一元函數(shù)極限的求法

1、.一元函數(shù)極限的求法摘要：本文用舉例的方法來介紹函數(shù)極限的定義，函數(shù)極限的求解方法.關(guān)鍵詞：函數(shù)極限的定義；求解方法The soulution of function extremityAbstract:This article introduced some application of the definition of the function extremity ,the soulution of function extremity.Key Words:the definition of function extremity；soulution前言極限是數(shù)學(xué)分析中最重要的概念之一，微

2、分，積分等概念的引入，都與極限的概念密切相關(guān).而這些概念引進(jìn)后，利用這些知識(shí)又充實(shí)了求極限的方法。本文主要通過一些具體例子來討論函數(shù)極限的求解方法.1.一元函數(shù)極限的定義1.1趨于時(shí)的函數(shù)極限設(shè)函數(shù)為定義在上的函數(shù)，A為定數(shù).若對(duì)任給的，存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有,則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以A為極限，記為或.1.2 趨于時(shí)函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，A為定數(shù)，若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以A為極限，記作或.2.一元函數(shù)極限的求法總結(jié)2.1 利用定義及極限的四則運(yùn)算法則求極限利用該法求極限，方法簡單也易于掌握.但多數(shù)情況下是不能直接用，應(yīng)掌握一些變形技巧.例1 求.解 對(duì)

3、，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有，即，從而，故，由定義，則有.例2求.解.2.2利用代入法求極限若所給的函數(shù)是初等函數(shù)，且在有定義，由連續(xù)性知，求得的函數(shù)即為其極限值.例3求.解 因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，所以.例4求.解 因?yàn)槭呛瘮?shù)定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，所以.2.3利用兩個(gè)重要的極限求極限兩個(gè)重要的極限為（或）和（或），使用它們求極限時(shí)，最重要的是對(duì)所給的函數(shù)做適當(dāng)?shù)淖冃?，使之具有相?yīng)的形式.例5求.解.例6求.解.2.4利用等價(jià)無窮小求極限常見的等價(jià)無窮小量時(shí)： ，.例7求極限.解由于,則.例8求極限.解 由于,而,則.2.5 利用洛必達(dá)法則求極限 運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限的注意地方：僅對(duì)“”與“”型

4、未定式適用，其它未定式“”、“”、“”、“”、“”都可化為“”與“”型，前兩種采用恒等變形的方法；后三種采取先化為指數(shù)形式或用取對(duì)數(shù)的形式化為“”與“”型.應(yīng)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，不能對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo).若不存在，不能由些斷言也不存在，只能說明洛必達(dá)法則此時(shí)失效，應(yīng)采用其它方法.例9求.解.例10求.解.例11求.解 這是未定式，因?yàn)?當(dāng)時(shí)，上式右端是未定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則，得.2.6 利用泰勒展開式求極限定理若函數(shù)在點(diǎn)附近具有直到階的導(dǎo)數(shù)，并且在處還是連續(xù)的，則有特別當(dāng)時(shí)， .例12求.解 因?yàn)椋?于是.例13.解 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以,從而,于是.2.7 利用定積分的概念求極限設(shè)函數(shù)在有限區(qū)間上連續(xù)，把區(qū)間n等分，作和式取，則定積分定義有.例14求極限.解.2.8 利用兩邊夾法則求極限定理 若，而，則極限. 使用此法則求極限的關(guān)鍵是設(shè)法尋找變量X和Y，使?jié)M足,且.例15求極限.解因?yàn)?而,由兩邊夾法則得，.參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.：高等教育出版社，2001.2滕桂蘭.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）M.天津：天津大學(xué)出版社，2000.3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第五版）M.：高等教育出版社，2002.4鄒應(yīng).數(shù)學(xué)分析習(xí)題及解答M.武漢大學(xué)出版社.2001，168169，176177.5裴東林.數(shù)極值的初等和高等解法比較J.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，7.6