現(xiàn)代控制工程題目及解答.答案

1、1.簡述現(xiàn)代控制理論和經(jīng)典控制理論的區(qū)別.答：經(jīng)典控制理論是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種控制理論， 控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計是建立在某種近似的和試探的基礎(chǔ)上， 控制對象一般是單輸入單輸出、 線性定常系統(tǒng)；對多輸入多輸出系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)等則無能為力。主要的分析方法有頻率特性分析法、根軌跡分析法、描述函數(shù)法、相平面法、波波夫法等?？刂撇呗詢H限于反饋控制、 PID 控制等。這種控制不能實現(xiàn)最優(yōu)控制?，F(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間上的一種分析方法，它的數(shù)學(xué)模型主要是狀態(tài)方程，控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計是精確的。 控制對象可以是單輸入單輸出控制系統(tǒng)也可以是多輸入多輸出控制系統(tǒng)， 可以是線性定?？刂葡到y(tǒng)也可以是非

2、線性時變控制系統(tǒng)，可以是連續(xù)控制系統(tǒng)也可以是離散和數(shù)字控制系統(tǒng)。 主要的控制策略有極點配置、狀態(tài)反饋、輸出反饋等。現(xiàn)代控制可以得到最優(yōu)控制。2.簡述用經(jīng)典控制理論方法分析與設(shè)計控制系統(tǒng)的方法 ,并說明每一種方法的主要思想。答：1：建立數(shù)學(xué)模型 2：寫出傳遞函數(shù) 3：用時域分析和頻域分析的方法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。以及對其進行系統(tǒng)的校正和反饋。頻域響應(yīng)法、根軌跡法根軌跡法的主要思想為：通過使開環(huán)傳函數(shù)等于-1 的 s 值必須滿足系統(tǒng)的特征方程來控制開環(huán)零點和極點的變化，使系統(tǒng)的響應(yīng)滿足系統(tǒng)的性能指標。頻域響應(yīng)法的主要思想為：通過計算相位裕量、增益裕量、諧振峰值、增益交界頻率、諧振頻率、帶寬和靜態(tài)

3、誤差常數(shù)來描述瞬態(tài)響應(yīng)特性， 首先調(diào)整開環(huán)增益，以滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求； 然后畫出開環(huán)系統(tǒng)的幅值曲線和相角曲線。 如果相位裕量和增益裕量提出的性能指標不能滿足， 則改變開環(huán)傳遞函數(shù)的適當?shù)男Ｕb置便可以確定下來。 最后還需要滿足其他要求， 則在彼此不產(chǎn)生矛盾的條件下應(yīng)力圖滿足這些要求。3. 什么是傳遞函數(shù)？什么是狀態(tài)方程答：傳遞函數(shù)：在零起始條件下，線型定常系統(tǒng)輸出象函數(shù)X 0（s）與輸入象函數(shù) X i（s）之比。描述系統(tǒng)狀態(tài)變量間或狀態(tài)變量與輸入變量間關(guān)系的一個一階微分方程組 （連續(xù)系統(tǒng)）或一階差分方程組（離散系統(tǒng)）稱為狀態(tài)方程。4.什么是狀態(tài)變量？答：構(gòu)成控制系統(tǒng)狀態(tài)的變量。5. 如何從傳遞

4、函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程？答：首先選定狀態(tài)變量，然后把系統(tǒng)的 tf 轉(zhuǎn)化的微分方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式，寫出輸入、輸出、狀態(tài)變量之間的關(guān)系。具體如下：.傳遞函數(shù)為 Y （s）/U （s） =G(S) 狀態(tài)方程為 : X =Ax+Bu y=Cx+Du將傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程進行拉普拉斯變換為sX(s)-x(0)=A X(s)+BU(s)Y(s)=CX(s)+DU(s), 又因為傳遞函數(shù)為在零初始條件下定義的,故sX(s)=A X(s)+BU(s)即 G(S)=C(sI-A) -1B+D 這樣就通過狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)聯(lián)系了起來。6 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式經(jīng)非奇異線性變換后，系統(tǒng)有哪些特性保持不變？答：對系統(tǒng)

