第六章 攝動(dòng)方法58268

1、第六章第六章 攝動(dòng)方法攝動(dòng)方法 攝動(dòng)方法是一種重要的應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，它在力學(xué)，物理和眾多的工程學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。 工程技術(shù)中歸納出來的數(shù)學(xué)模型，其中不少是含有小參數(shù)的，且方程的準(zhǔn)確解難以獲得。 利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值積分，雖然可以給出定解問題的數(shù)值解，但很難給出物理現(xiàn)象的全貌和一般規(guī)律，利用攝動(dòng)法可以求得解析形式的近似解，對(duì)物理系統(tǒng)進(jìn)行相當(dāng)精確的定量和定性討論。這里，主要討論正則攝動(dòng)正則攝動(dòng)方法和奇異攝動(dòng)奇異攝動(dòng)方法。 1 正則攝動(dòng)方法正則攝動(dòng)方法例例1：已知初值問題 （1）的解試求問題 （2）直到 一次項(xiàng)的近似解。 2100dyydxy 0tanyyx 211100yyy 解：(2)的精確解為

2、將它關(guān)于 展開設(shè)（2）的準(zhǔn)確解不知道，于是將（2）的解 表示為 （3）1/21/21tan1yx211,tansectan22y xxxxx,y x 0122,y xyxyxyx代入方程有 （4）代入初值有 （5） 012001112dydyyyydxdx 01220000yyy比較（4）和（5） 的同次冪系數(shù)，可得滿足的一系列方程，特別有將 代入，得ny 02001,00dyyxydx 1200112,00dyyyyydx 0tanyx 1122tantandyxyxdx這是關(guān)于 的一階線性方程，由初值 可得所以，直到 的一次項(xiàng)的近似解是與前面準(zhǔn)確展開的結(jié)果一致。 1yx 100y 1211

3、sectan22yxxxx 0211,sectan22y xyxxxx說明說明1：這個(gè)例子展開的方法就是正則攝動(dòng)法正則攝動(dòng)法（正則擾動(dòng)法），又叫直接展開法直接展開法，這個(gè)例子可正確求解，但體現(xiàn)的方法和思想可用于那些不能精確求解的問題。說明說明2：當(dāng) 時(shí)，可看出擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)問題的解的“影響”， 時(shí)的問題稱未擾動(dòng)問題未擾動(dòng)問題（退化問題），取到 一次項(xiàng)為止的稱為一階近似一階近似。10 下面通過單擺問題討論直接展開法直接展開法的主要步驟和內(nèi)容：例例2：?jiǎn)螖[問題： (6) (7) 222002sin0/0, 00,1dg ldtaa 對(duì)于要采用攝動(dòng)法求解的問題，首先要考查問題是否是無量綱化形式?若不是，先

4、進(jìn)行無量綱化處理。因不同量綱的物理量無法進(jìn)行量化比較，無量綱化后便于量級(jí)比較，從而可以確定哪一個(gè)量是小參數(shù)。 引入無量綱參數(shù)：0,/tta則 (6)(7)化為 (8) (9)通過標(biāo)度變換，或者說無量綱化，可將不含參數(shù)的方程(6)化為含小參數(shù)小參數(shù)的方程(8)，從而可以利用攝動(dòng)法。 1sin001, 00aa直接展開法的主要步驟直接展開法的主要步驟：第一步第一步：設(shè) 代入方程(8)得 (10)第二步第二步：將所有的項(xiàng)都按小參數(shù)(這里是 )展開，使每一項(xiàng)都可寫成一個(gè) 的冪級(jí)數(shù)。利用 的展開式，上式中的第二項(xiàng)為： 0,iiit at a 100sin0iiiiiit aaaaaasin x (保留到

5、 項(xiàng))10siniiiaaa311003!iiiiiiaaaaaa 223340120323001266aaaO aO aO aaaO a2O a第三步第三步：將方程中的所有同次冪項(xiàng)合并，并令各次冪系數(shù)為0， (11)依次有2330011220106aaO a001132200016原方程(8)為非線性方程，現(xiàn)已化為一系列的線性方程。第四步第四步：將初值或邊值用冪級(jí)數(shù)展開式代入，得一系列關(guān)于 的初值或邊值方程，由(9)有： it 0010,00iiiiiiaa比較兩邊關(guān)于 的系數(shù)有第五步第五步：相繼求解前四步得到的方程和初值組成的問題，現(xiàn)在有ia 01201,00,00,000,1,2,ii

