雙曲-拋物型方程

1、14. 雙曲拋物型方程雙曲拋物型方程初條：精確解為22xuxuctu)()0,(xxu初值問題)0,(txd)(4)(exp41),(2tctxttxu此乃線性Burgers方程，為N-S方程的模型方程VFVVV21pt24 . 1 差分格式差分格式1. 迎風格式nininininininininiuuxtcuuxtcuuuxtuu111121)2(c0)(c0)精度： 穩(wěn)定條件：),(xtOxcxt222. 蛙跳（leapfrog）格式)(111121111ninininininininiuuuuxtuuxtcuu精度： 穩(wěn)定條件：)(,(222xtxtO| cxt僅對對流項33. 時間前差

2、，空間中心差分的顯格式精度： 穩(wěn)定條件：),(2xtO)2,2min(22cxt)2(2112111nininininininiuuuxtuuxtcuu4. Lax-Wendroff格式精度： 穩(wěn)定條件：),(2xtO2222cxctnininininininiuuuxtxtcuuxtcuu11222211122245. Crank-Nicholson格式精度： 穩(wěn)定條件：恒穩(wěn)),(22xtO)22(24111111121111111ninininininininininininiuuuuuuxtuuuuxtcuu6. 全隱格式精度： 穩(wěn)定條件：恒穩(wěn)),(2xtO)2(211111211111

3、nininininininiuuuxtuuxtcuu可對對流項及擴散項分別采用不同的格式5非線性非線性Burgers方程方程為N-S方程的一個較好的模型方程22)(xuxuftu對于特殊選定的初始值和邊界條件，及特別的函數(shù)f，可得準確解設 f =u2/2，定解域為 0 x L, t 0, 邊界值 u(0, t)=u0, u(L, t)=0定常問題的準確解：)1(exp1)1(exp1)(0LxReuLxReuuuxuLL其中LuReL0)exp(11LReuuu自行嘗試各種格式6時間微商的差分逼近時間微商的差分逼近上述差分方法中在對時間偏微分時，只分為1 單步二層格式（前向差分）一階精度2 蛙

4、跳格式 （中心差分）： 二階精度3 若維持有關歐拉格式的空間微商的差分形式不變（簡記為Ld），則我們可引入龍格庫塔(Runge-Kutta)格式，其時間差分精度為4階（只是內(nèi)存占用量大）)()22(61),()21,21()21,21(),(5321012312010tOKKKKuuttKutLKttKutLKttKutLKtutLKnnnndnndnndnnd7范例),()22(61)()21()21()(4224321012312010 xxtttOKKKKuuKutLKKutLKKutLKutLKiiiininiinidinidiinidinidi0 xuctu若對空間微商采用中心差分，

5、即則龍格庫塔格式為)(2)(11iiiduuxcuL穩(wěn)定條件：cxt22dLtu8守恒型與非守恒型守恒型與非守恒型 作為源方程的方程組可以有不同的解析形式，如歐拉形式與拉格朗日形式，守恒形式與非守恒形式，積分形式與特征形式等。不同形式的源方程在解析分析中完全等效，但在數(shù)值計算方面則不盡然。對任一物理量U=U(x,t) ，若能寫成則稱U為守恒型變量，F(xiàn)為其通量（密度），形如此方程者為守恒型方程0FtU9質量守恒0FtUVFU動量守恒)() 32(1)2(002TVBpUVVIBBVVIFV能量守恒)2)(32()(1)121(1221202022VVVVVBEVVFVppBU磁通守恒BBVVBF

6、B0U渦旋守恒)(1BJJBVFVVU00VtVVt10差分格式差分格式從守恒型方程出發(fā)設計的格式具有總體守恒的特性，故稱為守恒型格式，如該方程可寫為)(21211iininiFFxtUU半格點值由插值得到)(2121111FFxtUUNNiniNini若體系與外界無交換，則02121FFNNiniNiniUU11111差分格式子類差分格式子類半格點插值公式的選取 若干子類1. 歐拉顯格式)(121)(127)(2121112121nnnninniiiiiiiFFFFFFFF二階四階2. 歐拉全隱格式)(2111211nniiiFFF精度：),(2xtO123. Lax格式4. 蛙跳梯形格式)

