直線與平面、平面與平面平行的判定(附答案)

1、.直線與平面、平面與平面平行的判定 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的含義.2.會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、 符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用 .3.能運(yùn)用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題 .知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的判定定理語(yǔ)言敘述符號(hào)表示圖形表示a?平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平b? ? a 行，則該直線與此平面平行ab思考若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個(gè)平面平行嗎？答根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤.知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行的判定定理語(yǔ)言敘述符

2、號(hào)表示圖形表示一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平a? ，b? a b A? 面平行，則這兩個(gè)平面平行a ， b思考如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線與另一個(gè)平面也平行嗎？答不一定 .這條直線與另一個(gè)平面平行或在另一個(gè)平面內(nèi).題型一直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用例 1 如圖，空間四邊形 ABCD 中， E、 F、 G、H 分別是 AB 、BC、 CD 、 DA 的中點(diǎn) .求證： (1)EH 平面 BCD ；(2) BD平面 EFGH .證明(1) EH 為 ABD 的中位線，EHBD.EH ?平面 BCD， BD? 平面 BCD ，EH 平面 BCD.(2) BDEH ，BD

3、?平面 EFGH ，EH ? 平面 EFGH ，BD 平面 EFGH .跟蹤訓(xùn)練1在四面體A BCD 中， M， N 分別是 ABD 和 BCD 的重心，求證：MN平面 ADC.證明如圖所示，連接BM ， BN 并延長(zhǎng)，分別交AD， DC 于 P，Q 兩點(diǎn)，連接 PQ .因?yàn)?M， N 分別是 ABD 和 BCD 的重心，所以 BM MP BN NQ 2 1.所以 MN PQ.又因?yàn)?MN?平面 ADC， PQ? 平面 ADC ，所以 MN 平面 ADC .題型二面面平行判定定理的應(yīng)用例 2如圖所示，在三棱柱ABC A1B1C1 中，點(diǎn) D ， E 分別是 BC 與 B1C1 的中點(diǎn) .求證：

4、平面 A1EB平面 ADC1.證明由棱柱性質(zhì)知，B1C1 BC， B1C1 BC，又 D ，E 分別為 BC， B1C1 的中點(diǎn)，所以 C1E 綊 DB ，則四邊形C1DBE 為平行四邊形，因此 EB C1D，又 C1D ? 平面 ADC 1，EB?平面 ADC 1，所以 EB 平面 ADC1.連接 DE，同理， EB1 綊 BD ，.所以四邊形EDBB 1 為平行四邊形，則ED 綊 B1B.因?yàn)?B1B A1A， B1B A1A( 棱柱的性質(zhì) )，所以 ED 綊 A1A，則四邊形EDAA 1 為平行四邊形，所以 A1E AD，又 A1E?平面 ADC1， AD? 平面 ADC 1，所以 A1

5、E 平面 ADC 1.由 A1E平面 ADC 1，EB 平面 ADC 1，A1E? 平面 A1EB，EB? 平面 A1EB，且 A1EEB E，所以平面 A1EB 平面 ADC 1.跟蹤訓(xùn)練2已知 ABCD A1B1C1D1 是棱長(zhǎng)為3 的正方體，點(diǎn)E 在 AA1 上，點(diǎn) F 在 CC1 上，點(diǎn) G 在 BB 1 上，且 AE FC1 B1 G 1，H 是 B1C1 的中點(diǎn) .求證： (1)E， B， F，D1 四點(diǎn)共面；(2) 平面 A1GH 平面 BED 1F .證明(1) AE B1G 1， BG A1E2.又 BG A1E， 四邊形 A1EBG 是平行四邊形，A1GBE .連接 FG.

