涂色問題的解題思路2

1、.解決排列組合中涂色問題的常見方法及策略與涂色問題有關的試題新穎有趣,其中包含著豐富的數學思想。解決涂色問題方法技巧性強且靈活多變，故這類問題的利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發(fā)學生的智力。本文擬總結涂色問題的常見類型及求解方法。一、區(qū)域涂色問題1、 根據分步計數原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。例 1、 用 5 種不同的顏色給圖中標、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？分析：先給號區(qū)域涂色有5 種方法，再給號涂色有4 種方法，接著給號涂色方法有3 種，由于號與、不相鄰，因此號有4 種涂法，根據分步計

2、數原理，不同的涂色方法有543 42402、 根據共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種情形的種數，再用加法原理求出不同的涂色方法種數。例 2、（ 2003 江蘇卷）四種不同的顏色涂在如圖所示的分析：依題意只能選用 4 種顏色，要分四類：（ 1）與同色、與同色，則有A44；6 個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不能同色。（ 2）與同色、與同色，則有A44 ；（ 3）與同色、與同色，則有A44 ；（ 4）與同色、與同色，則有A44；（ 5）與同色、與同色，則有A44；所以根據加法原理得涂色方法總數為5 A44=120例 3、（ 2003 年全國高考題）如圖所示，一個地區(qū)分為5 個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，

3、要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4 種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？分析：依題意至少要用3 種顏色1)當先用三種顏色時，區(qū)域2 與 4 必須同色，22)區(qū)域 3 與 5 必須同色，故有A43 種；3153)當用四種顏色時，若區(qū)域2與 4同色，44)則區(qū)域3 與 5 不同色，有 A44種；若區(qū)域3 與 5 同色，則區(qū)域2 與 4 不同色，有 A44種，故用四種顏色時共有2 A44 種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有A43+2 A44=24+2 24=723、 根據某兩個不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計算出兩種情形的種數，再用加法原理求出不同

4、涂色方法總數。例 4 用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個區(qū)域內，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？分析：可把問題分為三類：21.34.（ 1） 四格涂不同的顏色，方法種數為A54 ；（ 2） 有且僅兩個區(qū)域相同的顏色，即只有一組對角小方格涂相同的顏色，涂法種數為2C51 A42 ；5) 兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數為A52，因此，所求的涂法種數為 A522C51 A42A522604、 根據相間區(qū)使用顏色的種類分類例 5 如圖，6 個扇形區(qū)域A 、 B 、 C、 D、 E、 F，現(xiàn)給這6 個區(qū)域著色，要求同一區(qū)

5、域涂同一種顏色，相鄰的兩個區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4 種不同的顏色可A1 解（ 1）當相間區(qū)域 A 、C、E 著同一種顏色時，CBD有 4 種著色方法，此時，B 、 D、 F 各有 3 種著色方法，A此時， B 、 D、 F 各有 3 種著色方法故有 43 3 3108E種方法。F（ 2）當相間區(qū)域 A 、C、E 著色兩不同的顏色時，有C32 A42種著色方法，此時 B 、D 、F 有 3 2 2 種著色方法，故共有C32 A423 22432種著色方法。（ 3）當相間區(qū)域 A 、 C、E 著三種不同的顏色時有A43 種著色方法，此時B、D、F 各有 2 種著色方法。此時共有 A432 2

6、2 192 種方法。故總計有 108+432+192=732 種方法。說明：關于扇形區(qū)域區(qū)域涂色問題還可以用數列中的遞推公來解決。如：如圖，把一個圓分成n(n2) 個扇形，每個扇形用紅、白、藍、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？A1 A2解：設分成 n 個扇形時染色方法為an 種A3當 n=2 時 A1 、 A2 有 A42AnA3（ 1）=12 種，即 a2 =12LA4（ 2）當分成 n 個扇形，如圖，A1 與 A2 不同色， A2 與 A3不同色， L ， An 1與 An 不同色，共有 4 3n 1 種染色方法，但由于 An 與 A1 鄰，所以應排除 An 與 A1