7、(21)(21121nnniniiiiFFUUtxF)(2212111ninininiFFxtUU蛙跳步)()(21*21*2111*iininininiiFFxtUUUUU梯形步)(2)(2111111nininininiFFxtUUU相當于135. Lax-Wendroff格式 (等價于半步長Lax半步長蛙跳)()(21112121nnnininiiiFFxtUUU)(212121211ninininiFFxtUU格式4、5的時間精度均為二級。特別是碰到激波時，守恒格式能使激波關系較為精確地滿足，因此在激波的計算中應首先考慮使用守恒型格式。145. 說明說明n對流方程的差分格式 耗散性和色

8、散性對于對流方程的差分格式的穩(wěn)定性具有重要的影響，而理想（磁）流體方程具有與對流方程相似的形式，同屬于雙曲型方程，故設計格式時須注意耗散性及色散性在穩(wěn)定條件滿足的情況下，迎風格式、Lax格式及全隱格式具有一階耗散，屬強耗散格式，L-W格式具有三階耗散，龍格庫塔格式具有五階耗散，屬弱耗散格式，色散效應起主導作用。蛙跳、跳點和C-N格式的耗散余項為0，屬無耗散格式，在碰到激波等強間斷時，弱（無）耗散格式的色散性會導致波頭振蕩和計算失穩(wěn)，須引入人為耗散。15n隱式與顯式隱格式穩(wěn)定性好（步長僅受非線性效應及計算精度的約束），而顯格式則在步長上有強約束條件，有時會使步長太短而無法實現(xiàn)。但對波動過程及瞬變

9、現(xiàn)象，物理量變化時間尺度較小，故顯格式的步長限制有時并不十分嚴重，且顯格式具有編程簡單及適宜并行處理的優(yōu)點，也經(jīng)常被采用。對擴散項，當耗散系數(shù)較大或空間步長較小時，應優(yōu)先考慮隱格式。將前面介紹的單一方程的差分格式對整個方程組進行統(tǒng)一的處理是構造偏微分方程組差分格式的最簡單途徑。166. 守恒型方程組的單步顯格式守恒型方程組的單步顯格式考慮方程組其中U 為未知函數(shù)，F(xiàn) 為通量項，S 為非齊次項（可以是U 的函數(shù)），三者均m 維矢量SUFxtU)(上式可寫為非守恒形式 其中 為 矩陣上式中F 可分解為與速度 有關的對流項FT 和諸應力項耗散 項FD SxUAtUUFAmm xvSxFxFtUDT常

10、見的單步格式：Lax格式、Lax-Wendroff格式及迎風格式17nLax格式ninnnininitSFFxtUUUii)(2)(2111111),(2xtOavxtx精度： 穩(wěn)定條件：式中 為矩陣A的最大本征值a該格式可推廣到二、三維，相應的穩(wěn)定條件為2/1222)111)(1zyxavt222zyxvvvv對流體，為聲速18nLax-Wendroff格式ninnninnninnninitSFFAFFAxtFFxtUUiiiiii)()(2)(211112121221),(2xtOavxtx精度： 穩(wěn)定條件：一般A是U的線性函數(shù)，故)(21121nininiAAA其色散正比于k4，故適合研究長波作業(yè)：這兒應該是F還是U?19n迎風格式),(xtOavxtx精度： 穩(wěn)定條件：推廣到高維問題時效果很差，故一般只用于一維問題ninDinDinvTinTinxininitSFFxtFFxtvUUnxi)(2)()sgn(11)sgn(10, 10, 1)sgn(nx