電器領(lǐng)域不確定的評(píng)估指南CNASGL

1、CNASGL08電器領(lǐng)域不確定度的評(píng)估指南中國(guó)合格評(píng)定國(guó)家認(rèn)可委員會(huì)二六年六月電器領(lǐng)域不確定度的評(píng)估指南1 概 論1.1 研究不確定度的意義長(zhǎng)期以來(lái)，誤差和誤差分析一直是計(jì)量學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分。由于測(cè)量實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及受人們認(rèn)識(shí)能力所限等，測(cè)量和實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)和被測(cè)量真值之間，不可避免地存在著差異，即誤差。目前，人們普遍認(rèn)為，即使對(duì)完全已知或猜測(cè)的誤差因素進(jìn)行補(bǔ)償、修正后，所得結(jié)果依然只能是被測(cè)量的一個(gè)估計(jì)值，即對(duì)如何用測(cè)量結(jié)果更好地表示被測(cè)量的值仍有懷疑。這時(shí)，不確定度概念作為測(cè)量史上的一個(gè)新生事物出現(xiàn)了。只有伴隨不確定度的定量陳述，測(cè)量結(jié)果才可以說(shuō)是完整

2、的。不確定度，顧名思義即測(cè)量結(jié)果的不能肯定程度，反過(guò)來(lái)也即表明該結(jié)果的可信賴程度。它是測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的指標(biāo)。不確定度愈小，所述結(jié)果與被測(cè)量真值越接近，質(zhì)量越高，水平越高，其使用價(jià)值也越高；不確定度越大，測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量越低，水平越低，其使用價(jià)值也越低。在報(bào)告物理量的測(cè)量結(jié)果時(shí)，必須給出相應(yīng)的不確定度，一方面便于使用它的人評(píng)定其可靠性，另一方面也增強(qiáng)了測(cè)量結(jié)果之間的可比性。測(cè)量不確定度必須正確評(píng)定。不確定度如果評(píng)定過(guò)大，會(huì)使用戶認(rèn)為現(xiàn)有的測(cè)量水平不能滿足需要而去購(gòu)買更加昂貴的儀器，導(dǎo)致不必要的投資，造成浪費(fèi)，或?qū)z定實(shí)驗(yàn)室的服務(wù)工作產(chǎn)生干擾；不確定度評(píng)定過(guò)小，會(huì)因要求過(guò)于嚴(yán)格對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量、生產(chǎn)加工造成

3、危害，使企業(yè)蒙受經(jīng)濟(jì)損失。鑒于不確定度的重要性，尋求一種便于使用、易于掌握且普遍認(rèn)可的計(jì)算和表示不確定度的方法具有很大意義。正如國(guó)際單位制（SI）的普遍應(yīng)用使所有的科學(xué)與技術(shù)測(cè)量趨于一致那樣，不確定度計(jì)算和表達(dá)在全世界范圍內(nèi)的一致，也將使得科學(xué)、工程、商業(yè)、工業(yè)和管理方面的測(cè)量結(jié)果的重要性易于理解和說(shuō)明。也只有這樣，才便于對(duì)不同國(guó)家所作的測(cè)量進(jìn)行比較。在當(dāng)今全球市場(chǎng)一體化的時(shí)代，這項(xiàng)研究是必然的也是必須的。不確定度在本質(zhì)上是由于測(cè)量技術(shù)水平、人類認(rèn)識(shí)能力所限造成的。同時(shí)它也是判定基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)精度、檢測(cè)水平高低以及測(cè)量質(zhì)量的一個(gè)重要依據(jù)。在ISO/IEC導(dǎo)則25“校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室與測(cè)試實(shí)驗(yàn)室能力的通用要求

4、”中指明，校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室的每份證書(shū)或報(bào)告必須包含有關(guān)校準(zhǔn)或測(cè)試結(jié)果不確定度的說(shuō)明。隨著不確定度理論的推廣與深入研究，現(xiàn)在，它不僅已成為計(jì)量科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，在其它領(lǐng)域如質(zhì)量管理和質(zhì)量保證中，也得到了重視和應(yīng)用。ISO9001中對(duì)測(cè)量結(jié)果的不確定度均有明確要求。1.2 不確定度研究的國(guó)際動(dòng)態(tài)1927年，海森堡提出了量子力學(xué)中的不確定關(guān)系，又稱測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，1970年前后，一些計(jì)量學(xué)和其它領(lǐng)域?qū)W者，逐漸使用不確定度一詞，但含義不清。1978年等所編詞典（The Advanced Learners Dictionary English-English-Chinese）指出：不確定度(Uncertai

5、nty)為變化、不可靠、不確知、不確定。鑒于國(guó)際間理解和表示不確定度的不一致，1978年5月，國(guó)際計(jì)量局(BIPM)發(fā)出了不確定度征求意見(jiàn)書(shū)。1980年國(guó)際計(jì)量局在討論了各國(guó)及國(guó)際專業(yè)組織意見(jiàn)后，提出了實(shí)驗(yàn)不確定度建議書(shū)INC-1（1980）·實(shí)驗(yàn)不確定度表示。1986年國(guó)際計(jì)量委員會(huì)（CIPM）第75屆會(huì)議決定推廣INC-1，提出了建議書(shū)1(CI-1986)：在CIPM贊助進(jìn)行的工作中不確定度的表示。同年，由國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織ISO，國(guó)際電工委員會(huì)(IEC)，國(guó)際計(jì)量委員會(huì)(CIPM)，國(guó)際法制計(jì)量組織(OIML)組成了國(guó)際不確定度工作組，負(fù)責(zé)制定在標(biāo)準(zhǔn)化、檢定、實(shí)驗(yàn)室認(rèn)可及計(jì)量服務(wù)中

6、使用的測(cè)量不確定度指南。 國(guó)際不確定度工作組經(jīng)多年研究、討論，征求各國(guó)及國(guó)際專業(yè)組織意見(jiàn)，反復(fù)修改，1993年制定了測(cè)量不確定度表示指南(簡(jiǎn)稱指南GUM)。指南得到了BIPM、OIML、ISO、IEC及國(guó)際理論與應(yīng)用化學(xué)聯(lián)合會(huì)(IUPAC)，國(guó)際理論與應(yīng)用物理聯(lián)合會(huì)(IUPAP)，國(guó)際臨床化學(xué)聯(lián)合會(huì)(IFCC)的批準(zhǔn)，由ISO出版成為國(guó)際組織的重要權(quán)威文獻(xiàn)。 GUM自1993年出版以來(lái)，在世界范圍內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)行。美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(NIST)于1993年制定了基于GUM的NIST評(píng)定與表示測(cè)量結(jié)果不確定度準(zhǔn)則，所有NIST報(bào)告均以它為依據(jù)。歐洲實(shí)驗(yàn)室認(rèn)證合作體(EAL)，加拿大國(guó)家

7、研究委員會(huì)(NEC)，北美測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)協(xié)作體(NORAMET)，北美校準(zhǔn)合作體(NACC)，英國(guó)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室認(rèn)可委會(huì)員(NAMAS)都已采用GUM。我國(guó)有關(guān)部門及人士對(duì)此也極為重視，中國(guó)計(jì)量科學(xué)院于1996年11月制定了測(cè)量不確定度規(guī)范。1999年1月國(guó)家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布了國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范JJF 10591999測(cè)量不確定度評(píng)定與表示。GUM的頒布與實(shí)施，使不確定度的評(píng)定與表示在世界范圍內(nèi)有了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，從而推動(dòng)不確定度的研究和應(yīng)用進(jìn)入一個(gè)新階段。1.3 應(yīng)用范圍GUM指南文件建立了評(píng)定和表示不確定度的規(guī)則。它可用于各種準(zhǔn)確度等級(jí)的測(cè)量，并可用于從基礎(chǔ)研究到商業(yè)活動(dòng)的各種場(chǎng)合。本指南應(yīng)用于電器檢測(cè)不