7、同色的情形； An 與 A1同色時，可把 An 、 A1 看成一個扇形，與前 n2 個扇形加在一起為 n1個扇形，此時有 an 1 種染色法，故有如下遞推關系：an 43n 1an 1anan 14 3n 1( an 24 3n 2 ) 4 3n 1.an 24 3n 24 3n 1an 3 4 3n 34 3n 24 3n 1L4 3n 1 3n 2 L( 1)n 3( 1)n33n二、點的涂色問題方法有：（ 1）可根據共用了多少種顏色分類討論， （ 2）根據相對頂點是否同色分類討論， （ 3）將空間問題平面化，轉化成區(qū)域涂色問題。例 6、將一個四棱錐SABCD 的每個頂點染上一種顏色，并使

8、同一條棱的兩端點異色，如果只有5 種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是多少？解法一：滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。（ 1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A 、 B、 C、 D 四點，此時只能A 與 C、 B 與 D 分別同色，故有C51 A4260 種方法。（ 2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A 與 B ，由于 A、 B 顏色可以交換，故有 A42種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染 D 或 C，而 D 與 C，而 D 與 C 中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有C

9、51 A42C21C21240 種方法。（ 3）若恰用五種顏色染色，有A55120種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數為60+240+120=420 種。解法二：設想染色按 S A B C D 的順序進行，對S、A、B 染色，有5 43 60 種染色方法。由于 C 點的顏色可能與 A 同色或不同色，這影響到D 點顏色的選取方法數，故分類討論：C 與 A 同色時（此時 C 對顏色的選取方法唯一） ，D 應與 A（ C）、 S 不同色，有3種選擇； C與A 不同色時， C 有 2 種選擇的顏色， D 也有 2 種顏色可供選擇，從而對C、D 染色有 1 322 7 種染色方法。由乘法原理，總的染色

10、方法是 60 7 420解法三：可把這個問題轉化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，對這五個區(qū)域用5 種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？D解答略。AS三、線段涂色問題C對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：B1)根據共用了多少顏色分類討論2)根據相對線段是否同色分類討論。例 7、用紅、黃、藍、白四種顏色涂矩形ABCD 的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一：（ 1）使用四顏色共有A44 種（ 2）使用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色，故有C14C21 A32 種，（ 3）使用二種顏色時，則兩組對邊必須分別同

11、色，有A42 種因此，所求的染色方法數為A44C41C21 A32A4284 種.解法二：涂色按AB BC CDDA 的順序進行，對AB 、 BC 涂色有 4312 種涂色方法。由于 CD 的顏色可能與AB 同色或不同色，這影響到DA 顏色的選取方法數，故分類討論：當 CD 與 AB 同色時，這時CD 對顏色的選取方法唯一，則DA 有 3 種顏色可供選擇CD 與AB 不同色時， CD 有兩種可供選擇的顏色，DA 也有兩種可供選擇的顏色，從而對CD 、 DA 涂色有1 3227種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數為12784種例 8、用六種顏色給正四面體ABCD 的每條棱染色，要求每條棱只染一

12、種顏色且共頂點的棱涂不同的顏色，問有多少種不同的涂色方法？解：（ 1）若恰用三種顏色涂色，則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有 A63 種方法。（ 2）若恰用四種顏色涂色，則三組對棱中有二組對棱的組內對棱涂同色，但組與組之間不同色，故有C63 A64 種方法。（3）若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有C31 A65 種方法。（4）若恰用六種顏色涂色，則有A66種不同的方法。綜上，滿足題意的總的染色方法數為A63C32 A64C31 A65A664080種。四、面涂色問題例 9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的 6 個面涂色，每兩個具有

13、公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要3 三種顏色，由于有多種不同情況，仍應考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進行討論解：根據共用多少種不同的顏色分類討論（ 1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5 種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余 4 種顏色中的某一種所涂面為左側面，則其余 3 個面有 3！種涂色方案，根據乘法原理n153!30（ 2）共用五種顏色，選定五種顏色有C 656種方法，必有兩面同色（必為相對面），確定為上、下底面，其顏色可有5 種選擇， 再確定一種顏色為左側面，此時的方法數取決于右側面的顏色，有3 種選擇（前后面可通過翻轉交換）n2C 655390(3)共用四種顏色,仿上分析可得n3C 64 C 4290(4)共用三種顏色, n4C 6320例 10、四棱錐 PABCD ，用 4 種不同的顏色涂在四棱錐的各個面上，要求相鄰不同色，有