毫Υ笮锳 . 0 B. mgC. 3mg D. 5mg2 .如圖4-3-11所示，有一小球質(zhì)量為 m,用輕繩AB和BC連接處于靜止?fàn)顟B(tài)，AB沿水平方向，BC與豎直方向成角0 .那么在剪斷AB后的瞬時(shí)球未擺動(dòng)，繩BC所受拉力與原先受的拉力的比等于A . cos2 8B . sin2 0C. 1/cos2 9D. 1/sin2 03 .細(xì)桿可繞過一端的光滑水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的另一端系一個(gè)小球，使桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).小球到達(dá)最高

13、點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力設(shè)為Fi;小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力設(shè)為 F2.關(guān)于細(xì)桿對(duì)小球的作用力 F1和F2,可能是A . Fi=0B. F2=0C. Fi和F2的方向都向上D. Fi和F2的方向都向下4 . 一質(zhì)量為m的物體，沿半徑為 R的向下凹的圓形軌道滑行，如圖 4-3-12所示，通過最低 點(diǎn)的速度為v,物體與軌道之間的動(dòng)摩榛因數(shù)為那么它在最低點(diǎn)時(shí)受到的摩榛力為A . (1 mgB. m mv2/RC. m(g+v2/R)D . m(g-v2/R)5.長為L的細(xì)桿一端拴一小球，可繞另一端在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最高點(diǎn)的速度 為v,以下講法正確的選項(xiàng)是A. v越大，球在最高點(diǎn)受到的合外

14、力越大B. v越大，球在最高點(diǎn)受到的向心力越大C. v越大，球在最高點(diǎn)對(duì)桿的作用力越大D. v至少要大小 gL6.如圖4-3-13所示，將完全相同的兩小球A, B用長L=0. 8m的細(xì)繩，懸于以 v=4m/s向由于某種緣故，小車突然停止，現(xiàn)在懸線左勻速運(yùn)動(dòng)的小車頂部，兩球的小車前后壁接觸.中張力之比Ta： Tb為g=10m/s2A. 1: 1B. 1: 2C. 1: 3D. 1 : 47 . 一小球用輕繩懸掛在某固定點(diǎn).現(xiàn)將輕繩水平拉直，然后由靜止開始開釋小球.考慮小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)到最低位置的過程.（）A.小球在水平方向的速度逐步增大8 .小球在豎直方向的速度逐步增大C.到達(dá)最低位置時(shí)小球線速度最大D .到達(dá)最低位置時(shí)繩中的拉力等于小球重力8 .如圖4-3-14所示， 在內(nèi)壁光滑的平底試管內(nèi)放一個(gè)質(zhì)量為1g的小球，試管的開口端加蓋與水平軸 O連接. 試管底與O相距5cm,試管在轉(zhuǎn)軸帶動(dòng)下沿豎直平面做勻速圓周 運(yùn)動(dòng). 求：（1）轉(zhuǎn)軸的角速度達(dá)到多大時(shí)，試管底所受壓力的最大值等于最小值的3倍.(2)轉(zhuǎn)軸的角速度滿足什么條件時(shí)，會(huì)顯現(xiàn)小球與試管底脫離接觸的情形？ g取10m/s2 .圖 4-3-149 .如圖4-3-15所示，一根跨過一固定的水平光滑細(xì)桿的輕繩，兩端各系一個(gè)小球.球 a置于地面，球b被拉到與細(xì)桿同一水平的位置