8、確定度評(píng)定。2 基本概念2.1 不確定度的定義及說(shuō)明測(cè)量不確定度的定義為：與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系參數(shù)，表征合理地賦予被測(cè)量量值的分散性。由于測(cè)試技術(shù)的不完善，人類認(rèn)識(shí)能力所限，被測(cè)量的“真值”是不可知的，在實(shí)際工作中能得到的僅是“合理賦予被測(cè)量的值”，且不止一個(gè)，可以是多個(gè)。這些值的分散性就是不確定度。它表示出測(cè)量結(jié)果的范圍，被測(cè)量的真值以一定的概率落于其中。對(duì)不確定度的定義有以下幾點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明：（1）眾所周知，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，由于誤差因素的影響，各個(gè)測(cè)得值一般皆不相同。它們圍繞著測(cè)量列的算術(shù)平均值有一定的分散，此分散說(shuō)明了測(cè)量列中單次測(cè)得值的不可靠。誤差理論中提出用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表征這種不可

9、靠性。算術(shù)平均值n 測(cè)量次數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差越小，分散度就??；反之，分散度就越大。在不確定度應(yīng)用中，我們依然采用標(biāo)準(zhǔn)差作為表征分散性的參數(shù)，也可以是標(biāo)準(zhǔn)差的給定倍數(shù)k，(k 必須說(shuō)明)，或是具備某置信水平的區(qū)間的半寬度。例如：多個(gè)值中95%落于區(qū)間內(nèi)，則具有置信水準(zhǔn)p=95%，區(qū)間半寬度為，表征分散性的參數(shù)也即為。（2）測(cè)量不確定度一般包括許多分量。有些分量可由系列測(cè)量結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布評(píng)定，并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差表征。另外一些分量是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或其它信息，通過(guò)假定的概率分布計(jì)算出來(lái)，也可用標(biāo)準(zhǔn)差表征。不確定度的這兩類分量除了它們的評(píng)定方法不同外，并無(wú)計(jì)量學(xué)上的本質(zhì)區(qū)別。兩種計(jì)算方法實(shí)際上也都是基于概率分布的（前者確切

10、已知，后者通過(guò)假設(shè)確定）。用任何一種方法得到的不確定度分量均可用標(biāo)準(zhǔn)差定量。（3）不確定度是測(cè)量結(jié)果的一個(gè)參數(shù)，這里的測(cè)量結(jié)果應(yīng)是被測(cè)量值的最佳估計(jì)。通常對(duì)一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，在剔除具有明顯粗大誤差的量值后，取測(cè)量列的算術(shù)平均值()作為最終測(cè)量結(jié)果。如果有確切已知的系統(tǒng)誤差，還應(yīng)對(duì)算術(shù)平均值再進(jìn)行補(bǔ)償修正，才能作為被測(cè)量值的最佳估計(jì)。（4）全部不確定度分量，應(yīng)包含由系統(tǒng)效應(yīng)產(chǎn)生的分量，如修正值本身的不確定度和參考標(biāo)準(zhǔn)具有的不確定度都會(huì)影響結(jié)果的分散性。（5）不確定度恒為正值。2.2 不確定度的基本術(shù)語(yǔ)標(biāo)準(zhǔn)不確定度(Standard uncertainty) 以標(biāo)準(zhǔn)差表征的測(cè)量結(jié)果不確定度

11、。2.2.2(不確定度的)A類評(píng)定(Type A evaluation of uncertainty) 用對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來(lái)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。2.2.3（不確定度的）B類評(píng)定（Type B evoluation of unertainty） 用不同于對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來(lái)評(píng)定不確定度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度（Combined standard uncertainty） 測(cè)量結(jié)果由其它量值得來(lái)時(shí)，按其它量的方差或協(xié)方差算出的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。記為，也可簡(jiǎn)記為。擴(kuò)展不確定度（Expanded uncertainty）用于確定測(cè)量結(jié)果區(qū)間的量。合理賦予被測(cè)量的值分布的大部分可望落于該區(qū)間。擴(kuò)展

12、不確定度有時(shí)也稱為展伸不確定度、范圍不確定度。 由于合理賦予被測(cè)量的值不只一個(gè)，而是多個(gè)。具有一定分散性，對(duì)測(cè)量結(jié)果y而言，若其擴(kuò)展不確定度為U，則被測(cè)量的值將以一定概率包含于區(qū)間中。2.2.6包含因子（Coverage factor） 為獲得擴(kuò)展不確定度；對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度所乘的數(shù)字因子，記為k。包含因子有時(shí)也稱為覆蓋因子。2.2.7置信概率（Level of confidence） 擴(kuò)展不確定度確定的測(cè)量結(jié)果區(qū)間包含合理賦予被測(cè)量值分布的概率，記為p，有時(shí)也稱為置信水準(zhǔn)、置信水平。2.2.8自由度（Degrees of freedom）在方差計(jì)算中，和的項(xiàng)數(shù)減去對(duì)和的限制條件數(shù)，記為。自由

13、度反映相應(yīng)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的可靠程度，自由度越大，可靠程度越高。相對(duì)不確定度（Relative uncertaitny）不確定度除以測(cè)量結(jié)果的絕對(duì)值， (設(shè)y0)。測(cè)量結(jié)果的不確定度有時(shí)可以用相對(duì)不確定度表示。2.3 兩組概念的辨析2.3.1 誤差與不確定度誤差與不確定度是計(jì)量學(xué)中兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)又相互區(qū)別的概念。人們提出這兩個(gè)概念的目的都是為了尋求如何以實(shí)驗(yàn)和測(cè)量所得結(jié)果來(lái)更恰當(dāng)、更準(zhǔn)確地體現(xiàn)被測(cè)量的真實(shí)情況。誤差為測(cè)得值與被測(cè)量真值之差。即誤差=測(cè)得值-真值。不確定度是被測(cè)量值可能出現(xiàn)的范圍。2.3.1.1. 二者的聯(lián)系誤差與不確定度都是由相同因素造成的：隨機(jī)效應(yīng)和系統(tǒng)效應(yīng)。隨機(jī)效應(yīng)是由于未預(yù)料到的

14、變化或影響量的隨時(shí)間和空間變化所致。它引起了被測(cè)量重復(fù)觀測(cè)值的變化。這種效應(yīng)的影響不能借助修正進(jìn)行補(bǔ)償，但可通過(guò)增加觀測(cè)次數(shù)而減小。其期望值為零。系統(tǒng)效應(yīng)是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成的。但由于人類認(rèn)識(shí)的不足，也不能確切知道其數(shù)值，因此也無(wú)法完全清除，但通?？梢詼p小。系統(tǒng)效應(yīng)產(chǎn)生的影響有些是可以識(shí)別的，有些是未知的，如果已知影響能定量給出，而且其大小對(duì)測(cè)量所要求的準(zhǔn)確度而言有意義的話，則可采用估計(jì)的修正值或修正因子對(duì)結(jié)果加以修正。由于隨機(jī)效應(yīng)和系統(tǒng)效應(yīng)的存在，使得被測(cè)量的真值無(wú)法確知，每個(gè)測(cè)量結(jié)果也都具有一定的不可靠性，導(dǎo)致誤差和不確定度的產(chǎn)生。2.3.1.2. 二者區(qū)別a. 誤差是

