數(shù)學(xué)專(zhuān)題目直線(xiàn)和圓

1、.直線(xiàn)和圓上海交通大學(xué)第二附屬中學(xué) 李欣圓是一個(gè)封閉的曲線(xiàn)圖形，因此它有一些直線(xiàn)圖形所沒(méi)有的獨(dú)特性質(zhì)，如圓有切線(xiàn)，有旋轉(zhuǎn)不定性，它即是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng) 等。但是圓往往要與直線(xiàn)圖形相結(jié)合，沒(méi)有這種結(jié)合，圓就顯示不出它的許多奇特的性質(zhì)。圓與直線(xiàn)位置關(guān)系有三種情況：相離、相切、相交。我們有兩種方法來(lái)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系一） 交點(diǎn)法直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn) 直線(xiàn)和圓相離直線(xiàn)和圓有一個(gè)公共點(diǎn) 直線(xiàn)和圓相切直線(xiàn)和圓有兩個(gè)公共點(diǎn) 直線(xiàn)和圓相交二） 距離法設(shè)圓的半徑為R，圓心到直線(xiàn)的距離為d，則直線(xiàn)和圓相離dR直線(xiàn)和圓相切dR直線(xiàn)和圓相交dR其中圓與直線(xiàn)相切，特別是切線(xiàn)的判斷和性質(zhì)，是圓這一部分的重要內(nèi)容。

2、下面簡(jiǎn)單介紹一下圓的切線(xiàn)的判斷方法和切線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用。例1：如圖，已知：等腰RtABC，C=900，D、E分別為腰的中點(diǎn)求證：以DE為直徑的圓和AB相切分析：通常在不知道直線(xiàn)和圓有無(wú)交點(diǎn)時(shí)，我們一般用距離法dR來(lái)判斷圓和直線(xiàn)相切。證明：連接CO并延長(zhǎng)交AB于F FD、E分別是AC、CB的中點(diǎn)DEAB，2DEAB，且CDE是等腰RtO為DE中點(diǎn)CODE且2CODEDEABOFAB且CO：OF = CD：AD2OF=2CO=DE即O到AB距離OF等于圓半徑DE為直徑的圓和AB相切例2：如圖，已知：AB為O的直徑，BC 切O于B，過(guò)A作 ADOC交圓于另一點(diǎn)D求證：CD是O的切線(xiàn)分析：當(dāng)直線(xiàn)和圓有一

3、個(gè)交點(diǎn)，一般我們連接圓心和交點(diǎn)， 這時(shí)只要證圓心和交點(diǎn)的連線(xiàn)和直線(xiàn)垂直就可以了。因?yàn)镈在O上，又在CD上，所以只要證ODDC證明：連接ODOA=ODODA=OADADCOCOD=ODA，COB=OADCOD=COBDO=OBOC為公共邊OCD OBCODC = CBOCB是O切線(xiàn)且OB為半徑CBO=900CDO=900ODCDCD為O的切線(xiàn)說(shuō)明：在切線(xiàn)的判定中，我們可用圓心到直線(xiàn)距離等于半徑；也可以用計(jì)算直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；還可以用過(guò)交點(diǎn)的半徑垂直于直線(xiàn)加以證明?？傊瑢?duì)于圓的切線(xiàn)問(wèn)題，只有掌握各種判定方法，才能正確解題。例3：如圖，已知：RtABC，C=900 ABC的內(nèi)切圓O切AB于D點(diǎn)，切BC于E，切AC于F，AD=4，BD=6 求 RtABC面積分析；求直角三角形的面積，主要計(jì)算兩條直角邊的長(zhǎng)度，因?yàn)镺是內(nèi)切圓，所以AD=AF， DB=BE，CF=CE，那么根據(jù)勾股定理求出CF長(zhǎng)度即可。解：（省略）說(shuō)明：在三角形中，常有內(nèi)切圓切各邊的問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，有一個(gè)很有用的結(jié)論。下面介紹一下CBAXZY若ABC三邊長(zhǎng)BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓切ABC三邊于X，Y，Z三點(diǎn)則AZ = AY =（ b + ca）2BZ=BX=（a+ cb）2CX=CY=（ a + bc）2這個(gè)結(jié)論可以迅速地解決一些關(guān)于切線(xiàn)長(zhǎng)的問(wèn)題，下面請(qǐng)同學(xué)思考已知：O切ABC的三邊于M、N、P