6、 C1F B1G， C1F B1G，四邊形 C1FGB 1 是平行四邊形，F(xiàn)G C1B1 D1A1， FG C1B1 D1A1，四邊形 A1GFD 1 是平行四邊形，A1GD 1F， D 1F EB.故 E， B，F(xiàn)，D1 四點(diǎn)共面 .3(2) H 是 B1C1 的中點(diǎn)， B1 H 2.B1G2又 B1G 1， B1H 3.FC2又 BC3，且 FCB GB1H 90°， B1HG CBF ， B1GH CFB FBG， HG FB.又由 (1)知， A1G BE，且 HG A1G G，F(xiàn)B BEB，平面 A1GH 平面 BED1F.題型三線面平行、面面平行判定定理的綜合應(yīng)用例 3在

7、正方體 ABCD A1B1C1D1 中， O 為底面 ABCD 的中心， P 是 DD 1 的中點(diǎn)，設(shè) Q 是CC1 上的點(diǎn) .問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q 在什么位置時(shí)，平面D1BQ平面 PAO？請(qǐng)說(shuō)明理由.解當(dāng) Q 為 CC1 的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ 平面 PAO.理由如下：連接 PQ. Q 為 CC1 的中點(diǎn)， P 為 DD 1 的中點(diǎn)，PQ DC AB， PQDC AB，四邊形 ABQP 是平行四邊形， QBPA.又 O 為 DB 的中點(diǎn)， D1B PO.又 PO PA P， D1B QB B，平面 D1BQ 平面 PAO.跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，三棱柱ABC A1B1C1 的底面為正三角形，側(cè)棱A1A底面

8、 ABC， E， F分別是棱 CC1， BB1 上的點(diǎn)， EC 2FB.M 是線段 AC 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M 在何位置時(shí)， BM平面 AEF ？請(qǐng)說(shuō)明理由 .解當(dāng) M 為 AC 中點(diǎn)時(shí)， BM 平面 AEF.理由如下：方法一如圖 1，取 AE 的中點(diǎn) O，連接 OF， OM .O， M 分別是 AE， AC 的中點(diǎn)，1OM EC， OM 2EC.又 BF CE， EC 2FB， OM BF， OM BF，四邊形 OMBF 為平行四邊形，BM OF.又 OF? 面 AEF， BM ? 面 AEF，BM 平面 AEF.方法二如圖 2，取 EC 的中點(diǎn) P，連接 PM ， PB.PM 是 ACE 的中

9、位線，PM AE.EC 2FB 2PE， CC1 BB1， PE BF， PE BF，四邊形 BPEF 是平行四邊形， PB EF.又 PM?平面 AEF ， PB? 平面 AEF ，PM 平面 AEF， PB 平面 AEF.又 PM PB P， 平面 PBM 平面 AEF.又 BM? 面 PBM ，BM 平面 AEF.面面平行的判定例 4 已知在正方體 ABCD A B C D 中， M，N 分別是 A D， AB的中點(diǎn)，在該正方體中是否存在過(guò)頂點(diǎn)且與平面 AMN 平行的平面？若存在，試作出該平面，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .分析 根據(jù)題意畫(huà)出正方體，根據(jù)平面 AMN 的特點(diǎn)，試

10、著在正方體中找出幾條平行于該平面的直線，然后作出判斷，并證明 .解如圖，與平面AMN 平行的平面有以下三種情況：下面以圖 為例進(jìn)行證明.如圖 ，取 B C 的中點(diǎn) E，連接 BD ， BE， DE ，ME ， B D ，可知四邊形ABEM 是平行四邊形，所以 BE AM .又因?yàn)?BE? 平面 BDE ， AM? 平面 BDE，所以 AM平面 BDE .因?yàn)?MN 是 AB D 的中位線，所以 MN B D .因?yàn)樗倪呅蜝DD B 是平行四邊形，所以 BD B D .所以 MN BD.又因?yàn)?BD ? 平面 BDE ，MN? 平面 BDE ，所以 MN 平面 BDE .又因?yàn)?AM ? 平面

11、AMN ，MN? 平面 AMN ，且 AM MNM，所以由平面與平面平行的判定定理可得，平面AMN 平面 BDE .1.過(guò)直線 l 外兩點(diǎn)，作與l 平行的平面，則這樣的平面()A. 不可能作出B. 只能作出一個(gè)C.能作出無(wú)數(shù)個(gè)D. 上述三種情況都存在2.經(jīng)過(guò)平面外兩點(diǎn)，作與平行的平面，則這樣的平面可以作()A.1 個(gè)或 2個(gè)B.0 個(gè)或 1個(gè)C.1 個(gè)D.0 個(gè).3.若線段 AB，BC， CD 不共面， M， N， P 分別為線段 AB， BC， CD 的中點(diǎn)，則直線BD 與平面 MNP 的位置關(guān)系是 ()A. 平行B. 直線在平面內(nèi)C.相交D. 以上均有可能4.在正方體 EFGH E1F 1