15、相對(duì)被測(cè)量真值而言的，它是測(cè)量結(jié)果與真值之差，由于真值的不可知性，實(shí)際上誤差也只能是個(gè)理想概念，不可能得到它的準(zhǔn)確值。不確定度以測(cè)量結(jié)果本身為研究對(duì)象，其含義不是“與真值之差”或“誤差限”、“極限誤差”，而是表示由于隨機(jī)影響和系統(tǒng)影響的存在而對(duì)測(cè)量結(jié)果不能肯定的程度，表征被測(cè)量值可能出現(xiàn)的范圍。它是以測(cè)量結(jié)果為中心，以標(biāo)準(zhǔn)差或其倍數(shù)，或某置信區(qū)間半寬度確定的被測(cè)量的取值范圍。確保真值以一定概率落于其中。因而，它是測(cè)量結(jié)果的一個(gè)量化屬性。b. 誤差和不確定度的分類方法截然不同。 誤差根據(jù)其性質(zhì)可分為兩類：隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差：測(cè)量結(jié)果與重復(fù)性條件下對(duì)同一量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值

16、之差。隨機(jī)誤差大抵是由于隨機(jī)影響造成的。注意，觀察列的平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差并不是平均值的隨機(jī)誤差，而恰恰是隨機(jī)影響引起的平均值的不確定度，這些效應(yīng)產(chǎn)生的平均值的隨機(jī)誤差不可能準(zhǔn)確知道。系統(tǒng)誤差：在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量真值之差。系統(tǒng)誤差是由已知系統(tǒng)影響和未知系統(tǒng)影響產(chǎn)生的，通過(guò)對(duì)已知系統(tǒng)影響的修正可以減小，但不可能為零。同時(shí)，修正值或修正因子的不完善，也會(huì)導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果的不確定度，但不是由于系統(tǒng)影響補(bǔ)償不理想而產(chǎn)生的誤差。不確定度按照分量的評(píng)定方法分為A類B類，但并非“隨機(jī)”和“系統(tǒng)”的代用詞。用A類或B類評(píng)定方法均可得到已知系統(tǒng)影響修正值的不確定度，隨

17、機(jī)影響的不確定度計(jì)算也是如此。兩種評(píng)定方法均基于概率分布，得到的分量在本質(zhì)上不存在差異。實(shí)際應(yīng)用中，無(wú)須將它們與隨機(jī)或系統(tǒng)對(duì)應(yīng)起來(lái)。c. 誤差取一個(gè)符號(hào)，非正即負(fù)。不確定度恒為正值。當(dāng)由方差得出時(shí)，取其正平方根。圖1 被測(cè)量值、誤差及不確定度關(guān)系d. 不確定度是由隨機(jī)影響和對(duì)系統(tǒng)影響結(jié)果的不完善修正產(chǎn)生的。在計(jì)算測(cè)量結(jié)果的不確定度時(shí)，不會(huì)考慮到未被認(rèn)識(shí)的系統(tǒng)影響，但這種影響會(huì)導(dǎo)致誤差的出現(xiàn)。因此，即使計(jì)算出來(lái)的不確定度很小，仍不能保證測(cè)量結(jié)果的誤差很小?；蛘哒f(shuō)，測(cè)量結(jié)果的不確定度未必是測(cè)量結(jié)果接近被測(cè)量值的指示值，它僅為與目前可用的知識(shí)相符的最佳值接近程度的近似性估計(jì)。不確定度不能用于測(cè)量結(jié)果

18、和真值之間的差異顯示，但可用于測(cè)量結(jié)果之間的比較。不確定度越小，則測(cè)量結(jié)果質(zhì)量越高。在測(cè)量中若沒(méi)有忽略任何明顯的系統(tǒng)影響時(shí)，才能認(rèn)為測(cè)量結(jié)果即為被測(cè)值的可靠估計(jì)值，其合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度即為可能誤差的可靠量度。被測(cè)量值、誤差及不確定度關(guān)系如圖1所示。2.3.2 準(zhǔn)確度與不確定度測(cè)量準(zhǔn)確度（Accuracy of measurement）表示測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值之間的一致程度。由于真值的不可知，它也只能是個(gè)定性概念而絕不能把它定量地表達(dá)為一個(gè)量值。但可以說(shuō)準(zhǔn)確度高或低。 不確定度則是被測(cè)量值分散性的一個(gè)量度，它不僅包括系統(tǒng)影響也包括隨機(jī)影響，以一個(gè)定量的數(shù)據(jù)確定了被測(cè)量的取值范圍，即所有量值可能出現(xiàn)

19、的范圍。它是以測(cè)量結(jié)果為中心，而并非是相對(duì)真值而言。因此是個(gè)可以量化的屬性。對(duì)于測(cè)量?jī)x器來(lái)說(shuō)，要表達(dá)其準(zhǔn)確度，只能用等別或級(jí)別，如準(zhǔn)確度為0.1級(jí)，準(zhǔn)確度為3等。而決不能有諸如準(zhǔn)確度為±10mA，相對(duì)準(zhǔn)確度為±2×10-5等類表達(dá)方式。2.4 測(cè)量值的基本分布 在同一條件下，對(duì)某量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，由于測(cè)量不確定度的影響，所得各個(gè)結(jié)果之間具有分散性，且呈現(xiàn)一定的分布規(guī)律，常見(jiàn)有以下幾種：2.4.1 正態(tài)分布測(cè)量值x服從期望標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，記為 正態(tài)分布，如圖2所示，其測(cè)量值具有以下特點(diǎn)：（1）單峰性：距近的值比距遠(yuǎn)的值出現(xiàn)的概率大；（2）對(duì)稱性：比大某量的測(cè)量值

20、出現(xiàn)的機(jī)會(huì)等于比小同一量的測(cè)量值出現(xiàn)的機(jī)會(huì)；（3）有界性：在一定的測(cè)量條件下，很大或很小的測(cè)量值不會(huì)出現(xiàn)。（4）抵償性：各測(cè)量值的平均值隨測(cè)量次數(shù)增大而趨于期望。設(shè)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)f(x)為：圖2 正態(tài)分布 f(x)具有以下性質(zhì)：（1）曲線關(guān)于對(duì)稱；（2）當(dāng)時(shí)取到最大值。欲使落于區(qū)間的置信概率為，即可通過(guò)查正態(tài)分布密度函數(shù)數(shù)值表得出對(duì)應(yīng)一定的值，常見(jiàn)如下表： 表2-1 常見(jiàn)正態(tài)分布密度函數(shù)表PKpK0.50.67450.954520.682710.992.5760.91.6450.997330.951.96正態(tài)分布中以為被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望，一般以測(cè)量列的算術(shù)平均值估計(jì)。對(duì)被測(cè)量進(jìn)行一系列

21、等精度測(cè)量，由于存在偶然效應(yīng)，其測(cè)得值皆不相同，應(yīng)以全部測(cè)得值的算術(shù)平均值作為最后測(cè)量結(jié)果。如圖3所示，越大被測(cè)量值越大(如第3條曲線)；反之，則越小。(如第1條曲線=0)。測(cè)量列中的各個(gè)不同測(cè)得值圍繞著算術(shù)平均值有一定的發(fā)散，此分散度說(shuō)明了測(cè)量列中單次測(cè)得值不可靠性，正態(tài)分布中的即是這種不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，稱為標(biāo)準(zhǔn)差。的數(shù)值小，該測(cè)量列相應(yīng)小的誤差就占有優(yōu)勢(shì)，任一單次測(cè)得值對(duì)算術(shù)平均值的分散度就小，測(cè)量的可靠性就大，即測(cè)量精度高；(如第1條曲線)；反之，測(cè)量精度就低。(如第2條曲線)圖3 正態(tài)分布比較 正態(tài)分布是測(cè)量中的基本分布。理論研究表明，若測(cè)量值受到大量的、獨(dú)立的、大小可比的多個(gè)效應(yīng)的

