算法案例(輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù))

1、算 法 案 例(第一課時(shí))1、求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)、求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)（1）求）求25和和35的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)（2）求）求49和和63的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)2、求、求8251和和6105的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 25（1） 5535749（2） 77639所以，所以，25和和35的最大公約數(shù)為的最大公約數(shù)為5所以，所以，49和和63的最大公約數(shù)為的最大公約數(shù)為7n輾轉(zhuǎn)相除法, 又名“歐幾里德算法”（Euclidean algorithm）乃求兩數(shù)之最大公因數(shù)算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至前300年。它首次出現(xiàn)于歐幾里德的幾何原本中，而在中國則可以追溯至東漢出現(xiàn)的九

2、章算術(shù)。它并不需要把二數(shù)作質(zhì)因數(shù)分解 歐歐幾幾里里德德輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）觀察用輾轉(zhuǎn)相除法求觀察用輾轉(zhuǎn)相除法求8251和和6105的最大公約數(shù)的過程的最大公約數(shù)的過程 第一步第一步 用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)8251=61051+2146結(jié)論：結(jié)論： 8251和和6105的公約數(shù)就是的公約數(shù)就是6105和和2146的公約數(shù)，求的公約數(shù)，求8251和和6105的最大公約數(shù)，只要求出的最大公約數(shù)，只要求出6105和和2146的公約數(shù)就可以了。的公約數(shù)就可以了。第二步第二步 對對6105和和2146重復(fù)第一步的

3、做法重復(fù)第一步的做法6105=21462+1813同理同理6105和和2146的最大公約數(shù)也是的最大公約數(shù)也是2146和和1813的最大公約數(shù)。的最大公約數(shù)。 完整的過程完整的過程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例例2 用輾轉(zhuǎn)相除法求用輾轉(zhuǎn)相除法求225和和135的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)225=1351+90135=901+4590=452顯然顯然37是是148和和37的最大公約的最大公約數(shù)，也就是數(shù)，也就是8251和和6105的最的最大公約數(shù)大公約數(shù) 顯然顯然45是是

4、90和和45的最大公約數(shù)，也就是的最大公約數(shù)，也就是225和和135的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 思考思考1：從上面的兩個(gè)例子可以看出計(jì)：從上面的兩個(gè)例子可以看出計(jì)算的規(guī)律是什么？算的規(guī)律是什么？ S1：用大數(shù)除以小數(shù)：用大數(shù)除以小數(shù)S2：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)S3：重復(fù)：重復(fù)S1，直到余數(shù)為，直到余數(shù)為0 輾轉(zhuǎn)相除法是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)等于輾轉(zhuǎn)相除法是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)等于0停止的步驟，這實(shí)際上是停止的步驟，這實(shí)際上是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)。一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+

5、148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框圖表示出右邊的過程用程序框圖表示出右邊的過程r=m MOD nm = nn = rr=0?是否九章算術(shù)九章算術(shù)更相減損術(shù)更相減損術(shù) 算理：算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。損，求其等也，以等數(shù)約之。第一步：第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。若是，則用任意給定兩個(gè)正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。若是，則用2約簡；若不是則執(zhí)行第二步。約簡；若不是則執(zhí)行第二步。第二步：第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個(gè)以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個(gè)等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。例例3 用更相減損術(shù)求用更相減損術(shù)求98與與63的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)解：由于解：由于63不是偶數(shù)，把不是偶數(shù)，把98和和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)