6、01cos0ttt關(guān)于 步(即 項(xiàng))沒有作修正，將 代入 的方程有該問題可用常數(shù)變易法或系數(shù)待定法求解。注意到 ，得利用初值，得111a02 332202211cos,00066tt31coscos33cos4ttt 3211cossincossin19216tAtBtttt1/192,0AB所以，注意到，上面的求解都是形式上的。設(shè) (12)由此可得一階近似： 2111,coscoscos3sin19219216t atatttt 0,iiitt 01, ttt0為討論所求近似解有效性問題，需研究級(jí)數(shù)(12)的一致收斂性問題，下面來介紹有關(guān)概念：定義定義1：設(shè)對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，對(duì)

7、于 一致有n 0,nmmnmf tutR t0,ta b1,nnRtO則稱為 當(dāng) 時(shí)，在區(qū)間 上的一致漸近冪級(jí)數(shù)，記為 01nnu tu tu t ,f t0, a b 01,nnf tutu tut并稱 為 當(dāng) 時(shí)在區(qū)間 上一致有效一致有效的階漸近近似式階漸近近似式。定義定義2：設(shè)有 的函數(shù)序列：對(duì)于任意固定的正整數(shù) ，滿足： 01nnu tu tu t ,f t0, a bn 0121, ,n 1001lim0, 2 lim0nnn n又設(shè)對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)當(dāng) 時(shí)，對(duì)于任意 一致地有則稱 為 當(dāng) 時(shí),在區(qū)間 上一致有效的 階漸近近似式階漸近近似式。 0,nmmnmf tutRt0,ta

8、b 1,nnRtOn 0mmmu t ,f t0, a bn注意注意：注意漸近冪級(jí)數(shù)，漸近展開式，漸近近似式與以前的冪級(jí)數(shù)的區(qū)別。例例3：設(shè) 利用分步積分法有記 1xxxf xex e dx,0 x 121 !11!xxnxnnf xn exe dxxxx 1!xxnxnRxn exe dx 固定 ，若 時(shí)， ，則 (13)由 方法知，級(jí)數(shù)在 時(shí)處處發(fā)散， 說明式(13)不能成立。下面換一個(gè)角度考慮問題，固定 ，由于 ，有,0 x n 0nRx 21 !11!nnf xxxx.D Alembert,0 x !nnnx n0 x 當(dāng) 時(shí)， ，( 固定)，表明 ， 充分大時(shí)，可用： 1!xnxxn

9、Rxn exe dx 11!nxxnn exen x x 11nnRxxOn0 x x21 !11!nnxxx作為 的近似式，記為可見漸近展開式是固定可見漸近展開式是固定 ，考慮考慮 變化變化，而冪級(jí)數(shù)而冪級(jí)數(shù)是固定是固定 ，考慮考慮 時(shí)的變化時(shí)的變化。 f x 21 !11!0,nnf xxxxxx nxxn 對(duì)于前面得到的單擺問題的近似公式: (*)現(xiàn)在用前面介紹的有關(guān)一致有效的有效的 階近似階近似來衡量就有二種情況:(1) , (2) 。2111,coscoscos3sin19219216t atatttt0,T0,tn對(duì)于對(duì)于(1)，注意到(*)中有 的項(xiàng)，當(dāng) 時(shí)，對(duì)于 ，則修正量是小