22、影響，則該測(cè)量值服從正態(tài)分布。2.4.2 均勻分布 在測(cè)量實(shí)踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點(diǎn)是：測(cè)量值在某一范圍中各處出現(xiàn)的機(jī)會(huì)一樣，即均勻一致。故又稱為矩形分布或等概率分布，如圖4所示。測(cè)量值服從均勻分布，其中-為出現(xiàn)的下界，為出現(xiàn)的上界，其概率分布密度函數(shù)：記為若測(cè)量值服從均勻分布,則其期望E為區(qū)間的中點(diǎn)，而其標(biāo)準(zhǔn)差為圖4 均勻分布 遵從均勻分布或假設(shè)為均勻分布的測(cè)量值為：(1) 數(shù)據(jù)切尾引起的舍入誤差；例如：測(cè)量結(jié)果要求保留到小數(shù)點(diǎn)后3位，將實(shí)測(cè)或算出的數(shù)據(jù)第4位按四舍五入原則舍去，則存在舍入誤差0.0005；(2) 電子計(jì)算器的量化誤差數(shù)字或儀器在±1單位以內(nèi)不

23、能分辨的誤差；(3) 摩擦引起的誤差；(4) 儀表度盤刻度誤差或儀器傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的空程誤差；(5) 平衡指示器調(diào)零不準(zhǔn)引起的誤差，此項(xiàng)誤差和儀器的調(diào)節(jié)精度人員操作有關(guān)；(6) 數(shù)字示值的分辨率；顯示裝置的分辨率指顯示裝置能有效辨別的最小示值差，一般即為最小顯示單位，設(shè)為，則其標(biāo)準(zhǔn)差：(7) 人員瞄準(zhǔn)誤差； 用人眼進(jìn)行瞄準(zhǔn)時(shí)的精度與人眼的分辨本領(lǐng)指標(biāo)線的形狀和對(duì)準(zhǔn)方式有關(guān)。當(dāng)用兩條實(shí)線重合時(shí)準(zhǔn)瞄準(zhǔn)精度為±60×250mm(明視距離)；用兩條實(shí)線線端對(duì)準(zhǔn)，瞄準(zhǔn)精度為±(1020)×250mm；用一虛線壓一實(shí)線或輪廓邊緣瞄準(zhǔn)精度為±(2030)×

24、;250mm；用雙線對(duì)移跨單位線，瞄準(zhǔn)精度為±5×250mm。以上數(shù)據(jù)均是直接由人眼觀測(cè)時(shí)的數(shù)據(jù)。(8) 人員讀數(shù)誤差； 有因?yàn)橐暡钜鸬淖x數(shù)誤差或讀取非整數(shù)刻度值時(shí)，由于估讀不準(zhǔn)引起的誤差，一般為最小分度的。2.4.3 梯形分布測(cè)量值的出現(xiàn)機(jī)會(huì)在中間各處一樣，在兩邊直線下降，在邊緣為零則稱其服從梯形分布，如圖5所示，概率密度函數(shù)為：圖5 梯形分布 若測(cè)量值服從梯形分布，則其期望 標(biāo)準(zhǔn)差 兩獨(dú)立均勻分布，服從梯形分布。2.4.4 三角分布若測(cè)量值出現(xiàn)和機(jī)會(huì)在中點(diǎn)最大，隨即自中點(diǎn)向兩邊直線下降，在邊緣處為0，則稱其服從三角分布，如圖6所示。兩獨(dú)立均勻分布，圖6 三角分布則服從

25、三角分布。在實(shí)際測(cè)量中若整個(gè)測(cè)量過(guò)程必須進(jìn)行兩次才能完成，而每次測(cè)量均服從相同的均勻分布，則總的結(jié)果服從三角分布，其概率密度函數(shù)為：其標(biāo)準(zhǔn)差、期望為： 服從三角分布的情況有： 兩獨(dú)立同均勻分布之和或差； 由數(shù)值舍入或分辨率影響的兩測(cè)量值之和或差； 用替代法檢定標(biāo)準(zhǔn)元件時(shí)兩次調(diào)零不準(zhǔn)的影響。2.4.5 反正弦分布均勻分布變量的正弦或余弦函數(shù)服從反正弦分布。測(cè)量值服從上反正弦的分布，如圖7所示，其概率密度函數(shù)為：圖7 反正弦分布其期望與標(biāo)準(zhǔn)差為： 服從反正弦分布的情況有：(1) 度盤偏心引起的測(cè)角誤差；(2) 正弦噪聲引起的誤差；(3) 無(wú)線電失配引起的誤差。3 不確定度的評(píng)定3.1 不確定度來(lái)源

26、 從影響測(cè)量結(jié)果的因素考慮，測(cè)量結(jié)果的不確定度一般來(lái)源于：被測(cè)對(duì)象、測(cè)量設(shè)備、測(cè)量環(huán)境、測(cè)量人員和測(cè)量方法。被測(cè)對(duì)象a 被測(cè)量的定義不完善 被測(cè)量即受到測(cè)量的特定量，深刻全面理解被測(cè)量定義是正確測(cè)量的前提。如果定義本身不明確或不完善，則按照這樣的定義所得出的測(cè)量值必然和真實(shí)之間存在一定偏差。b 實(shí)現(xiàn)被測(cè)量定義的方法不完善 被測(cè)量本身明確定義，但由于技術(shù)的困難或其它原因，在實(shí)際測(cè)量中，對(duì)被測(cè)量定義的實(shí)現(xiàn)存在一定誤差或采用與定義近似的方法去測(cè)量。例如：器具的輸入功率是器具在額定電壓，正常負(fù)載和正常工作溫度下工作時(shí)的功率。但在實(shí)際測(cè)量中，電壓是由穩(wěn)壓源提供的，由于穩(wěn)壓源自身的精度影響，使得器具的工作

27、電壓不可能精確為額定值，故測(cè)量結(jié)果中應(yīng)考慮此項(xiàng)不確定因素。故只有對(duì)被測(cè)量的定義和特點(diǎn)，仔細(xì)研究、深刻理解，才能盡可能減小采用近似測(cè)量方法所帶來(lái)的誤差或?qū)⑵淇刂圃谝粋€(gè)確定范圍內(nèi)。c 測(cè)量樣本不能完全代表定義的被測(cè)量 被測(cè)量對(duì)象的某些特征如：表面光潔度，形狀、溫度膨脹系數(shù)、導(dǎo)電性、磁性、老化、表面粗糙度、重量等在測(cè)量中有特定要求，但所抽取樣本未能完全滿足這些要求，自身具有缺陷，則測(cè)量結(jié)果具有一定的不確定度。d 被測(cè)量不穩(wěn)定誤差 被測(cè)量的某些相關(guān)特征受環(huán)境或時(shí)間因素影響，在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中保持動(dòng)態(tài)變化，導(dǎo)致結(jié)果的不確定度。 測(cè)量設(shè)備 計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器、測(cè)量?jī)x器和附件以及它們所處的狀態(tài)引入的誤差。計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器和

