2013高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn) 圓的方程3

1、【命中考心】2013高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)之圓的方程 3例11 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程分析：欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn)，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解：圓和直線與相切，圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等兩直線交角的平分線方程是或又圓過(guò)點(diǎn)，圓心只能在直線上設(shè)圓心到直線的距離等于，化簡(jiǎn)整理得解得：或圓心是，半徑為或圓心是，半徑為所求圓的方程為或說(shuō)明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法典型例題十二例12

2、設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足兩個(gè)條件的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過(guò)求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一：設(shè)圓心為，半徑為則到軸、軸的距離分別為和由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為，故圓截軸所得弦長(zhǎng)為又圓截軸所得弦長(zhǎng)為2又到直線的距離為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)這時(shí)有或又故所求圓的方程為或解法二：同解法

3、一，得將代入上式得：上述方程有實(shí)根，故，將代入方程得又由知、同號(hào)故所求圓的方程為或說(shuō)明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢？典型例題十三例13 兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：得：、的坐標(biāo)滿足方程方程是過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程又過(guò)、兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓、的公共弦所在直線的方程為說(shuō)明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度

4、上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說(shuō)，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)它的應(yīng)用很廣泛典型例題十四例14已知對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：運(yùn)用圓的參數(shù)方程，設(shè)的坐標(biāo)為， 即，恒成立恒成立即恒成立只需大于等于的最大值令的最大值為說(shuō)明：在上述解法中我們運(yùn)用了圓上點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法采用這種設(shè)法的優(yōu)點(diǎn)在于，一方面可以減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，另一方面可以靈活地運(yùn)用三角公式從代數(shù)的觀點(diǎn)看，這種設(shè)法的實(shí)質(zhì)就是三角代換另外本題也可以不用圓的參數(shù)方程求解，本題的實(shí)質(zhì)就是求最值問(wèn)題，方法較多但以上述解法較簡(jiǎn)典型例題十五例15 試求圓(為參數(shù))上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大(小)值分析：利用兩點(diǎn)間距離公式求解或數(shù)形結(jié)合求解解法一：設(shè)是圓上任一點(diǎn)，則所以因?yàn)?，所以，因此?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解法二：將圓代入普通方程得如圖所示可得，、分別是圓上的點(diǎn)到的距離的最小值和最大值易知：，說(shuō)明：(1)在圓的參數(shù)方程(為參數(shù))中，為圓心，為半徑，參數(shù)的幾何意義是：圓的半徑從軸正向繞圓心按