5、進行線型非奇異變換并不會改變系統(tǒng)原有的性質(zhì)如行列式相同、秩相同、特征多項式相同、特征值相同，傳遞函數(shù)、可控性、可觀性不變能對該系統(tǒng)的時域行為表達同樣的信息。7.什么是可控性的概念？可控標準型的矩陣形式是什么？系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是什么？答：如果在一個有限的時間隔內(nèi)施加一個無約束的控制向量， 使得系統(tǒng)由初始狀態(tài) x(to)轉(zhuǎn)移到任一狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)在時刻 to 是能控的。如果系統(tǒng)是狀態(tài)能控的，那么 給定 任一 初始 狀態(tài)x(0) ，都應(yīng)滿足式n1x( 0)A k B kk001。這就要求 n×n 維矩陣 BABA n 1Bn1Q BABAn 1B的秩為 n。由此分析，可將狀態(tài)能控

6、性的代數(shù)判據(jù)歸納為：當且僅當n×n 維矩陣 Q 滿秩，即rankQ rank B ABAn 1 Bn時，由式 考慮線性連續(xù)時間系統(tǒng) ： x(t)Ax(t)Bu (t)其中， x(t) R n ,u(t ) R1 , A R n n , BR n 1 （單輸入），且初始條件為 x(t)t 0x(0) 。確定的系統(tǒng)才是狀態(tài)能控的。下列狀態(tài)空間表達式為能控標準形：x10100x10x20010x20u(1.3)xn 10001xn 10nanan 1an 2a1xn1xx1x2y bnan bobn 1an 1 bob1a1bo b0uxn8.什么是可觀測性的概念？寫出可觀測標準型矩陣形式

7、。xAx答：Cxy顯然，如果系統(tǒng)是能觀測的，那么在0tt1 時間間隔內(nèi)，給定輸出 y(t)，就可由式 y(t)0 (t)Cx(0) 1 (t)CAx (0)n 1 (t)CAn 1 x(0) 唯一地確定出 x(0)?？梢宰C明，這就要求nm×n 維能觀測性矩陣CCARCAn 1的秩為 n。由上述分析， 我們可將能觀測的充要條件表述為：由式考慮零輸入時的狀態(tài)空間表達式xAx(3.13)yCx(3.14)式中， xR n , yR m , ARn n ,CR m n 。所描述的線性定常系統(tǒng)，當且僅當n×nm 維能觀測性矩陣RT CTTCTT n 1TA（A） C的秩為 n，即 r

8、ankR Tn 時，該系統(tǒng)才是能觀測的。如果系統(tǒng)的狀態(tài) x(to)在有限的時間間隔內(nèi)可由輸出的觀測值確定， 那么稱系統(tǒng)在時刻 to 是能觀測的。下列狀態(tài)空間表達式為能觀測標準形：x1000a nx1x2100a n 1x2bnan bobn 1an 1 bou(1.5)b1a1boxn001a1xnx1x2y0001bo u(1.6)xn 1xn注意，式（ 1.5）給出的狀態(tài)方程中 n×n 維系統(tǒng)矩陣是式（ 1.3）所給出的相應(yīng)矩陣的轉(zhuǎn)置。9. 控制系統(tǒng)狀態(tài)可觀測條件是什么？答：系統(tǒng)能觀測的充要條件為： （1） S 1 AS J J 中沒有兩個 Jordan 塊與同一特征值有關(guān)；（

9、2）與每個 Jordan 塊的第一行相對應(yīng)的矩陣 CS 列中，沒有一列元素全為零；（3）與相異特征值對應(yīng)的矩陣 CS 列中，沒有一列包含的元素全為零。10.極點配置的主要思想是什么？極點配置的算法1 的主要設(shè)計步驟。答：首先假定期望閉環(huán)極點為 s =1， s =2, ，s =n。我們將證明，如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能控的， 則可通過選取一個合適的狀態(tài)反饋增益矩陣 K，利用狀態(tài)反饋方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任意的期望位置。第 1 步：考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。第 2 步：利用系統(tǒng)矩陣 A 的特征多項式det(sI A) sI A sna1 sn 1an 1s

10、an確定出 a1 ,a2 , an 的值。第 3 步：確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標準形的變換矩陣P。若給定的狀態(tài)方程已是能控標準形，那么P = I。此時無需再寫出系統(tǒng)的能控標準形狀態(tài)方程。非奇異線性變換矩陣P可由PQW 式給出，即式中 Q、W 由Q BABAn 1B (4.5)an1an2a11an2an310W(4.6)a11001000式中 ai 為如下特征多項式的系數(shù)。sI A sna1sn 1an 1 s an定義。第 4 步：利用給定的期望閉環(huán)極點，可寫出期望的特征多項式為（ s1（) s2 ) （ sn )sna1 sn 1an 1 san并確定出 a1 , a2 , an 的值