28、測(cè)量?jī)x器校準(zhǔn)不確定度，或測(cè)量?jī)x器的最大允差或測(cè)量器具的準(zhǔn)確度等級(jí)均是測(cè)量不確定度評(píng)定必須考慮的因素。3.1.3 測(cè)量環(huán)境a 在一定變化范圍或不完善的環(huán)境條件下測(cè)量 ·溫度 ·振動(dòng)噪聲 ·供給電源的變化 ·溫度 ·空氣組成、污染 ·熱輻射 ·大氣壓 ·空氣流動(dòng)b 對(duì)影響測(cè)量結(jié)果的環(huán)境條件認(rèn)識(shí)不足 由于對(duì)相關(guān)環(huán)境條件認(rèn)識(shí)不足，致使測(cè)量中或分析中忽視了對(duì)某些環(huán)境條件的設(shè)定和調(diào)整，造成不確定度。 測(cè)量人員a 模擬式儀器的人員讀數(shù)誤差即估讀誤差，讀取帶指針儀表或帶標(biāo)線儀器的示值，即讀取非整數(shù)刻度值時(shí)，由于估讀不準(zhǔn)而引起的誤差

29、。b 人員瞄準(zhǔn)誤差 采用顯微鏡或等光學(xué)儀器通過(guò)使視場(chǎng)中的兩個(gè)幾何圖形重合來(lái)對(duì)線進(jìn)行測(cè)量，對(duì)線準(zhǔn)確度與操作者經(jīng)驗(yàn)和對(duì)線形狀有關(guān)。c 人員操作誤差 如測(cè)量時(shí)間的控制、測(cè)點(diǎn)的布置。該項(xiàng)取決于人員的經(jīng)驗(yàn)、能力、知識(shí)及工作態(tài)度、身體素質(zhì)等。 測(cè)量方法a 測(cè)量原理誤差 測(cè)量方法本身就存在一定的原理誤差，對(duì)被測(cè)量定義實(shí)現(xiàn)不完善。例如在產(chǎn)品的電氣強(qiáng)度試驗(yàn)中，由于耐壓試驗(yàn)臺(tái)自身內(nèi)阻影響，使得加于樣品兩端的電壓低于實(shí)際設(shè)定值。這樣必然造成試驗(yàn)結(jié)果存在一定的不確定度。b 測(cè)量過(guò)程· 測(cè)量順序 應(yīng)嚴(yán)格按照測(cè)量規(guī)范規(guī)定的進(jìn)行。遺漏或顛倒某一操作過(guò)程都有可能造成測(cè)量結(jié)果的誤差，甚至使測(cè)量失去意義。·

30、測(cè)量次數(shù) 一般來(lái)說(shuō)測(cè)量次數(shù)不同，測(cè)量精度也不同，增加測(cè)量次數(shù)，可以提高測(cè)量精度。但n10以后，已減少得非常緩慢。此外，由于測(cè)量次數(shù)愈大，也愈難保證測(cè)量條件的恒定，從而帶來(lái)新的誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適應(yīng)。· 測(cè)量所需時(shí)間 有的測(cè)量規(guī)定必須在一定條件下，一定時(shí)間內(nèi)完成超出則結(jié)果不準(zhǔn)確。如器具潮態(tài)試驗(yàn)后的泄漏電流測(cè)試必須在5s內(nèi)完成。· 測(cè)量點(diǎn)數(shù) 操作規(guī)范規(guī)定測(cè)量若干點(diǎn)，但實(shí)際檢測(cè)中，為節(jié)省時(shí)間或出于其它考慮減少或增加了測(cè)量點(diǎn)數(shù)，也對(duì)最終結(jié)果有影響。如在噪聲測(cè)試中。· 瞄準(zhǔn)方式 測(cè)量方法不同，采用的測(cè)量?jī)x器不同，對(duì)應(yīng)的瞄準(zhǔn)方式也不同，如采取目測(cè)或用光學(xué)瞄

31、準(zhǔn)，其瞄準(zhǔn)精度必然不同。· 方向性 測(cè)量結(jié)果須在一定穩(wěn)態(tài)下獲得，實(shí)驗(yàn)中以不同方向趨于穩(wěn)態(tài)，對(duì)于有些測(cè)量設(shè)備，如具有滯后或磁滯性的儀器讀數(shù)是不同的。c 數(shù)據(jù)處理· 測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的賦值不準(zhǔn) 標(biāo)準(zhǔn)器具本身不可避免存在著制造偏差，它是由更高一級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)檢定的，這些高一級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)本身也存在著誤差。· 物理常數(shù)或從外部資料得到的數(shù)據(jù)不準(zhǔn) 外部資料中提供的數(shù)據(jù)很多，是由以前的測(cè)量為基礎(chǔ)或單純憑經(jīng)驗(yàn)得出的，不可避免地存在著誤差。· 算法及算法實(shí)現(xiàn) 采用不同的算法處理數(shù)據(jù)，如計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，分別運(yùn)用白塞爾法和極差法，所得結(jié)果必然不同。· 有效位數(shù) 數(shù)據(jù)有效位數(shù)不

32、同，精度不同，應(yīng)根據(jù)測(cè)量要求或所采用的測(cè)量設(shè)備而定。· 舍入 由于數(shù)字運(yùn)算位數(shù)有限，數(shù)值舍入或截尾造成不確定度。· 修正 有些系統(tǒng)誤差是可以修正的，但由于對(duì)誤差因素本身的認(rèn)識(shí)不充分，修正值也必然存在著不確定度。 工業(yè)企業(yè)的計(jì)量部門在工業(yè)生產(chǎn)中起著質(zhì)量把關(guān)的作用。因此必須正確評(píng)定測(cè)量結(jié)果的不確定度，既不能過(guò)大，也不能過(guò)小，以保證產(chǎn)品質(zhì)量，又不會(huì)造成誤判。首先應(yīng)充分考慮測(cè)量設(shè)備、測(cè)量人員、測(cè)量環(huán)境、測(cè)量方法等方面眾多來(lái)源帶來(lái)的不確定度分量，作到不遺漏、不重復(fù)、不增加。并正確評(píng)定其數(shù)值，其中設(shè)備來(lái)源不確定度可經(jīng)過(guò)量值溯源，由上一級(jí)計(jì)量基標(biāo)準(zhǔn)的不確定度取得；也可利用所得到的檢定校準(zhǔn)

33、證書(shū)，測(cè)試證書(shū)或有關(guān)規(guī)范所給的數(shù)據(jù)；方法不確定度經(jīng)過(guò)研究和評(píng)定，其不確定度影響可能很小。 評(píng)定不確定度的原則和框架，不能代替人的思維、理智和專業(yè)技巧。它取決于對(duì)測(cè)量和被測(cè)量的本質(zhì)的深入了解和認(rèn)識(shí)。因此，測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定的質(zhì)量和實(shí)用性，主要取決于對(duì)不確定度影響量的認(rèn)識(shí)程度和細(xì)致而中肯的分析。3.2 測(cè)量模型及不確定度的傳播律3.2.1 測(cè)量模型許多情況下，被測(cè)量并非直接測(cè)得，而是由其它N個(gè)已知量，通過(guò)函數(shù)關(guān)系來(lái)確定，即：為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，同一符號(hào)既表示物理量（被測(cè)量），又代表該量可能的觀測(cè)結(jié)果（隨機(jī)變量）。 例1：導(dǎo)線直徑為，電阻率為，匝數(shù)為N的線圈，其電阻值為：線圈平均匝長(zhǎng)注：測(cè)量過(guò)程的數(shù)學(xué)模