10、的( 的項(xiàng))，即(*)在 區(qū)間上，當(dāng) 時(shí)是一致有效的漸近近似式。對(duì)于對(duì)于(2)， 時(shí)，情況就不同了，對(duì)給定的初始角位移 時(shí)， 的振幅會(huì)不斷增加，21sin16a tt2116aT0,T0a 0,tT2a0,t1a21sin16a tt從物理上看，這是不合理的，這種近似(或者說修正)是不正確的，應(yīng)予排除，這一項(xiàng)稱為長(zhǎng)期項(xiàng)長(zhǎng)期項(xiàng)，表明正則攝動(dòng)法對(duì) 是失敗的，必須引入奇異攝動(dòng)奇異攝動(dòng)法法。下面來給出正則攝動(dòng)法的定義：定義定義：考慮0,t 2001, , , uuf tF t u uu tctu tc 可以是無窮區(qū)間，或閉區(qū)間， ，設(shè) 為連續(xù)函數(shù); 對(duì) 連續(xù)，對(duì)其余變量在其變化范圍內(nèi)解析，則該問題稱為

11、攝動(dòng)問題攝動(dòng)問題 ， 時(shí)對(duì)應(yīng)的問題稱為退化問題 ，若 問題的解 當(dāng) 時(shí)，對(duì) 有一致漸近冪級(jí)數(shù)，即 則稱 為 上的正則攝動(dòng)正則攝動(dòng)，否則稱為奇異攝動(dòng)奇異攝動(dòng)。,ta b1f tFtP00PP,u t0,ta b 01,mmmu tututP, a b下面再考慮一個(gè)使正則攝動(dòng)失效的例子：例例4： （1） （2） 該問題的解為： (3) 101yxyy22/2/2011xxxyeedx設(shè) ，代入(1)式比較同次冪的系數(shù)，有：相應(yīng)的解展開式 (4)00112231000 xyyxyyxyyxy2012yyyy35701231/ ,1/,3/,3 5/,yx yx yx yx 325371/3/3 5

12、/yxxxx可以看出，不管取零階，一階或二階近似，端點(diǎn)條件 均不能滿足，對(duì)大的 ，當(dāng) 是小量時(shí)，漸近解與精確解很接近;在 附近，即使很小，兩者相稱仍很大，在 附近，精確解變化迅速，稱此區(qū)域?yàn)檫吔鐚舆吔鐚?。將精確解展開，有 (5) 01yx0 x 0 x 221xxy 對(duì)照(4)和(5)，在邊界層中，漸近展開式(4)之所以非一致有效非一致有效，問題就出在(1)中在最高階導(dǎo)數(shù)前有 ，而0階近似： ，不是常微分方程，失去邊界條件。類似的情況對(duì) 的邊值問題也會(huì)發(fā)生。01xy PDE2 奇異攝動(dòng)法奇異攝動(dòng)法從前面討論的正則攝動(dòng)法看到，有的情況是部分邊值不滿足，有的是出現(xiàn)了“長(zhǎng)期項(xiàng)”，而有的則是展開式中出

13、現(xiàn)了奇性。凡此種種表明，正則攝動(dòng)法失效的情況不止限于“長(zhǎng)期項(xiàng)”一種，需要對(duì)直接展開法予以改正。這里引出奇異攝動(dòng)法，主要討論多重多重尺度法尺度法和 方法。PL一、多重尺度法一、多重尺度法 在實(shí)際的物理現(xiàn)象中，某些變量變化比較“緩慢”，如非線性振動(dòng)中的“振幅”，另外一些變量，變化可能比較劇烈，如流體在管壁附近管壁附近其沿法向流速變化較快，啟發(fā)人們用不同的時(shí)間尺度或空間尺度來作漸近展開，即采用多種尺度多種尺度。下面舉例來說明，若采用多重尺度法，如果尺度取得恰當(dāng)，零階漸近就給出精確解精確解。例例1：?jiǎn)栴}的精確解為將它在 展開可以看到， 一次項(xiàng)就出現(xiàn)了長(zhǎng)期項(xiàng)，當(dāng) 時(shí)式在 內(nèi)一致有效一致有效。當(dāng) 時(shí)，不能

