高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽幾何定理

1、 高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽幾何定理梅涅勞斯定理一直線截ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線于D,E,F則。逆定理：一直線截ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線于D,E,F若，則D,E,F三點(diǎn)共線。塞瓦定理在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O,直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 =1。逆定理：在ABC的邊BC，CA，AB上分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如果=1，那么直線AD，BE，CF相交于同一點(diǎn)。托勒密定理ABCD為任意一個圓內(nèi)接四邊形，則。逆定理：若四邊形ABCD滿足，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓西姆松定理過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為

2、：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 相關(guān)的結(jié)果有： （1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 （2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。 (3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。 （4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。斯特瓦爾特定理設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BD-AD2·BCBC·DC·BD。三角形旁心 1、旁切圓的圓心叫做三

3、角形的旁心。 2、與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓。費(fèi)馬點(diǎn)在一個三角形中，到3個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。 (1) 若三角形ABC的3個內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好平分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角。所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心。 (2) 若三角形有一內(nèi)角不小于120度，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn)。判定（1）對于任意三角形ABC，若三角形內(nèi)或三角形上某一點(diǎn)E,若EA+EB+EC有最小值,則E為費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)的計算（2）如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；如果3個內(nèi)角均小于120

4、76;，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。九點(diǎn)圓：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個歐拉點(diǎn)（連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)）九點(diǎn)共圓。通常稱這個圓為九點(diǎn)圓（nine-point circle），歐拉線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。幾何不等式1托勒密不等式:任意凸四邊形ABCD，必有AC·BDAB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時取等號。2埃爾多斯莫德爾不等式:設(shè)P是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到ABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r

5、，記PA=x,PB=y,PC=z。則 x+y+z2(p+q+r) 3外森比克不等式:設(shè)ABC的三邊長為a、b、c,面積為S,則a2+b2+c244歐拉不等式:設(shè)ABC外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為R、r，則R2r,當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時取等號。圓冪 假設(shè)平面上有一點(diǎn)P，有一圓O，其半徑為R，則OP2-R2即為P點(diǎn)到圓O的冪； 可見圓外的點(diǎn)對圓的冪為正，圓內(nèi)為負(fù)，圓上為0；根軸 1在平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。 2另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸。相關(guān)定理1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線； 2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線； 3，若兩圓