12、G1H1 中，下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)是()A.平面 E FG與平面 EGH1B.平面 FHG1與平面 FHG1111C.平面 F H H 與平面 FHE1D.平面 E HG1與平面 EHG11115.梯形 ABCD 中， AB CD ， AB? 平面 ， CD?平面 ，則直線CD 與平面 的位置關(guān)系是_.一、選擇題1.下列說(shuō)法正確的是()若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.A. B

13、.C.D. 2.平面 與平面 平行的條件可以是()A. 內(nèi)有無(wú)窮多條直線與平行B.直線 a ， a ，且直線a 不在 與 內(nèi)C.直線 a? ，直線 b? ，且 b ， a D.內(nèi)的任何直線都與平行3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有()A.2 對(duì)B.3 對(duì)C.4 對(duì)D.5 對(duì)4.如果直線a 平行于平面，那么下列命題正確的是()A. 平面 內(nèi)有且只有一條直線與a 平行B. 平面 內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a 平行.C.平面 內(nèi)不存在與 a 平行的直線D. 平面 內(nèi)的任意直線與直線 a 都平行5.在空間四邊形 ABCD 中， E，F(xiàn) 分別為 AB， AD 上的點(diǎn)，且 AE EB AF FD 1 4，又H

14、， G 分別為 BC， CD 的中點(diǎn)，則 ()A. BD 平面 EFG ，且四邊形 EFGH 是平行四邊形B.EF 平面 BCD ，且四邊形 EFGH 是梯形C.HG 平面 ABD ，且四邊形 EFGH 是平行四邊形D.EH 平面 ADC ，且四邊形 EFGH 是梯形6.平面 內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等且不為零，則與 的位置關(guān)系為 ()A. 平行B.相交C.平行或相交D. 可能重合7.已知直線 l， m，平面 ， ，下列命題正確的是 ()A. l ， l? ? B. l ， m ， l?， m? ? C.l m，l? ，m? ? D.l ， m ， l? ， m? ， l m M? 二、

15、填空題8.三棱錐 SABC 中， G 為 ABC 的重心， E 在棱 SA 上，且 AE2ES，則 EG 與平面 SBC 的關(guān)系為 _.9.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖.在這個(gè)正方體中，BM 平面 DE ； CN平面 AF ；平面 BDM 平面AFN；平面BDE 平面 NCF .以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_.10.右圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD 為正方形，E，F(xiàn)， G， H 分別為 PA，PD ， PC， PB 的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面五個(gè)結(jié)論：平面 EFGH 平面 ABCD ； PA平面 BDG ； EF 平面 PBC； FH 平面 BDG；EF 平面 BDG；其中正

16、確結(jié)論的序號(hào)是 _.三、解答題11.如圖，在已知四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形， 點(diǎn) M，N，Q 分別在 PA， BD ，PD 上，且 PM MA BN ND PQ QD.求證：平面 MNQ 平面 PBC .12.如圖，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中，M 是棱 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 在側(cè)面 AA1D1D 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) N 滿足什么條件時(shí)，MN 平面 BB1D 1D?當(dāng)堂檢測(cè)答案1.答案D解析設(shè)直線外兩點(diǎn)為A、B，若直線 AB l，則過(guò) A、B 可作無(wú)數(shù)個(gè)平面與l 平行；若直線AB 與 l 異面，則只能作一個(gè)平面與l 平行；若直線AB 與 l 相交，則過(guò)A、 B

17、沒(méi)有平面與l平行 .2.答案B解析 當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線與平面平行時(shí)，可作出一個(gè)平面使 .當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線與平面相交時(shí)， 由于作出的平面又至少有一個(gè)公共點(diǎn)，故經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的平面都與平面相交，不能作出與平面平行的平面 .故滿足條件的平面有0 個(gè)或 1 個(gè).3.答案A解析連接 NP，因?yàn)?N、P 分別是 BC、CD 的中點(diǎn)， M 是 AB 的中點(diǎn)， AB 、BC、 CD 不共面，所以直線BD 不在平面MNP 上 . 直線 BD 與平面 MNP 平行 .4.答案A解析如圖， EG E1G1，EG?平面 E1FG 1，E1G1? 平面 E1FG 1，EG 平面 E1FG 1，又 G1FH 1E，同理可證 H