11、。第 5 步：此時的狀態(tài)反饋增益矩陣K 為K an an an 1 an 1a2 a2 a1 a1 P 111. 單輸入 -單輸出系統(tǒng)能否通過輸出反饋實現(xiàn)極點的任意配置？為什么？答：能。因為單輸入單輸出系統(tǒng)rB=1, 完全可控。12.什么是愛克曼公式？答：對任一正整數(shù) n，有An1B1K 0 001BAB(A)其中( A)*2)*2B( a2 Ka1 KAKAAB(a1 KKA)A BK*2a2 Ka1 KAKABABA2B *Ka1KAK為用于確定狀態(tài)反饋增益矩陣K 的愛克曼方程。13.控制系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的作用是什么？極點配置方法時， 曾假設(shè)所有的狀態(tài)變量均可有效地用于反饋。 但在實際情況中

12、，并非所有的狀態(tài)度變量都可用于反饋。這時需要估計不可量測的狀態(tài)變量。需特別強調(diào)，應(yīng)避免將一個狀態(tài)變量微分產(chǎn)生另一個狀態(tài)變量， 因為噪聲通常比控制信號變化更迅速， 所以信號的微分總是減小了信噪比。 有時一個純微分環(huán)節(jié)可使信噪比減小數(shù)倍。迄今已有多種無需使用微分來估計不能量測狀態(tài)的方法。對不能量測狀態(tài)變量的估計通常稱為觀測。 估計或者觀測狀態(tài)變量的動態(tài)系統(tǒng)稱為狀態(tài)觀測器，或簡稱觀測器。估計或者觀測狀態(tài)變量的動態(tài)系統(tǒng)稱為狀態(tài)觀測器，或簡稱觀測器。14. 什么是全階狀態(tài)觀測器？全階狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法。如果狀態(tài)觀測器能觀測到系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量，不管其是否能直接量測，這種狀態(tài)觀測器均稱為全維狀態(tài)觀測器。

13、15。什么是最小階狀態(tài)觀測器？最小狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法。估計小于 n 個狀態(tài)變量（ n 為狀態(tài)向量的維數(shù)）的觀測器稱為降維狀態(tài)觀測器，或簡稱降價觀測器。 如果降維狀態(tài)觀測器的階數(shù)是最小的， 則稱該觀測器為最小階狀態(tài)觀測器或最小階觀測器。 本節(jié)將討論全維狀態(tài)觀測器和最小階狀態(tài)觀測器。16.什么是調(diào)節(jié)器系統(tǒng)？什么是伺服系統(tǒng)？采用極點配置的狀態(tài)反饋方法來設(shè)計控制器的系統(tǒng)為調(diào)節(jié)器系統(tǒng)。在給定的初始條件 e（ 0 ）設(shè)計一個漸近穩(wěn)定的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，使得 e （ t）趨于 0 的系統(tǒng)為伺服系統(tǒng)17. I 型伺服系統(tǒng)如何設(shè)計？零型伺服系統(tǒng)如何設(shè)計？I 型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計轉(zhuǎn)化為：對于給定的任意初始條件 e(0

14、), 設(shè)計一個漸近穩(wěn)定的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，使得 e( t ）趨于零。如果由 x Ax Bu 確定的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則對矩陣 A-BK，通過指定的期望特征值 1， 2， , n，可由極點配置方法來確定線性反饋增益矩陣 K。x( t ) 和 u( t )的 穩(wěn) 態(tài) 值 求 法 為 ： 在 穩(wěn) 態(tài) （ t）時，由式x Ax Bu( ABK ) x Bk1r 可得x( ) 0 ( A BK )x( ) Bk1r由于A-BK的期望特征值均在s的左半平面，所以矩陣的逆存在。從而，x( ) 可A-BK確定為同樣， u(x( )( A BK ) 1 Bk1r) 可求得為u()Kx ( ) k1 r0如果被控系

15、統(tǒng)中沒有積分器（0 型被控系統(tǒng)），則設(shè)計I 型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的基本原則是在誤差比較器和系統(tǒng)間的前饋通道中插入一個積分器。18 什么是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)？考慮如下非線性系統(tǒng)式中 x 為 n 維狀態(tài)向量，x f ( x,t )(5.1)f ( x, t)是變量 x ,x , ,x和 t 的 n 維向量函數(shù)。假設(shè)在1 2n給定的初始條件下，式 (5.1）有唯一解(t; x0 ,t 0 ) 。當 t =to 時， xx0 。于是(t 0 ; x0 ,t 0 )x0在式 (5.1）的系統(tǒng)中，總存在f ( xe ,t ) 0 , 對所有 t(5.2)則稱 xe 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點。19. 什么是李雅普諾夫

