一階線性微分方程

1、一階線性微分方程分布圖示 一階線性微分方程及其解法例3例6例8例1例2例4例5伯努利方程例7例9例10內(nèi)容小結課堂練習習題8-3內(nèi)容要點一、一階線性微分方程形如dy P(x)y Q(x)(3.1)dx的方程稱為一階線性微分方程.其中函數(shù)P(x)、Q(x)是某一區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).當Q(x) 0,方程(3.1)成為dy P(x)y 0(3.2)dx這個方程稱為一階齊次線性方程.相應地，方程(3.1)稱為一階非齊次線性方程方程(3.2)的通解(3.3)- P(x)dxy Ce其中C為任意常數(shù).求解一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法：即在求出對應齊次方程的通解(3.3)后，將通解中的常數(shù)C變易為待定

2、函數(shù)u( x),并設一階非齊次方程通解為u(x)eP(x)dx一階非齊次線性方程(3.1)的通解為y Q(x)e P(x)dxdx Ce P(x)dx二、伯努利方程：形如dy P(x)y Q(x)yn dx的方程稱為伯努利方程，其中n為常數(shù)，且n 0,1.(3.5)(3.7)伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當?shù)淖儞Q,就可以把它化為線性的.事實上,在方程(3.7)兩端除以yn,得y ndy P(x)y1n Q(x),dx1或：(y ) P(x)y Q(x),1 n于是，令z y1 n,就得到關于變量 z的一階線性方程dx(1 n)P(x)z利用線性方程的求解方法求出通解后，再回代原變量,(

3、1 n)Q(x).便可得到伯努利方程(3.7)的通解(1 n)P(x)dx(1 n)P (x) dxy eQ(x)(1 n)edx C .例題選講一階線性微分方程例1 ( E01)求方程y 1y snx的通解.x x1sin x解 P(x) -, Q( x) ,于是所求通解為 xx1dx y e xsin x1dxx dx Cln xsin xxln x .e dx1( xcosx C).例2 (E02)求方程dy -2y- (x 1)5/2的通解.dx x 1解這是一個非齊次線性方程.先求對應齊次方程的通解.dy 2dy 2dx2由y 0- lny 2ln(x 1) lnC y C(x 1)

4、.dx x 1y x 1用常數(shù)變易法，把C換成u,即令y u(x 1)2,則有電u (x 1)2 2u(x 1), dx代入所給非齊次方程得u (x 1)2/1，兩端積分得u 2(x 1)3/2 C, 3回代即得所求方程的通解為2 23/2_y (x 1)2 3(x 1)3/2 c .例3求下列微分方程滿足所給初始條件的特解xln xdy (y ln x)dx0,dxxln x1-e xdxxlnxdxln In x e1 ln1nxi-e dx C x112ln2 x Cln x 2由初始條件yxe 1,得C 1,故所求特解為yln x 21ln x例4求解方程 電 y(x),(x)是x的已

5、知函數(shù).dx dx dx解原方程實際上是標準的線性方程，其中P(x) 幺，Q(x) (x) ,dxdx直接代入通解公式，得通解d ,d ,dx d dx y e dx (x) e dx dx C e () (x)e ()d C (x) 1 Ce () dx例5 (E03)求方程y3dx (2xy2 1)dy 0的通解.解 當將y看作x的函數(shù)時，方程變?yōu)閐yy3dx 1 2xy2這個方程不是一階線性微分方程，不便求解.如果將x看作y的函數(shù)，方程改寫為3 dx 2 dy 2y x 1 dy則為一階線性微分方程，于是對應齊次方程為3 dxe 2 八y 2y x 0 dy分離變量，并積分得以 型，即x

6、 C1x yy，一一 一1其中C1為任意常數(shù)，利用常數(shù)變易法，設題設方程的通解為x u(y)S，代入原方程，得y1u (y) 一 y積分得 u(y) ln | y | C1故原萬程的通解為 x -2(ln|y| C),其中C為任意常數(shù).y例6如圖(見系統(tǒng)演示)所示，平行于y軸的動直線被曲線 y"*)與丫 x3(x 0)截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積，求曲線f(x).x解 f(x)dx #x3 y)2x3 y,兩邊求導得y y 3x2,解此微分方程得0dx2 dxx 2y e C 3x e dx Ce 3x 6x 6,由yx0 0,得c6,故所求曲線為y 3( 2e x x

7、2 2x 2).例7求曳3y x內(nèi)的通解.dx x解兩端除以丙，得二曳4jy x2, y dx x、令 z 7,# 2- -z x2,解得 z x2 - C dx x22故所求通解為y xT 2Ce2 x 2 - c .2伯努利方程例8 (E04)求方程 dy - (aln x)y2 的通解. dx x解 以y2除方程的兩端，得1、,2dy 11d(y )11y y a ln x,即 -y a ln x,dx xdx x令z y 1,則上述方程變?yōu)?z aln x.dx x解此線性微分方程得z x C亙(lnx)2 .2以y1代z,得所求通解為yx C |(ln x)21.例9(E05)求方程業(yè) x(ydxx) x3(y x)2 1 的通解.解 令y x u,則以也1,于是得到伯努利方程 xu dx dxdx令 z u1 2其通解為L上式即變?yōu)橐浑A線性方程 ux23 T .x e 2 dxdz3一xz x .dx2xCe2 x2 2.回代原變量,即得到題設方程的通解例10 ( E06)求解微分方程dy 12 ydx xsin (