34、型與測(cè)量程序有關(guān)。例2：電阻法測(cè)溫升是利用金屬導(dǎo)體的電阻隨溫度變化的特性，通過(guò)測(cè)量溫度變化前后導(dǎo)體的電阻值，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出導(dǎo)體的溫升值。R2試驗(yàn)結(jié)束時(shí)繞組電阻；R1試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)繞組電阻；t2 試驗(yàn)結(jié)束時(shí)冷卻空氣溫度；t1 試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)繞組溫度。 說(shuō)明：（1） 決定輸出量Y的輸入量本身可視為被測(cè)量，也可與其它的量，如修正因子有關(guān)，因而導(dǎo)致一個(gè)不能寫出顯式的復(fù)雜函數(shù)關(guān)系。另外，也能通過(guò)試驗(yàn)確定，或采取經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算。（2） 一組輸入量可有以下兩種：其值和不確定度可在現(xiàn)行的測(cè)量過(guò)程中直接測(cè)得，例如：可根據(jù)單次觀測(cè)、重復(fù)觀測(cè)或經(jīng)驗(yàn)調(diào)整得到，其中包括測(cè)量?jī)x器讀數(shù)的修正值及環(huán)境溫度、大氣壓和濕度等影響量

35、的修正值。其值和不確定度是由外部原因帶入測(cè)量過(guò)程的量，如檢定計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)、物理常數(shù)等。（3） 設(shè)的估計(jì)值為，輸出量Y的估計(jì)值為y，則：注：（1） 每個(gè)輸入估計(jì)值如對(duì)y有較大系統(tǒng)影響，應(yīng)作適當(dāng)修正。（2） 在計(jì)算測(cè)量結(jié)果的不確定度時(shí)，這里的測(cè)量結(jié)果應(yīng)是被測(cè)量Y的最佳估計(jì)值。通常是進(jìn)行一系列的重復(fù)觀測(cè)，得到，Y的最佳估計(jì)值：也就是說(shuō)y被看作是Y的n次獨(dú)立觀測(cè)值的算術(shù)平均值，如果有修正量，還必須將其加入，才能作為最終觀測(cè)結(jié)果。注：在處理測(cè)量列之前，首先要將其中所有異常值加以剔除，可依據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB4883-85進(jìn)行判斷和處理。3.2.2 不確定度的傳播律每個(gè)輸入估計(jì)值的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差，稱為標(biāo)準(zhǔn)不

36、確定度，用表示，通過(guò)A類方法或B類方法求出。估計(jì)值y的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差稱為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用表示。它是由各輸入值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度按不確定度傳播律得出的。（1） 非相關(guān)輸入量當(dāng)輸入量相互獨(dú)立時(shí)，則不確定度傳播公式為： 1式中是方程的偏導(dǎo)數(shù)，常被稱為傳播系數(shù)或靈敏度系數(shù)，記作。1式又可以寫作： 2式中 例3：對(duì)例1來(lái)說(shuō)，、N相互獨(dú)立，則其傳播系數(shù)及合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：有時(shí)根據(jù)測(cè)量因的變化導(dǎo)致的變化，來(lái)確定靈敏度系數(shù)，取代了根據(jù)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算的方法。通常用于難以用函數(shù)關(guān)系描述的情況。（2） 相關(guān)輸入量如果輸入量或估計(jì)值相關(guān)，則測(cè)量結(jié)果的合成方差為：稱相關(guān)系數(shù)，表征和的相關(guān)程度，。 有關(guān)相關(guān)的概念、相關(guān)系數(shù)

37、的判定和計(jì)算、相關(guān)的避開(kāi)等問(wèn)題，我們將在以后章節(jié)中詳細(xì)討論。3.3 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定3.3.1 基本方法對(duì)一系列觀測(cè)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析以計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)不確定度的方法稱A類評(píng)定。由于隨機(jī)效應(yīng)的存在，對(duì)同一量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，所得結(jié)果都不相同。它們圍繞著該測(cè)量列的算術(shù)平均值有一定的分散，此分散度說(shuō)明了測(cè)量列中單次測(cè)得值的不可靠性。一般用按貝塞爾公式計(jì)算出的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)表征，也就是A類評(píng)定不確定度。 貝塞爾法設(shè)：對(duì)某一量進(jìn)行了n次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量，得測(cè)量列。該測(cè)量列的算術(shù)平均值為：由貝塞爾公式可得：稱作殘差即為單次測(cè)量值的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。通常情況下，我們?nèi)∷阈g(shù)平均值作為最終測(cè)量結(jié)果，必須給出算術(shù)平均值A(chǔ)

38、類不確定度。注：（1） 多次測(cè)量必須在重復(fù)測(cè)量條件下進(jìn)行。重復(fù)性條件指：a 相同的測(cè)量程序；b 相同的測(cè)量人員；c 在相同條件下使用相同的測(cè)量設(shè)備；d 相同的地點(diǎn)；e 短時(shí)間內(nèi)重復(fù)測(cè)量，所謂短時(shí)間，一般理解為其它條件能充分保證的時(shí)間。（2） 從理論上說(shuō)，測(cè)量次數(shù)越多，通過(guò)它們所得出的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差越可靠。但當(dāng)測(cè)量次數(shù)越大，重復(fù)性條件就越難以保證，測(cè)量所用的時(shí)間也就越長(zhǎng)。因此，必須根據(jù)測(cè)量的精度要求，測(cè)量的水平，測(cè)量的實(shí)際用途選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。一般情況下，取10次以內(nèi)較為適宜。（3） 以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果時(shí)，通常為未修正的結(jié)果，如有修正值或修正因子，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)修正才能作為最終測(cè)量結(jié)果。但

39、是否修正，與其分散性無(wú)關(guān)。3.3.1.2 A類評(píng)定的其它方法除了貝塞爾公式外，計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的方法還有：最大殘差法、極差法、最大誤差法、彼得斯法等。（1） 最大殘差法若，則測(cè)量列算術(shù)平均值 殘差 單次標(biāo)準(zhǔn)差 系數(shù)是與測(cè)量次數(shù)n有關(guān)的一個(gè)參數(shù)，可由下表查出。 表3-1 最大殘差法系數(shù)N234567891015201.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.48最大殘差法簡(jiǎn)單、迅速、容易掌握，當(dāng)n<10時(shí)，最大殘差法具有一定精度。（2） 極差法若，極差 單次標(biāo)準(zhǔn)差 系數(shù)是與測(cè)量次數(shù)n有關(guān)的一個(gè)參數(shù)，可由下表查出。 表3-2 極差法系數(shù)n23456789

40、1015201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.473.73極差法具有一定的精度，一般在n<10時(shí)，均可采用。（3） 最大誤差法若，的值可近似知道（約定真值或?qū)嶋H值），這時(shí)能夠算出隨機(jī)誤差，取其中絕對(duì)值最大的一個(gè)值，即最大誤差。單次標(biāo)準(zhǔn)差 系數(shù)是與測(cè)量次數(shù)n有關(guān)的一個(gè)參數(shù)，可由下表查出。 表3-3 最大誤差法系數(shù)n1234567891015201.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.490.46此法適用于約定真值可知的情況。（4） 彼得斯法若，則單次標(biāo)準(zhǔn)差 這種方法特別適合于測(cè)量次數(shù)較大的情況。由以上幾種