16、意義下的穩(wěn)定？設(shè)系統(tǒng)x f ( x, t) ， f ( xe , t )0之平衡狀態(tài) xe0的 H 鄰域為xxeH其中， H 0，為向量的 2 范數(shù)或歐幾里德范數(shù)，即x x( xx) 2(x2x2 e) 2( xnxne)2 1/2e11e類似地，也可以相應(yīng)定義球域S(）和 S( ）。在 H 鄰域內(nèi)，若對于任意給定的 0H ，均有如果對應(yīng)于每一個 S( ），存在一個 S(），使得當 t 趨于無窮時，始于 S( )的軌跡不脫離 S( ），則式 xf (x,t ) 系統(tǒng)之平衡狀態(tài) xe0 稱為在 Lyapunov 意義下是穩(wěn)定的。20，什么是漸進穩(wěn)定和大范圍漸進穩(wěn)定？如果平衡狀態(tài) xe0，在 Ly

17、apunov 意義下是穩(wěn)定的，并且始于域 S(）的任一條軌跡，當時間 t 趨于無窮時，都不脫離 S( ），且收斂于xe0 ，則稱式(5.1）系統(tǒng)之平衡狀態(tài) xe0 為漸近穩(wěn)定的， 其中球域 S( ）被稱為平衡狀態(tài) xe0 的吸引域。對所有的狀態(tài)（狀態(tài)空間中的所有點） ，如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定性，則平衡狀態(tài) xe 0 稱為大范圍漸近穩(wěn)定。或者說，如果式 (5.1）系統(tǒng)之平衡狀態(tài) xe0 漸近穩(wěn)定的吸引域為整個狀態(tài)空間，則稱此時系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe 0 為大范圍漸近穩(wěn)定的。顯然，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)。21。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理1，定理 2，定理

18、3。定理 5.1 (Lyapunov, 皮爾希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基) 考慮如下非線性系統(tǒng)x(t )f ( x(t), t )式中f ( 0, t )0 , 對所有 tt 0如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)V ( x, t) ，且滿足以下條件：1、 V (x, t) 正定；2、 V (x, t) 負定則在原點處的平衡狀態(tài)是（一致）漸近穩(wěn)定的。進一步地，若 x， V (x,t )，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。定理5.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛 ) 考慮如下非線性系統(tǒng)x(t )f ( x(t), t )式中f ( 0, t )0 , 對所有 tt 0若存在具有連續(xù)一階

19、偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)V ( x, t ) ，且滿足以下條件：1、V (x, t ) 是正定的；2、 V( x, t) 是負半定的；3、 V (t; x0 , t0 ),t 對于任意t 0 和任意x00 ，在tt0 時，不恒等于零，其中的(t; x0 ,t 0 ) 表示在t0 時從x0 出發(fā)的軌跡或解。則在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理 5.3 (Lyapunov) 考慮如下非線性系統(tǒng)x(t )f ( x(t), t )式中f ( 0, t )0 , 對所有 tt 0若存在一個純量函數(shù)W ( x, t) ，具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件：1、 W ( x, t) 在原點附近的某一

20、鄰域內(nèi)是正定的；2、 W ( x, t ) 在同樣的鄰域內(nèi)是正定的。則原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。22.用李雅普諾夫第二法解決參數(shù)優(yōu)化的主要思想方法是什么？xAx式中， A 的所有特征值均具有負實部，即原點x0 是漸近穩(wěn)定的（稱矩陣穩(wěn)定矩陣）。假設(shè)矩陣 A 包括一個（或幾個）可調(diào)參數(shù)。要求下列性能指標A 為JxH Qxdt0達到極小，式中 Q 為正定（或正半定） Hermite 或?qū)崒ΨQ矩陣。因而該問題變?yōu)榇_定幾個可調(diào)參數(shù)值，使得性能指標達到極小。假設(shè) x H Qxd ( xH Px )因此可得dtx H QxxH Px x H Pxx H AH Px x H PAxx H ( AH PPA)

21、 x根據(jù) Lyapunov 第二法可知，如果 A 是穩(wěn)定矩陣，則對給定的Q，必存在一個 P，使得AHP PAQ可由該方程確定 P 的各元素。23、什么是黎卡提方程，如何推導(dǎo)利卡提方程？答案：黎卡提方程：AH PPAPBR 1BH PQ 0主要推導(dǎo)步驟： xAx BKx( A BK )xJ0(x H QxxH K H RKx) dt0xH (QK H RK )xdt取 x H (QK H RK ) xd ( xH Px)dt于是x H (Q K H RK ) xxH Px x H Pxx H ( A BK ) H P P( A BK ) x比較上式兩端，并注意到方程對任意x 均應(yīng)成立，這就要求(