14、一致有效。 2 21000, 01xxxxxsintxte0sinsinxttt01/T0,T1T現(xiàn)采用兩種尺度現(xiàn)采用兩種尺度：1和 ，設(shè) ，前者相當(dāng)于時(shí)間尺度 1，是快變量，后者相當(dāng)于大的時(shí)間尺大的時(shí)間尺度度 ，是慢變量，在 范圍內(nèi)用。設(shè)：112,tt tt11T212012112212, ,x tu t tut tut tut t利用代入方程和初值，得 ： 通解為： (2)122222222211222dxuudtttd xuuudttt tt 200002110,0,00,0,01uuuutt02121cossinuA ttB tt0其中 為 的任意函數(shù)，但 (3) ： 22,A tB

15、t2t 00,01AB12200112111201112220,00,0,00,0uuuuttt tuuutt 將(2)代入方程，有 (4)為消除 中的長(zhǎng)期項(xiàng)，令(4)式中 的系數(shù)為0：利用(3)，有 2112122212cos2sinuuB tB ttA tA ttt1ucos ,sintt222200AtA tBtB t 2220,tA tB te代回到(2)中得0階近似解為即零解近似即給出了精確解。 多重尺度法，關(guān)鍵是對(duì)研究的問題中出現(xiàn)的變量采用不同適當(dāng)?shù)某叨取＞唧w的選擇方法多種多樣，這里不具體介紹了。20121,sintuttet sintttxe2、多變量展開法仍以線性阻尼振動(dòng)問題

16、(1) (2) 該問題的精確解為 200, 01xxxxx 22sin11text24211sin281tettt可見解不僅與 有關(guān),而且與 等等有關(guān).于是,引進(jìn)三種時(shí)間尺度:設(shè), tt24, tt2012,tt tt tt012, , ,x x t t t23001210122012, , , ,x t t tx t t txt t tO利用記 ,則23012222222322200102122()dOdttttdOdttttttt (0,1,2,)nnDnt2012dDDDdt2220122dDDDdt22200102122DD DD DD于是(1)式成為(2)式成為比較 各次冪的系數(shù),得

17、遞推方程:22200102122DD DD DDxx20122DDDx n2000000t00,|0,|1ntD xxxD x (3) (4) (5) n2000000t00,|0,|1ntD xxxD x01201101000011010220,0,00,0,0 ,|0ntD xxD D xD xD xD xx 2 n220220201001 11 00202201 1t02220,0,00,0,0,0|D xxD D xD xD DxDxDxD xD xDx 以上各式 中的由(3)得 (6)且將(6)代入(4)得 (7)為使 中不出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng),令nt0,1, 2 .n 00120120012

18、0,cos,sinxtttAtttBttt000, 00,0, 01AB2011100010002sin2cosD xxD AAtD BBt1x10010000D AAD BB且有解得將它們代入(6)得000,000,01AB 11012020012020,00,00ttAttateaBttbteb 0012020020, ,cossintxt t tattbtte而(7)成為有解將 代入(5),得11202211200012sin2ttD xxD AAD aeb et20110D xx111201120,cos,sinxAt ttBt tt01,x x11111200012cos2ttD B

19、BDbea et為了 不出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng),令上式 、 的系數(shù)為0,為了使 中不出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng),應(yīng)有2x0sin t0cos t11120012tD AAD abe 111120012tD BBD bae 2000200010,00210,012D abaD bab,A B解得代回 的方程,得其中, 須利用 的方程來定,最后得零階漸近解02021sin,cos2atbt ,A B11112112,ttAateBbte 1212,a tb t 21sin102txet3x這里三、三、 方法方法19世紀(jì)末,天文學(xué)家 研究行星軌跡時(shí),遇到了含小參數(shù)的非線性微分方程,無法求出它的解,就嘗試將解用小參數(shù) 的冪級(jí)數(shù)來表示,為了防止長(zhǎng)期項(xiàng)的出現(xiàn),對(duì)正則攝動(dòng)法作了改進(jìn),其基本思想是：不僅不僅對(duì)解作展開對(duì)解作展開,且對(duì)方程中的有關(guān)參數(shù)也作展開且對(duì)方程中的有關(guān)參數(shù)也作展開。 0012202011, ,sincoscossin22txtt ttttte021sin2tettPLLindstdedt例例: (1) (2) 為弱的非線性項(xiàng).解:設(shè) (3) 2300, 00 xxxxa x301,