41、方法求得后，有平均值標(biāo)準(zhǔn)差：3.3.2 最小二乘法最小二乘原理是一數(shù)學(xué)原理，它給出了數(shù)據(jù)處理的一條法則在最小二乘意義下所獲得的最佳結(jié)果（或最可信賴值）應(yīng)使殘余誤差的平方和最小。作為數(shù)據(jù)處理手段，最小二乘法在諸如實(shí)驗(yàn)曲線擬合，組合測(cè)量的數(shù)據(jù)處理等方面，已獲得了廣泛的應(yīng)用，也同樣適用于標(biāo)準(zhǔn)差、不確定度的計(jì)算。3.3.3.1 最小二乘法原理為確定t個(gè)未知量（被測(cè)量）的估計(jì)量，分別測(cè)量個(gè)直接測(cè)量的量，得測(cè)量數(shù)據(jù)，而其估計(jì)量為，且有如下關(guān)系：則測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余誤差為：最小二乘條件即：最小在等精度測(cè)量中，上式可簡(jiǎn)化為：最小Y與X的函數(shù)關(guān)系f可能是線性的，也可能是非線性的，測(cè)量的實(shí)際問(wèn)題中，大量是屬于線性的，

42、且非線性參數(shù)借助于級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法也可以近似轉(zhuǎn)化成線性形式。所以，下面討論線性參數(shù)的最小二乘法處理。線性參數(shù)的誤差方程為：設(shè)向量 則誤差方程可表述為：最小二乘條件即為：最小然后利用求極值的方法將上式轉(zhuǎn)化為正規(guī)方程：測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為：被測(cè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為：其中 對(duì)t=2，求直線的最小二乘法對(duì)t=3，求二次函數(shù)的最小二乘法3.3.2.2 舉例例4：實(shí)驗(yàn)中得下列一組數(shù)據(jù)xi= 5， 10， 15， 20， 25yi=2.5073，2.5055，2.5049，2.5042，2.5035采用最小二乘法擬合成直線，試確定k，c值，并求出時(shí)值。解：列出誤差方程：令為兩個(gè)待估計(jì)參數(shù)，則誤差方程可寫為： 為計(jì)算方

43、便，將數(shù)據(jù)列表如下：12345510152025251002254006252.50732.50552.50492.50422.503512.536525.055037.573550.084062.587575137512.5254187.8365根據(jù)誤差方程，列出正規(guī)方程：將表中數(shù)值代入正規(guī)方程得：計(jì)算1）的標(biāo)準(zhǔn)差將值代入上式，可得殘余誤差為：2）估計(jì)量的不確定度 先求不定乘數(shù)正規(guī)方程為：解得 3.4 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定3.4.1 B類評(píng)定的基本思路 測(cè)量工作中，有時(shí)無(wú)法取得觀測(cè)列并作統(tǒng)計(jì)分析，如由于時(shí)間或資源不足不能進(jìn)行或不需進(jìn)行重復(fù)測(cè)量的情況下，不確定度就無(wú)法由A類評(píng)定得到，而只能采

44、取非統(tǒng)計(jì)方法即B類評(píng)定方法。 B類評(píng)定需要根據(jù)有關(guān)信息，進(jìn)行科學(xué)判斷估計(jì)而作出，這些信息可來(lái)自：(1) 以前的測(cè)量數(shù)據(jù)；(2) 對(duì)有關(guān)材料及儀器的特點(diǎn)、性能的經(jīng)驗(yàn)或一般知識(shí)；(3) 生產(chǎn)部門提供的制造說(shuō)明書(shū)或技術(shù)文件；(4) 檢定證書(shū)、校準(zhǔn)證書(shū)提供的數(shù)據(jù)，包括目前暫在使用的極限誤差等；(5) 取自手冊(cè)的賦予參考數(shù)據(jù)的不確定度。 這類信息往往也是通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法得到的，只不過(guò)給出的信息不全，不能直接用以作為測(cè)量不確定度的一個(gè)分量。它們往往只是給出了一個(gè)極大值與極小值，或提供了結(jié)果的一個(gè)概率區(qū)間，但未給出其分布及自由度的大小。根據(jù)現(xiàn)有信息，對(duì)這一分量進(jìn)行評(píng)定，包括計(jì)算近似的相應(yīng)方差或標(biāo)準(zhǔn)不確定度以及相

45、應(yīng)的自由度，這就是不確定的B類評(píng)定。3.4.2 B類評(píng)定的方法(1) 如輸入估計(jì)值取自制造說(shuō)明書(shū)，檢定或校準(zhǔn)證書(shū)手冊(cè)或其它來(lái)源并說(shuō)其不確定度為標(biāo)準(zhǔn)差的倍，則的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可以認(rèn)為等于引用值除以該倍數(shù)。例5：校準(zhǔn)證書(shū)上指出標(biāo)稱值為1kg的法碼的質(zhì)量為m=1000.00032g，該值的不確定度按三倍標(biāo)準(zhǔn)差為0.24mg,則該標(biāo)準(zhǔn)法碼的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：（2） 如的擴(kuò)展不確定度不是按標(biāo)準(zhǔn)差的k倍給出，而是給出了置信概率p為0.9，0.95，0.99的置信區(qū)間的半寬，除非另有說(shuō)明，一般按正態(tài)分布考慮評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度，對(duì)應(yīng)于上述三種置信概率的包含因子分別為1.64，1.96和2.58。例6：檢定證書(shū)上給

46、出某千分尺的示值誤差總不確定度為1.3um，（p =0.99）則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：（3） 若輸入量的值以50%的概率落于區(qū)間，則的最佳估計(jì)值為該區(qū)間中點(diǎn)，該范圍的半寬用表示，且假設(shè)近似正態(tài)分布，則的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：例7：某電器產(chǎn)品的額定功率估計(jì)在56w和64w之間，概率為50%，額定功率的最佳值為P=（56+64）/2=60w，區(qū)間半寬=（64-56）/2=4w，假設(shè)P值為正態(tài)分布，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：（4） 若輸入量的值以2/3的概率落于區(qū)間，則的最佳估計(jì)值為該區(qū)間中點(diǎn)，該范圍的半寬用表示，且假設(shè)近似正態(tài)分布，則的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：（5） 若輸入量的值以概率1落于區(qū)間，即全部落于其中而不在區(qū)間外

47、出現(xiàn)，如果對(duì)在該范圍內(nèi)的可能值無(wú)具體了解，則只能假設(shè)在該區(qū)間內(nèi)各處出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，即服從均勻分布。該范圍的半寬用表示，則的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：(6) B類也可按其它分布考慮，當(dāng)落在區(qū)間內(nèi)，則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度k的取值根據(jù)的實(shí)際分布來(lái)確定：當(dāng)受到兩獨(dú)立同均勻分布影響，則服從三角分布，當(dāng)受到均勻分布的正余弦函數(shù)影響，則服從反正弦分布，當(dāng)在某兩點(diǎn)取值概率各為50%，即服從兩點(diǎn)分布，（7） 在輸入量可能值的下界和上界相對(duì)于其最佳估計(jì)值并不對(duì)稱的情況下，這時(shí)不處在區(qū)間的中心，在缺乏準(zhǔn)確判定其分布狀態(tài)的信息時(shí)，按均勻分布處理，近似評(píng)定為：例8：設(shè)手冊(cè)中給出的銅膨脹系數(shù)-1并說(shuō)“最小可能值為-1，最大可能值為-1”

48、，可見(jiàn)，最佳值并不處于區(qū)間中心，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：-1在標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定中，正確使用提供的有效信息，要求具有一定經(jīng)驗(yàn)和對(duì)有關(guān)知識(shí)的透徹了解，這種技巧通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以逐步掌握。3.5 確定合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度3.5.1 相關(guān)的概念在由各分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，須考慮這些分量之間的相關(guān)性。通過(guò)實(shí)踐，人們認(rèn)識(shí)到變量之間有兩種類型的關(guān)系：（1） 函數(shù)關(guān)系即確定性關(guān)系。在數(shù)學(xué)分析和物理學(xué)中大多數(shù)公式屬于這種類型。如牛頓定律中力與加速度之間，有如下關(guān)系：其中 F 力 m 質(zhì)量 a 加速度一般地，若式中一個(gè)或幾個(gè)變量已知，其它的就可借函數(shù)關(guān)系式精確算出。（2） 相關(guān)關(guān)系 在實(shí)際問(wèn)題中，絕大多數(shù)