22、ABK)HPP(ABK)(QKHRK)令RTHT則(AHKHBH)PP(ABK)QKHTHTK0上式也可寫為AHPPATK(TH) 1BHPH TK(TH) 1BHPPBR 1BHPQ0求 J 對 K 的極小值，即求下式對K 的極小值x H TK(T H ) 1 B H P H TK(T H ) 1 B H P x由于上面的表達式不為負值，所以只有當其為零，即當TK(TH) 1BHP退化方程 AH PPAPBR 1BH PQ024 二次型最優(yōu)化設(shè)計的步驟。答案： 1、求解退化矩陣黎卡提式，以求出矩陣 P。如果存在正定矩陣 P（某些系統(tǒng)可能沒有正定矩陣 P），那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即矩陣A BK 是

23、穩(wěn)定矩陣。2、將矩陣 P 代入式 TK (T H ) 1 B H P ，求得的矩陣 K 就是最優(yōu)矩陣。25已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)型和可觀測標準型。Y ( s )S6，導(dǎo)出其狀態(tài)空間方程的可控標準U ( s )s 25 s 6能控標準形為：x1 (t )01x1( t)0x2 (t )65 x2 (t)u(t )1y(t ) 61x1 (t )x2 (t)能觀測標準形為：x1 (t)06x1 (t)6x2 (t )15x2 (t)u(t )1y(t) 0x1 (t)1x2 (t)26. 已知控制系統(tǒng) y 6 y 11y 6y 6u ，寫出其狀態(tài)方程的對角標準型。為對角標準Y ( s)s36s26U (

24、 s)11s 66(s1)( s2)( s3)363s1s2s3其對角標準型為x1100x11x1x202x21 uy 3 6 3 x2xn003x31x327. 已知受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為1s24s6（ 1）設(shè)計一個全維觀測器重構(gòu)狀態(tài)，使觀測器極點為-8 和-8。（ 2）采用狀態(tài)反饋，使閉環(huán)極點配置在 -6 和-8解：(1) 由傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)能控且能觀，因而存在狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器，可以根據(jù)分離性原理進行分別設(shè)計。由傳遞函數(shù)，寫出能觀標準 II 型為x0- 61u1x0- 4y01 x(2) 求全維觀測器令 G=g1g2TAGC06g10106g1閉環(huán)特征多項式為14g214g2f ()de

25、t I( AGC )det6g12( 4g2 ) 6g112 g2與期望特征多項式f * ()(8)(8)216 64比較得G5812?x ( AGC )x Gy bu全維觀測器方程為064?581u116xy120(3) 求狀態(tài)反饋陣 K 。直接寫出系統(tǒng)的能觀標準 II 型實現(xiàn)為。令 K=k1 k2, 得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣 AbK061k2k1 k2614k1140閉環(huán)特征多項式為f ( ) det I ( AbK )detk1k262( 4k1 ) ( 4k1k2 6 )14與期望特征多項式f * ( )(6)(8)214 48比較得K=-10 -228. 判斷下列二次函數(shù)的定號性：(a)Qx1

26、24x22x322x1x2 6x2 x3 x1 x3(b)Qx1234 x22 11x322x1 x2 4x2 x3 2x1 x3110.5110.5(a) A0,0.531140.531因此（ a）函數(shù)的符號不能確定11111111111（ b） B=-B =134210,0,134201342134121112111211所以 -B 正定，因此 B 負定29. 已知非線性控制系統(tǒng)x1x1x2x1 ( x12x22 )x2x1x2x2 ( x1 2x2 2 )試判斷在原點處平衡的穩(wěn)定性。解：由系統(tǒng)平衡狀態(tài)方程22-x1+x2+x1(x1 +x2 )=0-x1-x2-x 2(x12+x22)=0解出唯一的平衡狀態(tài) xe=0,即狀態(tài)空間原點是其唯一平衡狀態(tài)。如果定義一個正定純量函數(shù)V ( x)V ( x) x12x22.v( x) 2 x1 x1 2x2 x2將系統(tǒng)狀態(tài)方程代入上式并整理得：.V ( x)2( x12x221)( x12x22 )22因此當 x1 +x 2 -1<=0 時，在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的22當 x1 +x 2 -1>0 時 , 在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的30 Try to find the Liapunov function of the following sy