18、1E 平面 E1FG1，又 H 1EEG E，平面 E1FG 1 平面 EGH 1.5.答案CD解析因?yàn)?AB CD， AB? 平面 ，CD ?平面 ，由線面平行的判定定理可得CD .課時(shí)精練答案一、選擇題1.答案D解析如圖，長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1 中，在平面ABCD 內(nèi)，在AB上任取一點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn) E 作 EF AD，交 CD 于點(diǎn) F ，則由線面平行的判定定理，知EF ，BC 都平行于平面ADD 1A1，用同樣的方法可以在平面ABCD 內(nèi)作出無(wú)數(shù)條直線都與平面ADD 1A1 平行，但是平面ABCD 與平面 ADD 1A1 不平行，因此 都錯(cuò)； 正確， 事實(shí)上，因?yàn)橐粋€(gè)平面內(nèi)任意一條

19、直線都平行于另一個(gè)平面，所以這兩個(gè)平面必?zé)o公共點(diǎn)(要注意 “任意一條直線” 與 “無(wú)數(shù)條直線 ” 的區(qū)別 )； 是平面與平.面平行的判定定理，正確.2.答案D解析對(duì)于 A 項(xiàng)，當(dāng) 與 相交時(shí)， 內(nèi)也有無(wú)數(shù)條直線都與交線平行，故 A 錯(cuò)誤；對(duì)于 B項(xiàng)，當(dāng) a 平行于 與 的交線時(shí)，也能滿足，但此時(shí)與 相交，故B 錯(cuò)誤；對(duì)于C 項(xiàng)，當(dāng) a 和 b 都與 與 的交線平行時(shí)， 也能滿足， 但此時(shí) 與 相交， 故 C 錯(cuò)誤；對(duì)于 D 項(xiàng)，內(nèi)的任何直線都與平行，故在一個(gè)平面內(nèi)存在兩條相交直線平行于另一平面，故 D 正確 .3.答案C解析側(cè)面中有3 對(duì)，對(duì)面相互平行，上下兩底面也相互平行.4.答案B解析如圖

20、，直線B1C1 平面 ABCD ，B1C1 BC，B1C1 AD ， B1C1 EF(E， F 為中點(diǎn) )等，平面 ABCD 內(nèi)平行于BC 的所有直線均與B1C1 平行 .但 AB 與 B1 C1 不平行 .5.答案B解析易證 EF 平面 BCD .1由 AEEB AFFD ，知 EF BD ，且 EF 5BD .又因?yàn)?H， G 分別為 BC，CD 的中點(diǎn)，1所以 HG BD，且 HG 2BD .綜上可知， EFHG，EFHG ，所以四邊形EFGH 是梯形，且EF 平面 BCD .6.答案C解析若三點(diǎn)分布于平面的同側(cè)，則與 平行，若三點(diǎn)分布于平面的兩側(cè)，則與 相交 .7.答案D解析如圖所示，

21、在長(zhǎng)方體ABCDA 1B1C1D 1 中， AB CD ，.則 AB平面 DC1， AB? 平面 AC，但是平面 AC 與平面 DC1 不平行，所以 A 錯(cuò)誤；取 BB1 的中點(diǎn) E， CC1 的中點(diǎn) F ，則可證 EF 平面 AC，B C 平面 AC.EF? 平面 BC ， B C ? 平面 BC ，但是平面 AC 與平面 BC不平行，所以 B1111111錯(cuò)誤；可證 AD B11111，又平面 AC 與平面1不平行，所C ，AD? 平面AC，B C ? 平面 BCBC以 C 錯(cuò)誤；很明顯 D 是面面平行的判定定理，所以D 正確.二、填空題8.答案平行解析如圖，延長(zhǎng) AG 交 BC 于 F ，連接 SF，則由 G 為 ABC 的重心知AGGF 2，又 AE ES 2， EGSF，又 SF? 平面 SBC，EG?平面SBC，EG 平面 SBC.9.答案解析以 ABCD 為下底面還原正方體，如圖：則易判定四個(gè)命題都是正確的.10.答案解析把圖形還原為一個(gè)四棱錐，然后根據(jù)線面、面面平行的判定定理判