49、情況下，變量之間的關(guān)系并不那么簡(jiǎn)單。它們之間既存在密切聯(lián)系，又不能由一個(gè)或幾個(gè)變量（自變量）的數(shù)值精確求出另一個(gè)變量（因變量）的數(shù)值，而要通過(guò)試驗(yàn)或調(diào)查研究才能確定，我們稱這類變量之間的關(guān)系為相關(guān)關(guān)系。如材料性能和其表面銹蝕之間，零件的加工誤差和零件直徑之間，就屬于此類關(guān)系。在兩個(gè)隨機(jī)變量之間，當(dāng)它們變化時(shí)，如果存在某種相依的關(guān)系（非函數(shù)關(guān)系），這時(shí)，這兩個(gè)量就是相關(guān)的或非獨(dú)立的。相關(guān)系數(shù)正是兩個(gè)變量之間相互依賴程度的量度。當(dāng)0,我們說(shuō)兩分量正相關(guān)，即一分量增大時(shí)，另一分量取值平均增大；當(dāng)0，我們說(shuō)兩分量負(fù)相關(guān)，即一分量增大時(shí)，另一分量取值平均減少；當(dāng)=0，則兩分量無(wú)關(guān)，即一分量增大時(shí)，另一分

50、量取值可能增大，也可能減小，它們的取值彼此沒(méi)有關(guān)系。3.5.2 相關(guān)系數(shù)的確定 在測(cè)量工作中，相關(guān)系數(shù)的求法主要有：(1) 判斷法 由測(cè)量人員根據(jù)測(cè)量條件分析，判斷分量的相關(guān)程度，經(jīng)常判斷為下述兩種情況：(1.1) =0(1.1.1) 兩分量相互獨(dú)立或不可能相互影響；(1.1.2) 一分量增大時(shí)，另一分量可正可負(fù)；一分量減小時(shí)，另一分量可正可負(fù)；(1.1.3) 不同體系產(chǎn)生的分量，如人員引起的分量和環(huán)境引起的分量。(1.1.4) 兩分量雖相互影響，但確認(rèn)其影響甚微，為簡(jiǎn)化取=0；(1.1.5) 僅知在-1，1上對(duì)稱分布，則平均而言，可認(rèn)為=0；(1.2) =1(1.2.1) 兩分量間有正線性關(guān)

51、系；(1.2.2) 一分量增大時(shí)，另一分量亦增大；一分量減小時(shí)，另一分量亦減?。?1.2.3) 同一體系中產(chǎn)生的分量； 如用一米基準(zhǔn)尺測(cè)兩米尺，按每米各測(cè)一次相加得兩米尺長(zhǎng)，則該基準(zhǔn)尺誤差引起兩個(gè)一米的分量間=1。(1.2.4) 兩分量間有近似正線性關(guān)系，為簡(jiǎn)化取=1；(1.2.5) 已知相關(guān)，為可靠起見(jiàn)，取=1。(2) 觀察法 通過(guò)實(shí)驗(yàn)求出一分量取，對(duì)應(yīng)另一分量取，這樣得到多對(duì)（，）將它們?cè)谄矫嫔献鲌D，與標(biāo)準(zhǔn)圖形比較，即可觀察出相關(guān)系數(shù)。如圖8所示： 圖8 示意圖觀察法(3) 計(jì)算法作多組成對(duì)測(cè)量，得（，）多對(duì)，則（4） 數(shù)點(diǎn)計(jì)算法將分量成對(duì)測(cè)量值畫于圖上，作平行于縱軸的直線A，將點(diǎn)左右均分

52、，作平行于橫軸的直線B，將點(diǎn)上下均分，盡量使A，B線上無(wú)點(diǎn)，若右上、左上、右下、左下點(diǎn)數(shù)為，則例10：測(cè)量某量用兩種方法，得兩組數(shù)，其對(duì)應(yīng)值為（，）如圖9所示：圖9 數(shù)點(diǎn)計(jì)算法 (5)推算法如欲求標(biāo)準(zhǔn)差分別為兩分量的相關(guān)系數(shù)，可預(yù)先進(jìn)行專門試驗(yàn)，讓兩因素都變，算出變化后引起量值的標(biāo)準(zhǔn)差，則：例11：對(duì)某量測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差=18，測(cè)量時(shí)振動(dòng)引起=6，其余因素引起=15,于是振動(dòng)和其余因素影響相關(guān)系數(shù)為：（6） 單個(gè)量等精度多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，單次測(cè)量值與平均值之間：（7） 最小二乘法中若誤差方程為AX=L-V，權(quán)為P，平差后，X兩分量間注：相關(guān)指的是輸入量之間的關(guān)系，應(yīng)根據(jù)其估計(jì)值的相關(guān)性辨別任意兩個(gè)輸入

53、量的相關(guān)性，即使本身無(wú)關(guān)，計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)也應(yīng)考慮估計(jì)值之間的相關(guān)性。如果在輸入量測(cè)量中使用同一臺(tái)測(cè)量?jī)x器，同一個(gè)實(shí)物測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)或具有顯著不確定度的同一個(gè)參考數(shù)據(jù)，則兩個(gè)輸入量之間存在顯著相關(guān)性。例12：用檢定證書(shū)上注明標(biāo)準(zhǔn)不確定度為100m的1000標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs檢定額定電阻為1000的10個(gè)電阻Ri，用可忽略電阻的導(dǎo)線將電阻串聯(lián)，以得到額定10k的參考電阻Ref。這時(shí)每個(gè)電阻之間的相關(guān)系數(shù)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：3.5.3 相關(guān)系數(shù)的避開(kāi) 在實(shí)際工作中，有時(shí)可通過(guò)選取無(wú)關(guān)的誤差來(lái)源或?qū)⒏飨嚓P(guān)量事先合成一個(gè)量，以避開(kāi)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算。(1) 盡可能選取無(wú)關(guān)來(lái)源，分別計(jì)算各來(lái)源產(chǎn)生的不確定度；(

54、2) 將相關(guān)量合成一個(gè)量，若，其中相關(guān)，但它們與無(wú)關(guān)，則當(dāng)?shù)慕M合=()與的函數(shù)，視為測(cè)量值，y按, 分量考慮，則無(wú)關(guān)。3.5.4 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度測(cè)量結(jié)果y由測(cè)得量按過(guò)程模型算出：根據(jù)A類評(píng)定B類評(píng)定，得到的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，它對(duì)y的影響的分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度是靈敏度系數(shù)，表示變化單位量時(shí)，引起y變化的絕對(duì)值。則測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：當(dāng)各分量相互獨(dú)立時(shí)，上式簡(jiǎn)化為：合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度除以測(cè)量結(jié)果，稱為相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度。注：當(dāng)隨機(jī)效應(yīng)或系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度分量既可以按統(tǒng)計(jì)方法算得，又可以按其它方法評(píng)定時(shí)，只允許在中包含其中一個(gè)。如果重復(fù)計(jì)入，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤評(píng)定。3.5.5 應(yīng)用舉例 用千分尺對(duì)圓柱體的體積進(jìn)行測(cè)量，通過(guò)對(duì)其直徑d、高度h的測(cè)量，按公式，體積計(jì)算。千分尺間隔為10。讀數(shù)估計(jì)到半格即5，在重復(fù)條件下得到的測(cè)量結(jié)果各6次如下：i123456